Transcript Chapitre 4: Lois générales des circuits électriques

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Chapitre 4: Lois générales des circuits électriques
1. Rappel de la classe de 3e: portion de circuit contenant des dipôles en série
a) Loi sur les intensités
L'intensité du courant à travers plusieurs dipôles en série est la même.
I = I1 = I 2 = I3
b) Loi sur les tensions
La tension totale aux bornes de plusieurs dipôles en série est égale à la somme
des tensions aux bornes de chacun des dipôles.
U = U1 + U 2 + U 3
c) Résistance équivalente à plusieurs résistances en série
La résistance équivalente à plusieurs résistances en série est égale à la somme
de ces résistances.
R éq = R 1 + R 2 + R 3
d) Exemple
Une portion du circuit comprend 4 résistors montées en série, de résistances respectives 5 Ω,
10 Ω, 15 Ω et 20 Ω. La tension aux bornes de cette portion est 24 V. Calculer :
o la tension aux bornes de chacun des résistors ;
o l’intensité du courant à travers chacun des résistors ;
o la résistance équivalente de cette portion ;
o l’énergie électrique transformée en énergie thermique par cette portion pendant 2 h.
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2. Rappel de la classe de 3e: portion de circuit contenant des dipôles en
parallèle
a) Loi sur les intensités
L'intensité du courant à travers un ensemble de plusieurs dipôles en parallèle
est égale à la somme des intensités à travers chacun des dipôles.
I = I1 + I 2 + I3
b) Loi sur les tensions
La tension aux bornes de plusieurs dipôles en parallèle est la même.
U = U1 = U 2 = U 3
c) Résistance équivalente à plusieurs résistances en série
L'inverse de la résistance équivalente à plusieurs résistances en parallèle est
égal à la somme des inverses de ces résistances.
1
1
1
1
=
+
+
R éq R1 R 2 R 3
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d) Exemple
Une portion du circuit comprend 4 résistors montées en parallèle, de résistances respectives
5 Ω, 10 Ω, 15 Ω et 20 Ω. La tension aux bornes de cette portion est 24 V. Calculer :
o la tension aux bornes de chacun des résistors ;
o l’intensité du courant à travers chacun des résistors ;
o la résistance équivalente de cette portion ;
o l’énergie électrique transformée en énergie thermique par cette portion pendant 2 h.
3. Loi de Pouillet pour un circuit série comportant des récepteurs et des
générateurs
a) Energies électriques transférées dans un circuit comprenant un générateur et
plusieurs récepteurs
Quel que soit le branchement des récepteurs (série ou parallèle),
l'énergie électrique fournie par le générateur est égale à la somme des énergies
électriques reçues par l'ensemble des récepteurs.
b) Circuit série avec plusieurs générateurs, plusieurs résistances et plusieurs récepteurs
Considérons un circuit série comprenant un générateur G, un chargeur C, un moteur M et
deux résistances.
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Exprimons la tension UAB aux bornes de l'ensemble des deux générateurs:
*
Entre A et B se trouvent les générateurs en série :
UAB = UG1 + UG2
UAB = E1 − r1I + E2 − r2I
*
(1)
Entre A et B se trouvent également plusieurs récepteurs en série :
UAB = UM1 + U1 + U2 + UM2
UAB = E'1 + r'1I + R1I + R2I + E'2 + r'2I
(1) et (2)
⇒
E1 − r1I + E2 − r2I = E'1 + r'1I + R1I + R2I + E'2 + r'2I
⇔
E1 + E2 = r1I + r2I + E'1 + r'1I + R1I + R2I + E'2 + r'2I
⇔
E1 + E2 = (E'1 + E'2) + (r + r'1 + R1 + R2 + r'2)I
⇔
ΣE = ΣE' + (Σr)I
(2)
Cette relation traduit la loi de Pouillet:
Pour un circuit série comprenant plusieurs générateurs (orientés de la même façon) et
plusieurs récepteurs, la somme des f.é.m moins la somme des f.c.é.m. est égale à
l'intensité multipliant la somme de toutes les résistances du circuit.
ΣE − ΣE' = (Σr)I
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Exercices
1 Circuit électrique
On considère le circuit suivant comportant l’association en série de deux accumulateurs
( E1 , r1 ) et ( E2 , r2 ), et d’un électrolyseur ( E ′ , r ′ ):
E1 = 12 V ; r1 = 4 Ω; E2 = 4 V ; r2 = 3 Ω; E ′ = 3 V ; r ′ = 2 Ω
a) Déterminer le sens et l’intensité du courant
dans le circuit.
b) Comment fonctionne l’accumulateur 2 ?
Calculer :
c) la puissance totale fournie par
l’accumulateur 1 ;
d) la puissance électrique reçue par
l’accumulateur 2 ;
e) la puissance électrique reçue par l’électrolyseur.
2 Circuit électrique
On donne le circuit suivant dans lequel une batterie
d’accumulateurs de f.é.m. E = 12 V et de résistance
interne r = 5 Ω alimente un moteur électrique de f.c.é.m.
E ′ = 6, 5 V et de résistance interne r ′ = 1, 5 Ω par
l’intermédiaire d’un rhéostat R .
L’intensité maximale supportée par le moteur électrique
vaut I max = 500 mA . A quelle valeur doit-on régler la
résistance du rhéostat lorsque le moteur est en
fonctionnement ?
En fait, le rhéostat sert aussi de rhéostat de protection destiné à limiter l’intensité du courant
dans le moteur lorsque celui-ci ne tourne pas; quelle doit être la valeur minimale de la
résistance du rhéostat pour assurer une protection efficace du moteur ?
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Exercices supplémentaires
Exercice 1
Exercice 2
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Exercice 3
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Exercice 4
Exercice 5
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Exercice 6
Exercice 7
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5 Condensateurs
Chapitre 5 : Condensateurs
1. Qu’est-ce qu’un condensateur ?
a) Expérience de mise en évidence
1. Un électroscope est chargé négativement au
moyen d'un bâton d'ébonite frotté avec de
la fourrure. Les charges se répartissent sur
le disque 1, la tige et l’aiguille.
Observations : la tige et l’aiguille se
repoussent ⇒ déviation de l’aiguille d’un
angle α
2. On rapproche très près du disque 1 un
disque 2 métallique relié à la terre.
Observation : α diminue
b) Interprétation
Quelques-unes des charges – ont quitté la
tige et l’aiguille et l'aiguille pour
s’accumuler sur le disque 1.
La charge – initiale du disque 1 a repoussé
vers la terre quelques électrons du disque 2:
le disque 2 se charge positivement par
influence.
La charge + du disque 2 attire des électrons
supplémentaires sur le disque 1 qui lui
repousse davantage de charges – du disque
2 vers la terre.
Finalement le disque 1 est chargé fortement
négativement et le disque 2 est chargé
fortement positivement.
Les charges + et – des deux disques sont
d’ailleurs égales en valeur absolue !
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c) Conclusion
Grâce à la présence du disque 2, une charge beaucoup plus importante s’accumule sur le
disque 1 (et donc aussi sur le disque 2).
L’assemblage des 2 disques avec l’isolant entre eux est appelé condensateur (de charges).
d) Définitions
Un condensateur est formé par deux surfaces métalliques en
regard, séparées par un isolant (= diélectrique).
Les surfaces métalliques en regard sont appelées les armatures du
condensateur.
Schéma pour le condensateur dans un circuit électrique :
e) Application pratique
Le condensateur est utilisé dans tout genre de circuit électronique. Sa première raison
d’utilisation est d'emmagasiner temporairement des charges électriques et donc de l’énergie
électrique. De plus, les condensateurs jouent un rôle important dans les circuits de
synchronisation électronique (radio, TV), dans les filtres électroniques de fréquences et dans
les circuits de transmission de signaux.
Les condensateurs plans modernes se présentent sous différentes formes. Le plus commun est
formé par deux feuilles d’aluminium séparées par une feuille de diélectrique (papier, mica,
…), le tout enroulé en un petit cylindre et scellé.
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2. Charge et décharge d’un condensateur. Etude expérimentale
a) Dispositif expérimental
L’interrupteur K peut être fermé soit en position 1
soit en position 2.
A est un ampèremètre très sensible, présentant une
caractéristique intéressante : lorsqu’il est parcouru
par une impulsion de courant (courant de brève
durée), la déviation maximale de l’aiguille est
proportionnelle à la charge totale Q qui l’a
traversé.
b) Expériences
1. Charge du condensateur
Fermons K en 1 : l’aiguille de G dévie brièvement.
Le pôle + du générateur attire quelques électrons de
l’armature 1, les propulse vers le pôle – d’où ils sont
repoussés vers l’armature 2.
Cette circulation d’électrons donne lieu à une
impulsion de courant indiquée par l'ampèremètre.
Cette impulsion de courant amène une charge Q1 > 0
sur l'armature 1 et Q2 < 0 sur l'armature 2 du
condensateur. On a évidemment: Q1 = −Q2.
La présence des charges est indiquée par l’existence
d’une tension U aux bornes du condensateur.
L’impulsion de courant s’arrête dès que U=U0: aucun courant ne circule plus dans le circuit.
On dit alors que l’on a chargé le condensateur, sa charge vaut Q = Q1 = Q2 .
Remarque :
La charge Q du condensateur est la valeur absolue de la charge qui s'accumule
sur l’une de ses armatures. (La charge totale des 2 armatures est évidemment
nulle !)
Ouvrons K : l’aiguille de G ne dévie pas.
Aucun courant ne circule. Le condensateur reste chargé. Sa tension est toujours U=U0 et sa
charge Q.
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2. Décharge du condensateur
Fermons K en 2 : l’aiguille de G dévie brièvement dans l’autre
sens.
Le condensateur chargé est court-circuité. Les électrons de
l’armature 2 circulent à travers le circuit pour compenser le défaut
d’électrons sur l’armature 1.
La circulation d’électrons s’arrête si les deux 2 armatures sont
neutres, c.-à-d. si U = 0 et Q = 0.
Lorsqu’on relie les armatures d’un condensateur chargé par un
conducteur, on décharge le condensateur. La tension à ses bornes
ainsi que sa charge s’annulent.
3. Relation entre la charge Q d’un condensateur et sa tension U
a) Expérience
Le fait qu’un condensateur est chargé est indiqué par l’existence d’une tension entre ses
bornes. Plus la charge Q est élevée, plus la tension U est grande. Quand le condensateur n’est
pas chargé, la tension U à ses bornes vaut 0 V.
Recherchons une relation entre la tension U aux bornes d’un condensateur et la charge Q
accumulée. Pour ce faire, nous mesurons la charge accumulée pour différentes tensions U.
Le dispositif expérimental est celui de l'expérience du paragraphe précédent. La déviation
maximale de l’aiguille de l'ampèremètre est une mesure de la charge Q qui a circulé dans le
circuit lors de la charge ou de la décharge du condensateur. C’est la même charge que celle
qui s’accumule sur les armatures du condensateur.
b) Tableau des mesures
U(V)
Q (div.)
0
5
10
15
20
25
30
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c) Conclusion
Q~U
Q = C⋅U
(C est la constante de proportionnalité)
d) Mesures pour un autre condensateur
En répétant les mêmes mesures pour un autre condensateur, on constate :
Q = C '⋅ U avec C’≠C
e) Capacité C d'un condensateur
Ainsi, la constante de proportionnalité C =
Q
caractérise le condensateur.
U
C est numériquement égal à la charge accumulée par le condensateur sous une tension de 1V.
*
si C est grand :
le condensateur accumule une forte charge sous 1 V.
*
si C est petit :
le condensateur n’accumule qu’une faible charge sous 1 V.
Voilà pourquoi C est appelé la capacité du condensateur.
f) Unité pour C
Elle s’exprime en « farad » (F): si Q = 1 C et U = 1 V, alors C = 1 F
Une capacité de 1 F étant extrêmement grande, on utilise les sous-multiples du farad:
le microfarad:
1 μF = 10-6 F
le nanofarad:
1 nF = 10-9 F
le picofarad:
1 pF = 10-12 F
g) Conclusion finale: relation entre Q, U et C
Q = C⋅U
(formule à retenir !)
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4. Capacité C d’un condensateur plan
a) Facteurs dont dépend la capacité C
1. Surface S commune des armatures en regard
2. Distance d entre les armatures
3. Nature du diélectrique entre les armatures
b) Etude expérimentale de l'influence des 3 facteurs
1. Le dispositif expérimental est toujours celui du paragraphe 2. Afin de doubler la surface
d'un condensateur on branche un deuxième condensateur identique en parallèle avec le
premier.
Observation: Pour une même tension U, la charge Q de l'ensemble des 2 condensateurs
en parallèle est 2 fois plus grande.
Conclusion:
C~S
2. On utilise un condensateur plan pour lequel la distance d des armatures est réglable. On
charge le condensateur sous une tension U, déterminée à l'aide d'un voltmètre. Sa charge
(inconnue) vaut alors Q. On diminue maintenant d de moitié alors que Q reste constant.
Observation: La tension U diminue également de moitié.
Conclusion:
C=
Q
1
devient 2 fois plus grand ⇔ C ~
U
d
3. On utilise le même condensateur que tout à l'heure. On charge le condensateur sous une
tension U, déterminée à l'aide d'un voltmètre. Sa charge (inconnue) vaut alors Q. On
intercale une plaque de verre entre les armatures.
Observation: La tension U diminue.
Conclusion:
C augmente.
c) Conclusion
Ces 3 influences se résument à l'aide de la relation :
S
où ε est une constante dépendant du diélectrique.
C = ε⋅
d
S
ε0 est la permittivité du vide = 8,54⋅10-12 u.S.I.
Si le diélectrique est le vide: C = ε 0 ⋅
d
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Pour un autre diélectrique :
C = ε⋅
S
d
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ε est la permittivité du diélectrique > ε0
Très souvent, on exprime la permittivité d’un diélectrique à l'aide de celle du vide. On définit
la permittivité relative du diélectrique εr à l'aide de :
εr =
Finalement :
C = ε0 ⋅ εr ⋅
ε
ε0
S
= ε r ⋅ C vide
d
(formule à retenir)
5. Énergie emmagasinée par un condensateur
C’est l’énergie potentielle électrique Ep élect des
charges stockées sur les armatures du condensateur.
a) Le condensateur est chargé progressivement
Pour charger le condensateur, un générateur amène
progressivement des charges sur A et B. Ceci veut dire
qu’il propulse en fait des électrons de A vers B !
dq> 0
+
Gén.
-
A
C
U
B
On décompose ce processus en n pas : n charges très
petites, notées dq, sont amenées sur A (n très grand).
b) Travail nécessaire dW pour propulser une charge infiniment petite dq de l’armature
B sur l’armature A
On considère le condensateur chargé sous la tension uAB. Sa charge vaut alors q = C⋅uAB. A
est chargé positivement, B négativement.
Une charge supplémentaire dq > 0 est propulsée (à vitesse constante) de l’armature B sur
l’armature A à travers le générateur. La force nécessaire sur dq est opposée et égale à la force
électrique sur dq, exercée par les charges q et −q déjà accumulées sur les armatures A et B.
Le travail (très petit) de la force électrique sur dq s’écrit :
dWélect = −dq⋅ΔV = −dq⋅(VA – VB) = −dq⋅uAB
Le travail nécessaire pour déplacer la charge dq contre la force électrique est dW = −dWélect
Finalement :
dW = +dq⋅uAB
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c) Energie potentielle électrique dEp élect d’une charge infiniment petite dq déplacée de B
vers A
Elle est égale au travail de la force extérieure nécessaire au déplacement de la charge !
Donc :
dEp élect = dq⋅uAB
d) Energie potentielle totale des charges infiniment petites amenées successivement sur
les armatures
État 0 (initial) du condensateur : q0=0 ⇒ u 0 =
q0
=0
C
1. Le générateur amène une 1re charge dq sur A (et -dq sur B) sous la tension initiale u0 = 0.
État 1 du condensateur: q1 = dq ; u1 =
q1
; dEp élect 1 (de la 1re charge dq) = dq·u0 = 0
C
2. Le générateur amène une 2e charge dq sous la tension u1.
État 2 du condensateur : q 2 = 2dq ; u 2 =
q2
; dEp élect 2 (de la 2e charge dq) = dq·u1 ≠ 0
C
3. Le générateur amène une charge dq supplémentaire sous la tension u2 > u1.
État 3 du condensateur : q 3 = 3dq ; u 3 =
q3
; dEp élect 3 (de la 3e charge dq) = dq·u2 > Ep élect 2
C
4. Le générateur amène une charge dq supplémentaire sous la tension u3 > u2
dEp élect i est représentée par l’aire d’un rectangle de largeur dq et de hauteur ui-1 !
etc.
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5 Condensateurs
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L'énergie électrique Ep élect totale emmagasinée par le condensateur est la somme de toutes les
énergies potentielles électriques dEp élect de toutes les charges dq amenées sur le
condensateur !
Comme dq est infiniment petit, la largeur des rectangles tend vers zéro, et la somme des aires
q
tend vers la surface délimitée par la droite u = et l’axe des q ⇒ Aire triangulaire !
C
État final du condensateur : q = Q ; u = U ;
Q⋅U 1
1 Q2
= ⋅ C ⋅ U2 = ⋅
E p élect totale =
2
2
2 C
Finalement, l'énergie emmagasinée par un condensateur de capacité C, chargé sous la tension
U (et portant alors la charge Q) est déterminée par la relation:
E el. =
1
1
1 Q2
CU 2 = QU =
2
2
2 C
(formule à retenir !)
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5 Condensateurs
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Exercices
1 Source de courant
On charge un condensateur de capacité C = 0, 8 μ F à l’aide d’une source de courant qui
débite, pendant le temps t = 2, 5 s , un courant d’intensité constante I = 22 μ A .
Quelle est la charge acquise par le condensateur ? Quelle est la tension entre ses armatures ?
2 Energie emmagasinée
Quelle doit être la capacité d’un condensateur pour qu’il emmagasine l’énergie
électrostatique E = 10-4 J lorsqu’on applique entre ses armatures la tension U = 100 V ?
Quelle énergie E’ possède-t-il lorsque la tension est U ′ = 200 V ?
3 Capacité et énergie
Les armatures d’un condensateur plan sont distantes de 1 mm. Il règne entre les armatures un
G
champ électrostatique uniforme E d’intensité 20 kV/m ; la charge Q du condensateur est,
dans ces conditions, égale à 10−8 C .
a) Quelle est la valeur de sa capacité C ?
b) Calculer son énergie électrostatique E.
4 Capacité
Les armatures d’un condensateur plan ont pour surface S = 50 cm et sont distantes de
d = 5 mm . L’espace entre les armatures est constitué par de l’air. Calculer sa capacité C .
5 Capacité, charge et énergie
Un condensateur plan comporte deux armatures de surface S = 200 cm , séparées par un
isolant de 3 mm d’épaisseur. Cet isolant pourra être successivement de l’air ou du mica
( ε r = 8 ).
On charge le condensateur sous la tension U = 200 V . On demande dans les deux cas de:
a) Calculer sa capacité.
b) Déterminer sa charge.
c) Quelle est l’énergie emmagasinée ? Conclure.
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5 Condensateurs
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6 Condensateur plan
Un condensateur plan est formé par des armatures de surface S, le diélectrique de permittivité
εR a pour épaisseur e. On charge ce composant sous la tension U.
Comment varient la capacité C, la charge Q et l’énergie E du condensateur si :
ƒ
S est divisée par 2 ?
ƒ
e est divisée par 2 ?
ƒ
U est divisée par 2 ?
ƒ
On décale l’une des armatures parallèle à elle-même ?
7 Influence du diélectrique
On considère un condensateur de capacité C1 = 2µF et un second de capacité C2 = 8µF.
a) Le premier condensateur est un condensateur plan dont les armatures, placées dans l’air,
sont distantes d’un mm. Quelle est leur surface ?
b) Le deuxième condensateur a les mêmes caractéristiques géométriques que le premier,
mais on a placé un diélectrique entre les armatures. Quelle est la permittivité relative de
ce diélectrique ? Expliquez !
c) Quelle sera l’énergie emmagasinée par chaque condensateur, s’ils sont à tour de rôle
branchés à une tension de 100 V ?
On donne : ε0 = 8,85·10-12 S.I.