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MP 2014-2015
Parc des loges
Exercices : énergie du champ électromagnétique
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Modèle de Drüde et magnétorésistance
−
1. Faisant abstraction de l'agitation thermique, on note →
v la vitesse d'ensemble que prennent les porteurs
29 −3
de charges, de concentrations particulaire n ≈ 10 m , de charge q = −1, 6.10−19 C et de masse
→
−
m = 9, 1.10−31 kg sous l'action d'un champ électrique E . On suppose que l'action du réseau sur les
→
porteurs équivaut à une force de "frottement uide" de la forme : −k−
v où k est une constante.
→
−
a) Les porteurs sont initialement immobiles. On établit un champ électrique permanent E . Etablir
→
−
→
l'équation diérentielle veriée par −
v . On introduira deux constantes vl et τ à l'aide desquelles
on réécrira l'équation diérentielle.
−−→
b) Déterminer v(t) et interpréter physiquement l'introduction des deux constantes.
c) Montrer qu'en régime permanent, le modèle rend bien compte de la loi d'Ohm locale. Exprimer,
la conductivité γ0 . Calculer numériquement τ pour une conductivité γ0 ≈ 6.107 S.m−1 . Commenter.
→
−
→
2. On est toujours en régime permanent mais un champ magnétique B = B0 −
ez est appliqué au milieu.
a) Montrer que la vitesse des électrons obéit à l'équation :
→
−
−
→
−
→ −
→
nq( v + ωc τ v ∧ uz ) = γ0 E
où ωc est une constante que vous déterminerez.
−
→
−
→
b) Etablir un système d'équations liant les trois composantes de j et celles de E .
−
→
−
→
En déduire que le vecteur densité volumique de courant peut être écrit sous la forme : j = [γ] E
où [γ] est une matrice 3×3 que l'on explicitera en fonction de γ0 , τ et de la pulsation cyclotron
qB0
ωc =
.
m
c) Le milieu occupe l'espace situé entre les plans x = 0 et x = a, sur une section S et est soumis à
une diérence de potentiel U0 = U(x = 0) − U(x = a).
−
→
Déterminer la résistance R0 du milieu en l'absence de champ B .
→
−
d) Montrer que la résistance R en présence du champ B est :
R = R0 (1 + (ωc τ )2 )
Comparer R et R0 pour B=1T.
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Bilan énergétique pour un conducteur ohmique
Un conducteur ohmique de conductivité γ , assimilé à un cylindre inni d'axe Oz et de rayon a est soumis
−
→
−
uz .
au champ électrique uniforme et permanent : E = E0 →
1. Déterminer le champ magnétique à l'intérieur du l.
−
→
2. Calculer le vecteur de Poynting Π puis son ux à travers un cylindre d'axe Oz , de hauteur h et de
rayon r ⩽ a.
3. Montrer qu'on retrouve le bilan d'énergie macroscopique en régime permanent.
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Charge d'un condensateur
Les armatures d'un condensateur plan, constituées de deux disques conducteurs, de surface S = πa2
et de rayon a, de meme axe Oz et séparés d'une distance e sont reliés à un générateur de fém U par une
résistance R. Initialement le condensateur est déchargé. A un instant quelconque où la tension à ses bornes
vaut V(t), ses armatures portent respectivement les charges q(t) = CV(t) et −q(t) où C = ε0 S/e est la
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Exercices : énergie du champ électromagnétique
capacité du condensateur. On néglige les eets de bord, de telle sorte qu'en coordonnées cylindriques le
champ électromagnétique dans le condensateur est en première approximation de la forme :
−
→
−
→
E = E(t)uz
→
−
→
et B = B(r, t)−
uθ
R
−q(t)
e
q(t)
U
On admettra qu'on peut négliger les eets de bord de sorte que le champ électrique est nul à l'extérieur du
condensateur.
1. En utilisant les lois de l'électrocinétique, déterminer V(t) et montrer que le condensateur reçoit au
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cours de l'opération une énergie UC = CU2 .
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2. A un instant quelconque déterminer E(t) à l'intérieur du condensateur en fonction de q(t) . On choisira
une surface de Gauss qui contient uniquement l'armature portant la charge q(t).
dq
3. Déterminer de même B(r, t) en fonction de
en appliquant le théorème d'Ampère généralisé à un
dt
contour situé à l'intérieur du condensateur.
4. En déduire le vecteur de Poynting dans le condensateur, la puissance électromagnétique P reçue par
l'intérieur du condensateur, puis l'énergie électromagnétique Uem emmagasinée par le condensateur
au cours de sa charge (en utilisant le bilan macroscopique d'énergie EM). Comparer avec l'énergie UC
déterminée à la première question.
5. Retrouver Uem en utilisant la densité d'énergie électromagnétique uem dans l'état initial et dans l'état
nal et en négligeant l'énrgie magnétique.
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Solénoïde en régime variable
On considère un solénoïde inni d'axe Oz , de
( rayon
) a, comportant n spires par unité de longueur part
courues par un courant d'intensité i(t) = I0 exp −
avec τ ≈ 10µs.
τ
I
z
a
A. Champ électromagnétique
1. Préciser ce qu'on appelle l'approximation des régimes quasi-stationnaires et justier qu'on peut se
placer dans cette approximation. Déterminer alors l'équation de Maxwell-Ampère. En déduire que le
théorème d'Ampère de la magnétostatique peut s'appliquer.
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−
→
2. En considérant que le champ magnétique est nul à l'extérieur de solénoïde, déterminer le champ B
dans le solénoïde (on utilisera bien sûr les symétries et invariances du problème).
→
−
→
3. On cherche le champ électrique en coordonnées cylindriques sous la forme E (M, t) = E(r, t)−
uθ . Dé→
−
terminer E en utilisant les équations de Maxwell.
Montrer qu'on obtient nalement :
−
→
r
−
→
E =
B(t)uθ
2τ
B. Bilan d'énergie local
Dans cette partie et la suivante, on pourra exprimer les diverses grandeurs en fonction de B(t).
1. Déterminer l'énergie volumique électromagnétique. Montrer que l'énergie électrique est négligeable
devant l'énergie magnétique.
−
→
2. Déterminer et représenter sur un dessin le vecteur de Poynting Π
3. Retrouver dans le cas général l'équation de conservation locale de l'énergie électromagnétique.
4. Montrer qu'on retrouve cette équation à l'intérieur du solénoïde.
C. Bilan d'énergie global
1. Déterminer l'énergie électromagnétique contenue dans une longueur h du solénoïde (selon z ). En
déduire l'inductance L du solénoïde.
2. Exprimer le ux du vecteur de Poynting à travers un cylindre de rayon a et de longueur h.
3. Retrouver le bilan global d'énergie électromagnétique. Interpréter chacun des termes.
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