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corrigé : capacité d'un condensateur diédrique
calcul du champ et du potentiel:
la hauteur des armatures étant très grande, rien ne dépend de z; près d'un conducteur, les lignes de champ sont
orthogonales à la surface : pour simplifier l'étude, nous supposerons que le champ
r
E
est orthoradial partout
r
r
(arcs de cercles), et peut dépendre de r et θ : E = E θ ( r, θ)u θ
r
r 1 ∂ ( rE r ) 1 ∂E θ ∂E z 1 ∂E θ
=
=0
à partir de divE = 0 dans le vide, on obtient : divE =
+
+
r ∂r
r ∂θ
∂z
r ∂θ
r
r
donc Eθ ne dépend pas de θ et E = E θ ( r )u θ
calculons la circulation de
r r
dV = - E.d l
∫ dV = − ∫
r
r
E θ ( r ) u θ .rdθu θ
V1
θ=0
V1
il vient :
α
θ= α
V2
donne
r
E entre les deux armatures :
V2 − V1 = − E θ ( r ).rα soit E θ ( r ) =
V1 − V2
rα
r
r
∂V
E = − gradV d'où, avec V(r,θ) E r = 0 = −
∂r
or
V ( θ)
V − V2
1 ∂V
=−
Eθ = 1
rα
r ∂θ
V ne dépend pas de r et
V( θ) − V1 = −
ou
V2
V1 − V2
θ
α
soit enfin :
θ
∫ dV = −∫ r
donc
V1
V(θ) = V1 −
0
V1 − V2
dθ
rα
V1 − V2
θ
α
remarque: on peut utiliser l'équation de Laplace pour calculer V : dans le vide
∆V = −
ρ
= 0 soit :
εo
r
1 ∂ ∂V
1 ∂²V ∂ ²V
(r
)+
+
= 0 mais V ne dépend ni de z (invariance suivant z) ni de r car E est porté
r ∂r ∂r
r ² ∂θ² ∂z ²
r
1 ∂²V
par u θ il reste
= 0 ou V(θ) = aθ + b ; avec V(0) = V1 et V(α) = V2 , on retrouve l'expression précédente
r ² ∂θ²
∆V =
calcul de la charge portée par les armatures :
r
σ r
σ r
au voisinage de l'armature (1), E 1 = 1 n 1 = 1 u θ
ε0
ε0
dq1 = σ1ds1 = ε 0
b
∫
q1 = ε 0
a
r
V − V2 r
E1 = 1
uθ
rα
avec
d'où
σ1 = ε 0
V1 − V2
rα
et
V1 − V2
hdr si les armatures ont une hauteur h ; la charge totale est donc :
rα
V1 − V2
V − V2
b
hdr = ε 0 h 1
Ln
et avec q1 = C( V1 − V2 ) , on en déduit
rα
α
a
C=
ε0h
b
Ln
α
a
remarque : si a et b tendent vers l'infini avec aα = cte = e et b-a = cte = ε l'expression devient
C=
ε0 h
ε h
ε hε ε S
a+ε
ε
Ln(
) = 0 Ln(1 + ) ≈ 0 = 0
α
a
α
a
aα
e
on retrouve la capacité d'un condensateur plan
on peut enfin retrouver l'expression de la capacité à partir de l'énergie emmagasinée :
C( V1 − V2 )
=
2
2
soit ici
b
ε 0  V1 − V2 
ε (V − V2 )
b
hLn
 hrαdr = 0 1
rα 
2
α
a
∫ 2 
a
2
2
_____________________
d'où
Q² CU ²
=
=
2C
2
ε h
b
C = 0 Ln
α
a
∫∫∫
ε 0 E²
dτ
2
volume