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DS 1
Devoir Surveillé n°1
Durée: 4h00
ÉVALUATIONS
Problème 1
Générateur de signaux
A. Amplificateur linéaire intégré idéal
La représentation symbolique de l’amplificateur linéaire intégré idéal (A.L.I.) et la notation adoptée sont précisées en
v
−
e
E −
i
− E +
ε v
+
e i
+
i s
S
v s R
1
ε R
2 = 2
R
1 s
v s v e
00 00 F IGURE 1 – 00 11 11 F IGURE 2 – L’A.L.I. est un amplificateur de différence, la tension de sortie
v s
est proportionnelle à la tension différentielle d’en trée
v s
=
ε
=
v
+
e
−
v
−
e
entre les tensions appliquées respectivement aux entrées non inverseuse
A
(
v
+
e
−
v
−
e
). Le coefficient
A E
+ et inverseuse
E
− , soit est l’amplification différentielle, il dépend de la fréquence du signal d’entrée et sa va leur en régime continu est notée
A d
. La valeur absolue de la tension de saturation en sortie vaut :
V sat
= 15 V.
A.1.
Rappeler les hypothèses de l’A.L.I. idéal.
A.2.
Préciser ses deux régimes de fonctionnement et les conditions sur
ε
et
v s
associées. Expliquer comment les recon naître simplement, en visualisant à l’oscilloscope simultanément les signaux d’entrée et de sortie du montage.
B. Comparateur à hystérésis B.I. Stabilité du montage
l’A.L.I. est un système linéaire du premier ordre. La tension de sortie
v s
de l’A.L.I. est liée à la tension différentielle d’entrée
ε
par une équation différentielle linéaire du premier ordre qui s’écrit :
τ
d
v s
(
t
) d
t
+
v s
(
t
) =
A d ε
(
t
), avec •
τ
≈ 10 − 2 s : constante de temps de l’amplificateur linéaire intégré ; •
A d
≈ 10 5 : coefficient d’amplification statique (ou gain en régime continu).
B.I.1.
Établir l’équation différentielle linéaire du premier ordre à laquelle obéit
v s
(
t
) en fonction de système est-il stable ou instable ? En déduire le mode de fonctionnement de l’A.L.I..
A d
,
τ
et
v e
(
t
). Le
B.I.2.
Évaluer numériquement la constante de temps
τ B
caractéristique de l’évolution de
v s
(
t
). Commenter.
ÉVALUATIONS - DS 1: Devoir Surveillé n°1
On supposera pour la suite du sujet que l’amplification différentielle
A d
est infinie.
B.II. Description du cycle d’hystérésis
L’amplificateur linéaire intégré idéal fonctionne en régime de saturation.
B.II.1.
Justifier qu’il y a basculement à ±
V sat
pour deux valeurs seuils de
v e
à préciser.
B.II.2.
La tension d’entrée est sinusoïdale de pulsation
ω
et d’amplitude
V E M
= 15 V. Compléter la caractéristique sta tique de transfert
v s
=
f
(
v e
) du montage, fournie sur le document-réponse. Préciser le sens d’orientation du cycle obtenu.
Justifier le nom donné au montage : « comparateur non inverseur à hystérésis ».
C. Intégrateur inverseur
C.1.
Donner, sans effectuer de calcul, la nature du filtre ainsi constitué. Quelle opération réalise-t-il à basse fréquence ?
C
C.2.
Déterminer la fonction de transfert de ce filtre pour un si gnal d’entrée
v e
(
t
) sinusoïdal, de pulsation
ω
; préciser sa pul sation de coupure
ω C
.
C.3.
Représenter l’allure asymptotique des courbes de gain
G dB
et de déphasage entrée-sortie
ϕ
= arg(
H
) en fonction de log(
ω
/
ω C
).
La condition initiale sur la charge électrique est telle que :
v s
(0)
C.4.
=
E
0
T
4
RC
.
Rechercher dans quel domaine de pulsation le montage
de la figure 3 réalise une intégration et une inversion du signal
d’entrée. Placer ce domaine sur le diagramme de Bode asymptotique.
v e R
F 00 00 IGURE
R p
3 – s
v s
La tension alternative d’entrée est un créneau, de période
T
s’écrit : et d’amplitude
E
0 , dont la décomposition en série de Fourier
v e
(
t
) = 4
E
0
π
∞ X
p
= 0 sin[(2
p
+ 1)
ω t
] 2
p
+ 1
C.5.
d’ordre Déterminer la tension de sortie
n v Sn
(
t
) pour la composante
v En
(
t
) = 2
p
+ 1 du signal d’entrée dans son domaine d’intégration.
+
E
0
v e
C.6.
En déduire que le signal de sortie série de Fourier :
v s
(
t
) =
B
∞ X
p
= 0
v s
(
t
) admet la décomposition en cos[(2
p
+ 1)
ω t
] .
(2
p
+ 1) 2 −
E
0 0
T
/2
T
F IGURE 4 – Préciser l’expression de
B
en fonction de
E
0 ,
R
,
C
et
ω
.
C.7.
d’intégration, montrer que
C.8.
En utilisant l’équivalent de la fonction de transfert dans le domaine
v s
(
t
) = − 2
T
Connaissant la valeur de ´
v e
(
t
)d
t v e
(
t
) entre 0 et pour
R P
=
R
et
T T
/2, puis entre = 2
RC T
/2 et .
T
, déterminer l’expression de demi-période. Représenter l’évolution de
v s
(
t
).
v s
(
t
) sur chaque
t
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Problème 2
Intérêt d’une résistance négative
A. Charge d’un condensateur
Soit le montage de la figure 5, dans lequel un résistor de résistance
R
et un condensateur de capacité
C
sont associés en série. Ce circuit « R, C »peut être relié à un générateur de tension constante, de f.é.m.
(force électromotrice)
E
, selon les modalités suivantes : •
t
< 0 : interrupteur K en position (1) afin de décharger totalement le condensateur ; •
t
Ê 0 : interrupteur en position (2) afin de charger progressivement le condensateur.
E
(2) (3) K (1) F IGURE 5 –
R C u c
(
t
)
A.1.
Par application de la loi de maille, établir, pour
t
Ê 0, l’équation différentielle vérifiée par
u c
(
t
). Rappeler l’expression, en fonction des données de l’énoncé, de la constante de temps
τ
du circuit.
A.2.
A.3.
Déterminer la fonction
u c
(
t
) au cours de la charge du condensateur.
Tracer l’allure de la courbe représentative de cette fonction
u c
(
t
).
B. Décharge du condensateur à travers une bobine idéale
Au bout d’un temps de charge très long du condensateur, donc en régime établi, l’interrupteur K est déplacé en posi tion (3). Le second interrupteur K’, initialement ouvert, est alors fermé à un instant pris comme instant origine condensateur chargé est donc relié à une bobine supposée idéale d’inductance pure
L
t
= 0 : le
E
3 (2) K (1) F
R C
IGURE 6 –
u c
(
t
) K’ L
i
′
u L
(
t
)
B.1.
Exprimer, en fonction de certaines données de l’énoncé, la charge initiale
u c
(
t
la fermeture de l’interrupteur K’ et sa dérivée d
u c
d
t
(
t
= 0).
B.2.
= 0) du condensateur au moment de Par application de la loi de maille du circuit, établir l’équation différentielle vérifiée par la tension
u c
(
t
) aux bornes du condensateur.
B.3.
Déterminer l’expression de la tension
u c
(
t
), formule dans laquelle les constantes d’intégration qui apparaissent seront toutes exprimées en fonction des données de l’énoncé.
C.3.
C. Oscillations réelles
7
u c
(
t
) En réalité, la courbe représentative de la tension
u c
(
t
) est pseudo-périodique (figure
L’amortissement constaté est dû à la pré sence d’une résistance dans la maille « L, C » : la bobine qui était supposée idéale est en fait résistive, de résistance
r
.
6 5 4 3 2 1 0 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t
en ms
C.1.
Quel appareil pourrait permettre de visualiser et d’étudier la tension
u c
(
t
) ? Pré ciser son mode de fonctionnement.
−2 −3 −4 −5
C.2.
La maille à considérer comporte dé sormais un condensateur de capacité
C
, −6 initialement chargé
u c
(
t
= 0) =
E
, qui se dé F IGURE 7 – charge à partir du temps
t
= 0 (fermeture de l’interrupteur K’) dans le groupement série « r, L ». Montrer que l’équation de maille du circuit « r, L, C »série permet d’établir une équation différentielle vérifiée par la tension
u c
(
t
).
Déterminer l’expression de la tension
u c
(
t
), formule dans laquelle les constantes d’intégration qui apparaissent ÉVALUATIONS - DS 1: Devoir Surveillé n°1
seront toutes exprimées en fonction des données de l’énoncé.
C.4.
Application numérique :
L
= 1,00.10
− 2 H ;
C
= 1,00.10
− 6 F ;
E
= 6,00 V.
C.4.a.
Quelle aurait été la valeur numérique de la pulsation propre résistive (
r
= 0), donc en l’absence d’amortissement.
ω
0 du circuit dans l’hypothèse d’une bobine non
C.4.b.
Mesurer la pseudo-période. Calculer la pseudo-pulsation de la bobine.
ω
et en déduire la valeur numérique de la résistance
r
C.5.
Quelle aurait été l’allure de la courbe représentative de la fonction
u c
(
t
) avec une résistance
r
très élevée ?
D. Comment rendre la bobine non résistive ?
R
1 L’amplificateur linéaire intégré du montage de la figure
8, est supposé idéal, en fonctionnement linéaire.
Il s’agit de montrer que le dipôle AB, soumis à la tension
u e
et parcouru par le courant d’entrée
i e
, se comporte comme un résistor de résistance « négative » :
u e
= −
R
0
i e
(avec
R
0 > 0).
D.1.
Établir une première relation entre résistances mentionnées sur la figure.
D.2.
Exprimer le rapport des tensions
u u s s
,
u e u e
,
i e
et les en fonction de ces résistances.
D.4.
Les résistances
R
2 et
R
3 sont égales.
R
1 est une résistance variable.
A B
u e i e
00 00 F
R
3 IGURE
R
2 8 –
u s
D.3.
En déduire que la tension
u e
résistances.
peut se mettre sous la forme
u e
= −
R
0
i e
et exprimer
R
0 en fonction des différentes
D.4.a.
D.4.b.
Quelle valeur donner à
R
1 résistive ?
pour obtenir des oscillations non amorties, c’est-à-dire pour rendre la maille « L, C »non
Problème 3
Filtrage
A. Filtrage du signal détecté-choix du filtre
Un éclairement optique dépend du temps selon la loi :
I
(
t
) ≈
I
0 [
m
2 + 2
m αε
cos( Ω
t
) +
m
2 cos(2 Ω
t
)].
La chaîne de détection utilisée transforme cet éclairement reçu par le détec teur en une tension
V d
(
t
) proportionnelle à
I
(
t
) :
V d
(
t
) =
γ I
(
t
).
A.1.
Expliquer le type de filtrage qu’il convient de faire subir à
V d
(
t
) pour en extraire la composante proportionnelle à
ε
.
Le filtre utilisé est modélisé par le circuit représenté ci-contre, dans lequel l’amplificateur opérationnel est idéal et fonctionne en régime linéaire.
k
est une constante positive.
A.2.
Déterminer sans calcul la nature de ce filtre.
V e R R
00 00
C C kR V s
A.3.
En se plaçant en régime sinusoïdal établi de pulsation
ω
, montrer que la fonction de transfert du montage
H
peut se mettre sous la forme
H
= 1 +
jQ H
0 µ
x
− 1
x
¶ où
x
=
ω
Ω 0 et
H
0 , Ω 0 et
Q
=
V s
/
V e
sont des constantes à exprimer en fonction de
R
,
C
et
k
.
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A.4.
Définir le gain en décibel associé, noté
G dB
.
Représenter le diagramme de Bode en amplitude :
G dB
en fonction de log( Pour le tracé, supposer
Q
= 10, et préciser : • les asymptotes du diagramme (pente et ordonnée à l’origine),
x
).
• la valeur du gain
G dB
A.5.
en
x
= 1.
Définir et déterminer la largeur de la bande passante du filtre à − 3 dB en fonction de
Q
et Ω 0 .
A.6.
La tension d’entrée du filtre est en fait celle délivrée par la chaîne de détection
V e
(
t
) =
V d
(
t
).
À quelle condition entre Ω 0 et Ω , le filtre étudié est-il le mieux adapté pour extraire la composante de pulsation signal
V d
(
t
) ?
Ω du
B. Résultat du filtrage
La condition de la question précédente est supposée remplie.
B.1.
Montrer que le signal de sortie
V s
(
t
) est la somme de deux composantes sinusoïdales de pulsations Ω et 2 Ω amplitudes, notées respectivement La tension de sortie
A
Ω et
A
2 Ω , seront précisées en fonction de
γ
,
I
0 ,
m
,
α
,
ε
,
Q
et
H
0 .
V s
(
t
) est elle-même filtrée pour obtenir une tension finale constante, dépendant de prime sous la forme :
V
(
I
0 ,
ε
) =
b A
2 Ω +
A
Ω .
I
0 et
ε
dont les qui s’ex-
B.2.
Exprimer la variation ∆
V f l uc
fonction de ∆
I
0 ,
m
,
b
,
γ
,
Q
et
H
0 .
Déterminer aussi la variation ∆
V og γ
,
I
0 ,
ε
,
m
et
α
et
H
0 .
=
V
(
I
0 + ∆
I
0 ,0) −
V
(
I
0 ,0) associée à une fluctuation ∆
I
0 =
V
(
I
0 ,
ε
) −
V
(
I
0 de l’éclairement du LASER, en ,0) associée à une onde gravitationnelle d’amplitude
ε
en fonction de
B.3.
Proposer un choix des paramètres de la chaîne de détection et de filtrage pour améliorer le rapport ∆
V og
/ ∆
V f l uc
.
Est-il intéressant de prendre une valeur de
m
petite ou grande ?
AN : calculer ∆
V og
/ ∆
V f l uc
∆
I
0 /
I
0 = 10 − 5 ,
m
= 0,1,
b
= avec les valeurs suivantes : 10 − 2 ,
α
= 5,9.10
11 ,
Q
= 10,
ε
= 10 − 21 .
Peut-on détecter les ondes gravitationnelles malgré les fluctuations de puissance du LASER ?
Plutôt que d’utiliser le circuit électronique pré cédent, il est courant d’employer un filtre mo difié, dont le diagramme de Bode est repré senté ci-contre. En pratique Ω 0 = 1,6.10
8 rad·s − 1 ,
G dB
(2 Ω 0 ) =
G dB
,
max
maximum du filtre.
− 43 dB où
G dB
,
max
est le gain
B.4.
Pourquoi le montage réel est-il mieux adapté au filtrage désiré que le filtre étudié auparavant ?
En supposant que le reste de la chaîne de détec tion et de filtrage n’est pas modifié, évaluer numé riquement le rapport ∆
V og
/ ∆
V f l uc
filtre réel, puis conclure.
obtenu avec le ÉVALUATIONS - DS 1: Devoir Surveillé n°1