Transcript Devoir Surveillé n 1

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Devoir Surveill´e de Sciences Physiques n◦ 1
10 septembre 2014
Devoir Surveill´
e n◦1
Les deux probl`emes suivants sont ind´ependants.
On rappelle les caract´eristiques d’un AO (amplificateur op´erationnel) id´eal
en r´egime lin´eaire :
i− = 0
−
ε=0
+
i+ = 0
Le second probl`eme, qui d´ebute page 7, traite de l’´etude d’une partie ´electronique d’un variom`etre, appareil destin´e `a la mesure de la vitesse verticale
d’un a´eronef.
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Étude de quelques montages électroniques
Partie A
Intérêt d’une résistance négative
De nombreux dipôles électrocinétiques sont résistifs. Ils peuvent être rendus non résistifs par
adjonction, en série, d’une résistance « négative » choisie pour obtenir une résistance totale nulle.
I. Charge d’un condensateur
Soit le montage de la figure A.1, dans lequel un résistor de résistance R et un condensateur de
capacité C sont associés en série. Ce circuit « R, C » peut être relié à un générateur de tension
constante, de f.é.m. (force électromotrice) E, selon les modalités suivantes :
− t < 0 : interrupteur K en position (1) afin de décharger totalement le condensateur ;
− t ≥ 0 : interrupteur en position (2) afin de charger progressivement le condensateur.
(2)
•
•
(3) •
K
i (t )
R
•(1)
E
+q
−q
C
uc (t)
Figure A.1
Il est rappelé que la tension uc(t) entre les bornes du condensateur est reliée à la charge q(t) de ce
dernier par l’égalité q(t) = C uc(t). Les données de l’énoncé sont R, C et E.
1. Par application de la loi de maille, établir, pour t ≥ 0, l’équation différentielle vérifiée par uc(t).
2. Rappeler l’expression, en fonction des données de l’énoncé, de la constante de temps τ du
circuit.
3. Déterminer la fonction uc(t) au cours de la charge du condensateur.
4. Tracer l’allure de la courbe représentative de cette fonction uc(t).
II. Décharge du condensateur à travers une bobine idéale
Au bout d’un temps de charge très long du condensateur (§ A.I.), donc en régime établi,
l’interrupteur K est déplacé en position (3). Le second interrupteur K’, initialement en position (1’),
est alors basculé en position (2’) à un instant pris comme instant origine t = 0 : le condensateur
chargé est donc relié à une bobine supposée idéale d’inductance pure L (figure A.2).
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•
(2)
•
•
•
R
(2' )
K
(3) • •(1)
(1' )
K'
•
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i' (t )
C
uc (t)
E
L
uL (t)
Figure A.2
Les données de l’énoncé sont L, C et E. Il est rappelé que la tension aux bornes de la bobine,
di' (t)
.
parcourue par le courant i’(t), s’écrit uL(t) = L
dt
1. Exprimer, en fonction de certaines données de l’énoncé, la charge initiale qo du condensateur au
moment de la fermeture de l’interrupteur K’.
2. Par application de la loi de maille du circuit, établir l’équation différentielle vérifiée par la
tension uc(t) aux bornes du condensateur.
3. Déterminer l’expression de la tension uc(t), formule dans laquelle les constantes d’intégration
qui apparaissent seront toutes exprimées en fonction des données de l’énoncé.
III. Oscillations réelles
En réalité, la courbe représentative de la tension uc(t) est pseudo-périodique (figure A.3).
L’amortissement constaté est dû à la présence d’une résistance dans la maille « L, C » : la bobine
qui était supposée idéale est en fait résistive, de résistance r.
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Tension uc(t) (V)
6
4
2
0
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
-2
-4
-6
Temps t (s)
Figure A.3
Les données de l’énoncé sont r, L, C et E.
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1. Quel appareil pourrait permettre de visualiser et d’étudier la tension uc(t) ?
2. La maille à considérer comporte désormais un condensateur de capacité C, initialement chargé
(q(t=0) = qo), qui se décharge à partir du temps t = 0 (fermeture de l’interrupteur K’) dans le
groupement série « r, L ». Montrer que l’équation de maille du circuit « r, L, C » série permet
d’établir une équation différentielle vérifiée par la tension uc(t).
3. Déterminer l’expression de la tension uc(t), formule dans laquelle les constantes d’intégration
qui apparaissent seront toutes exprimées en fonction des données de l’énoncé.
4. Application numérique : L = 1,00 × 10−2 H ; C = 1,00 × 10−6 F ; E = 6,00 V.
a) Quelle aurait été la valeur numérique de la pulsation propre ωo du circuit dans l’hypothèse
d’une bobine non résistive (r = 0), donc en l’absence d’amortissement.
b) Une mesure de la pseudo-période donne T = 6,30 × 10−4 s. Calculer la pseudo-pulsation Ω et
en déduire la valeur numérique de la résistance r de la bobine.
5. Quelle aurait été l’allure de la courbe représentative de la fonction uc(t) avec une résistance r très
élevée ?
IV. Comment rendre la bobine non résistive ?
L’amplificateur opérationnel (AO) du montage de la figure A.4, représenté ci-dessous, est supposé
idéal, en fonctionnement linéaire.
Il s’agit de montrer que le dipôle AB, soumis à la tension ue et parcouru par le courant d’entrée ie ,
se comporte comme un résistor de résistance « négative » : ue = − Ro ie (avec Ro > 0).
R1
ie
A
•
ue
R3
B
∞
+
R2
us
i
•
Figure A.4
1. Établir une première relation entre us, ue, ie et les résistances mentionnées sur la figure A.4.
u
2. Exprimer le rapport des tensions s en fonction de ces résistances.
ue
3. En déduire que la tension ue peut se mettre sous la forme ue = − Ro ie et exprimer Ro en fonction
des différentes résistances.
4. Les résistances R2 et R3 sont égales. R1 est une résistance variable. Comment assembler les
montages représentés sur les figures A.2 et A.4 (proposer un schéma) et quelle valeur donner à
R1 pour obtenir des oscillations non amorties, c’est-à-dire pour rendre la maille « L, C » non
résistive ?
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Partie B
Obtention d’un filtre ADSL
Les lignes téléphoniques acheminent les signaux téléphoniques traditionnels (fréquences f
comprises entre 0 et 5,0 kHz) qui permettent les échanges de conversation et les signaux
informatiques « Internet » (fréquences f comprises entre 25 kHz et 2,5 MHz) (figure B.1). Le but de
cette partie est d’étudier un filtre qui permet de « récupérer » un seul type de signaux.
Ligne téléphonique
prise murale
•
•
Signaux
•
•
•
Filtre
ADSL
Internet
Signaux
téléphoniques
Filtre
téléphonie
•
•
•
Figure B.1
Tous les signaux (tension et intensité) considérés dans cet exercice sont supposés alternatifs
sinusoïdaux : les grandeurs complexes associées sont soulignées (avec j2 = −1).
I. Questions préliminaires
Le montage de la figure B.2, alimenté par une tension u et parcouru par un courant i, est constitué
de deux impédances Z1 et Z2 associées en série.
i
Z1
u
Z2
u2
Figure B.2
1. Exprimer (démonstration non exigée) la tension complexe u2 en fonction des grandeurs
complexes Z1, Z2 et u.
2. Comment se nomme un tel montage ?
II. Les deux types de filtres
Quatre grands types de filtres sont disponibles : filtres passe-bas, passe-haut, coupe-bande et passebande.
1. Préciser, sans calcul, le type de filtre à utiliser pour ne « récupérer » que les signaux
informatiques.
2. Même question pour les signaux « téléphoniques » (destinés à la conversation).
3. Donner, sans démonstration, un ordre de grandeur de la fréquence de coupure fc nécessaire.
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III. Étude d’un filtre
Soit le filtre suivant, constitué de deux résistors identiques de résistance R et de deux bobines
idéales identiques d’inductance L. La tension d’alimentation et la tension de sortie de ce quadripôle
s’écrivent respectivement : ue = Ue,m cos ω t et us = Us,m cos (ωt + ϕ) (figure B.3).
R
R
u'
ue
L
L
us
Figure B.3
1. En dessinant un schéma équivalent en basse fréquence (f → 0), puis en haute fréquence
(f → +∞), déterminer, sans calcul, la nature (ou le type) de ce filtre. En déduire la nature des
signaux que ce quadripôle laisse « passer ».
La réponse proposée à la question § B.I.1. peut être utilisée pour résoudre la question suivante
(§ B.III.2.).
2. Exprimer, d’une part, la tension de sortie complexe us en fonction des grandeurs u’, R et ZL
(impédance complexe de la bobine), puis, d’autre part, la tension complexe u’ en fonction des
grandeurs R, ue et ZL.
3. Il est rappelé que l’impédance complexe de la bobine s’écrit ZL = jLω. Écrire la fonction de
u
A
, avec A, B et C constantes réelles,
transfert H = s de ce filtre sous la forme H(jω) =
ue
B+ jC
ω
− x2
, avec x pulsation réduite : x =
.
2
1− x + 3 j x
ωo
4. En déduire l’expression de ωo en fonction de R et L et la valeur numérique du gain maximal
Gmax.
5. Donner les expressions, voire les valeurs numériques approchées le cas échéant, du gain, en
décibels, GdB = 20 log | H(jx)| pour x → 0, x = 1 et x → +∞. Rassembler ces résultats dans le
tableau ci-dessous (tableau à recopier) :
puis sous la forme H(jx) =
Valeurs de x
GdB (décibels)
x→0
x=1
x → +∞
6. En déduire le diagramme de Bode asymptotique GdB = f(log x) de ce filtre. Esquisser, sur ce
graphe, l’allure de la courbe réelle correspondante.
7. Application numérique : L = 1,40 × 10−3 H ; fc = 1,50 × 104 Hz.
La valeur numérique de la pulsation réduite de coupure est établie par le calcul : xc = 2,67.
Calculer la résistance R des résistors à utiliser pour fabriquer le filtre.
Fin de l’énoncé
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Ces condensateurs permettent, à l’aide d’une électronique adaptée, de déterminer le déplacement x du piston qui, sous certaines conditions est une image de
la vitesse verticale V z de l’aéronef. On supposera dans toute cette partie que ces
conditions sont vérifiées. On a donc x = λ V z où λ est une constante positive. Le
capteur à capacités différentielles comporte quatre condensateurs C 1a , C 1b ,
C 2a et C 2b assimilables à des condensateurs plans. On négligera les effets de
bord.
Au repos, défini par la
dépôt métallique sur
Figure 4
la partie mobile isolante
position x = 0 , les arma- z
tures des condensateurs
armature
sont toutes distantes de
C 1b C 2b
métallique
e 0 . Elles ont une surface
fixe
en regard S et baignent
dans un liquide diélectrix
que de permittivité ε .
C 1a C 2a
Dans toute cette partie,
O
on supposera x « e 0 .
On rappelle que, si l’on néglige les effets de bord, la capacité d’un condensateur
plan est donnée par C = εS ⁄ e , où S est la surface des armatures en regard et e
la distance séparant ces armatures.
III.A - Étude du système de capacités différentielles
III.A.1) En négligeant les effets de bord,
déterminer les expressions des capacités
variables : C 1a , C 1b , C 2a et C 2b en fonction de ε , S , e 0 et x .
III.A.2) Application numérique :
e
2
–8
ε = 1, 6 ×10 SI , S = 9 cm , e 0 = 3 mm .
Déterminer la valeur commune des capacités lorsque x = 0 .
+
∞
–
R2
s
R1
III.B - Oscillateur à pont de Wien
Figure 5
Dans toute cette partie, on supposera les
amplificateurs opérationnels ( AO ) idéaux, fonctionnant en régime linéaire.
III.B.1) On considère le quadripôle figure 5.
a) Préciser le modèle de l’amplificateur idéal en régime linéaire. Déterminer la
fonction de transfert F = S ⁄ E en fonction de R 1 et R 2 quand l’ AO fonctionne
en régime linéaire. Préciser les limitations pratiques que l’on peut rencontrer.
b) Tracer la caractéristique s ( e ) , c’est-à-dire le graphe représentant s en ordonnée en fonction de e en abscisse.
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III.B.2) Étude du filtre de Wien ci-contre
(figure 6).
a) Déterminer la fonction de transfert
S′
G = ------ .
E′
C
R
e′
C
R
s′
Préciser les paramètres caractéristiques
du filtre (gain maximum, facteur de qualité, pulsation particulière).
Figure 6
b) Tracer le diagramme de Bode (gain et
phase) associé à G . On fera apparaître
sur chacun des graphes le tracé asymptotique et le tracé réel. Quelle est la fonction de ce quadripôle ?
III.B.3)
a) On couple le filtre de Wien avec le monR2
tage amplificateur du III.B.1 figure 5. On ne
tient aucun compte de la réponse fréquen–
R1
tielle de l’amplificateur et on suppose le
∞
+
régime linéaire toujours établi. À partir des
expressions F et G , montrer qu’il peut théoR
riquement exister un signal sinusoïdal sans
C
R
générateur basse fréquence pour une valeur
C
e′
r = R 2 ⁄ R 1 et une fréquence particulière f à s′
déterminer.
b) En utilisant la relation imposée par
Figure 7
l’amplificateur et l’équation différentielle du
filtre de Wien, établir l’équation différentielle vérifiée par s′ . Montrer qu’il peut
exister un signal sinusoïdal sans générateur B.F. Retrouver les conditions du
III.B.3-a. Calculer numériquement f si R = 10 kΩ et C = 4, 8 nF . Peut-on légitimement ignorer la réponse fréquentielle de l’ AO ?
c) En pratique, on ne sait pas réaliser exactement la condition r = R 2 ⁄ R 1 . À
partir de l’équation différentielle précédente, montrer qu’une condition d’apparition des oscillations est r = R 2 ⁄ R 1 > n ( n entier à définir). Si on choisit
R 2 = 10 kΩ , les valeurs disponibles dans les catalogues étant 4, 7 kΩ , 5, 6 kΩ ,
10 kΩ , quelle valeur doit-on prendre pour R 1 ?
d) Si l’on fait varier la valeur de R 1 à l’aide d’un potentiomètre on constate que
le signal de sortie évolue entre une sinusoïdale légèrement écrêtée et un signal
carré. En déduire un encadrement de l’amplitude maximale du signal e′ ( t ) en
ne gardant que le terme fondamental du développement en série de Fourier. On
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justifiera cette approximation. Faire l’application numérique si la tension de
saturation de l’ AO vaut 13 V .
III.B.4) Amélioration du montage. On
i
donne la caractéristique d’une diode
Zener idéale (voir figure 8 ci-contre).
–v
z
v
Pour améliorer le comportement du
montage, on remplace la résistance R 2
par le dipôle AB suivant, qui comporte
deux résistances R 2 et R 3 deux diodes
Zener tête bêche.
v
vD
i
Figure 8
R3
A
B
i
v
R2
Figure 9
a) Tracer la caractéristique v ( i ) du dipôle AB , c’est-à-dire le graphe représentant la tension v en ordonnée en fonction du courant i en abscisse. Préciser en
fonction de R 2 , R 3 , V D et V Z les différentes pentes et les coordonnées des
points particuliers de cette caractéristique.
b) En quoi l’introduction du dipôle AB améliore la qualité de l’oscillateur ?
III.C - Étude globale du capteur
Le capteur complet se compose du système de condensateurs C 1a et C 1b , de
capacité C 1 et du système de condensateurs C 2a et C 2b de capacité C 2 . Ces condensateurs sont utilisés dans deux oscillateurs sinusoïdaux à pont de Wien qui
oscillent respectivement aux pulsations ω 1 = 1 ⁄ RC 1 et ω 2 = 1 ⁄ RC 2 . Soit
v 1 ( t ) = A cos ( ω 1 t ) le signal issu du premier oscillateur et v 2 ( t ) = A cos ( ω 2 t ) le
signal issu du second oscillateur. Ces signaux sont traités par un montage électronique comportant un multiplieur qui fournit la tension v m ( t ) = k m v 1 ( t )v 2 ( t )
et une cellule de filtrage R′C′ , avec k m une constante multiplicative. La tension
v C′ aux bornes du condensateur de la cellule R′C′ est alors analysée par un fréquencemètre qui délivre une tension continue V S proportionnelle à la fréquence
f de v C′ . On posera V S = γf .
Comment faut-il choisir le produit τ′ = R′C′ pour obtenir une tension V S proportionnelle à x ?
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Déterminer alors la relation entre V S et la vitesse verticale de l’aéronef.
R′
v1
C′
vm
VS
v2
multiplieur
Figure 10
fréquencemètre
••• FIN •••
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