Transcript Correction + explications de ce DM

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_DM : Courbes de BEZIER ( correction) _
Réponse question n° 1 :
Voir le fichier Géogébra : en clquant sur l’option
http://francois.schulhof.perso.neuf.fr/cours_maths/bts_E_F/bezier/Courbes_de_Bezier_1.ggb
( ou voir annexe en page 6 , l’annexe n°2 de de document si ce lien ne marche pas )
Remarque : Pour que ce fichier Géogébra puisse être visualisé sur votre ordinateur
il est nécéssauire d’avoir installé « JAVA+ un apllet JAVA » au niveau de votre navigateur Internet
( c’est-à-dire au niveau de Internet Explorer ou de Google Chrome ou de Firefox Mozilla ou …etc… )
Conjectures :
Soit G l’ensemble des points P lorsque t Î [0; 1]
D’après la figure obtenu dans le logiciel Géogébra ( c’est-à-dire la trace des points P lorsque t varie de 0 à 1 )
Ø G semble être une parabole qui passe par le point A et le point B
Ø La droite (AC) semble être la tangente à la courbe G au point A
Ø La droite (CB) semble être la tangente à la courbe G au point B
Ø Les droites (MN) semblent être la tangente à la courbe G aux différents points P de la courbe G
Réponse question n° 2 a :
Soit A(0; 0), B(6; 0) et C(3; 6)
Soit un réel t tel que -1 £ t £ 1
Exprimer en fonction de t les coordonnées des points M , N et P
®
®
ìï xM - x A = t ( xC - x A )
ìï x - 0 = t ( 3 - 0 )
ì x = 3t
Ûí M
Ûí M
ïî yM - y A = t ( yC - y A )
ïî yM - 0 = t ( 6 - 0 )
î yM = 6t
Comme AM = t AC on a í
®
®
Comme CN = t CB on a
ìï xN - xC = t ( xB - xC )
ìï x - 3 = t ( 6 - 3)
ìï x = 3 (1 + t )
ì x = 3 + 3t
Ûí N
Ûí N
Ûí N
í
ïî y N - yC = t ( yB - yC )
ïî yN - 6 = t ( 0 - 6 )
ïî y N = 6 (1 - t )
î y N = 6 - 6t
®
®
Comme MP = t MN on a
ìï xP - xM = t ( xN - x: )
ì x = 6t
ïì x - 3t = t ( 3 + 3t - 3t )
Ûí P
Ûí P
í
2
ïî y P - yM = t ( y N - yM )
ïî yP - 6t = t ( 6 - 6t - 6t )
î y P = 12t - 12t
Réponse question n° 2 b :
ìï xP
í
îï y P
x
ì
ì xP
t= P
t=
ï
= 6t
6
6
ï
ïï
Ûí
2Ûí
2
2
= 12t - 12t
ï y = 12 xP - 12 æ xP ö
ï y = 2 x - xP
ç 6 ÷
P
P
ïî P
ïî
6
3
è
ø
Le point P appartient bien à la courbe représentative de la fonction f définie par f ( x ) = car on a y P = f ( xP ) = -
1 2
xP + 2 xP
3
1 2
x + 2x
3
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Réponses question n° 2 c :
Ø
Montrons que la droite (AC) est la la tangente à la courbe G au point A
1) Calculons l’équation de la droite (AC)
Supposons que la droite (AC) à pour équation y = mx + p
ì y = mx A + p
ì0 = m ´ 0 + p
ìp=0
ïì A Î ( AC )
Ûí A
Ûí
Ûí
í
î6 = m ´ 3 + p
îm = 2
î yC = mxC + p
îïC Î ( AC )
donc l’équation de la droite (AC) est
y = 2x
2) Calculons l’équation de la tangente à la courbe G au point A
D’après une formule du cours on sait que cette tangente a pour équation y = f ¢ ( x A ) ( x - xA ) + f
( xA )
1 2
2
x + 2 x on a donc f ¢ ( x ) = - x + 2
3
3
2
2
donc f ¢ ( x A ) = - x A + 2 = - ´ 0 + 2 = 2
3
3
donc tangente à la courbe G au point A a pour équation y = 2 ( x - 0 ) + 0 Û y = 2 x
Comme f ( x ) = -
Conclusion On a démontré la 1ère conjecture :
la droite (AC) est bien la tangente à la courbe G au point A
Ø
Montrons que la droite (CB) est la la tangente à la courbe G au point B
3) Calculons l’équation de la droite (CB)
Supposons que la droite (CB) a pour équation y = mx + p
ì y = mxC + p
ì6 = m ´ 3 + p
ì3m + p = 6
ìm = -2
ïìC Î ( CB )
Ûí C
Ûí
Ûí
Ûí
í
ïî B Î ( CB )
î0 = m ´ 6 + p
î6 m + p = 0
î p = 12
î y B = mxB + p
donc l’équation de la droite (AC) est
y = -2 x + 12
4) Calculons l’équation de la tangente à la courbe G au point B
D’après une formule du cours on sait que cette tangente a pour équation y = f ¢ ( xB ) ( x - xB ) + f
2
2
f ¢ ( xB ) = - xB + 2 = - ´ 6 + 2 = -2
3
3
donc tangente à la courbe G au point B a pour équation y = -2 ( x - 6 ) + 0 Û y = -2 x + 12
Conclusion On a démontré la 2ième conjecture :
la droite (CB) est bien la tangente à la courbe G au point B
( xB )
2
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Montrons que les droites (MN) sont les tangentes à la courbe G au point P
5) Calculons l’équation de la droite (MN)
Supposons que la droite (MN) a pour équation y = mx + p
ìïM Î ( MN )
ì 6t = m ´ 3t + p
ì 3t ´ m + p = 6t
ì y = mxM + p
Ûí M
Ûí
Ûí
í
ïî N Î ( MN )
î yN = mxN + p
î6 (1 - t ) = m ´ 3 (1 + t ) + p
î3 (1 + t ) ´ m + p = 6 (1 - t )
ì 3t ´ m + p = 6t
ì3t ´ m + p = 6t
ïì p = 12t 2
Ûí
Ûí
Ûí
î m = 2 - 4t
î3 (1 + t ) ´ m - 3t ´ m = 6 (1 - t ) - 6t
îï m = 2 - 4t
donc les équations des droites (MN) ( quand t varie de 0 à 1 ) sont
y = ( 2 - 4t ) x + 12t 2
6) Calculons l’équation de la tangente à la courbe G au point P quand t varie de 0 à 1
L’équation de la tangente à la courbe G au point P a pour équation y = f ¢ ( xP ) ( x - xP ) + f ( xP )
2
2
x P + 2 = - ´ 6t + 2 = - 4t + 2
3
3
donc tangente à la courbe G au point B a pour équation
Comme f ¢ ( xP ) = -
y = ( -4t + 2 ) ( x - 6t ) + 12t - 12t 2 Û y = ( -4t + 2 ) x + 12t 2
Conclusion On a démontré la 3ième conjecture :
les droite (MN) sont bien les tangentes à la courbe G au point P
Réponses question n° 3 :
Lorsque t varie de 0 à 1 alors :
®
1 ) le point M se déplace sur le vecteur AC ( quand t = 0 M est en A et quand t = 1 M est en C )
®
2 ) le point N se déplace sur le vecteur CB ( quand t = 0 N est en C et quand t = 1 N est en B )
3 ) ET une trace sur le point P permet de créer un objet mathématique qui la courbe G
Lorsque t = 0 le point P est en A et lorsque t = 1 le point P est en B
La courbe G ne passe pas par le point C (le point P n’est jamais le point C ) Ce point C sert à déterminer
la « longueur » du déplacement du point P dans la direction du point C avant de « tourner » vers le point B
La courbe G ( qui est la trace des points P ) admet en tout point de G
une tangente unique ( ont dit que : la fonction est dérivable en tout point
Par exemple : Cela veut dire que cette courbe n’a pas de point « dit singulier » )
Exemple de point singulier de 1ière espèce :
Soit la courbe d’équation x - y = 0 ( voir dessin : « courbe en vert » ) :
3
2
le point O(0,0) est un point dit « de rebroussement de 1ère espèce »
Exemple de fonction qui n’est pas dérivable en un point :
La fonction définie par f ( x ) = x n’est pas dérivable en x = 0
La courbe C f de cette fonction n’admet pas de tangente au point O ( 0, 0 )
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Informations / explications sur Wikipédia : Les courbes de Bézier quadratique ( de degré 2 )
Lorsqu’on utilise 3 points A , B et C ( qui sont appelés des points de contrôle )
on peut alors tracer une courbe de Bézier « dite quadratique » dont la forme paramétrique peut s'écrire
P ( t ) = (1 - t ) A + 2t (1 - t ) C + t 2 B avec le paramètre t Î [ 0 , 1] ( nombre réel qui varie de 0 à 1 )
2
la courbe G : c’est à dire l’ensemble des différents points P quand t varie de 0 à 1
peut être « interprétée » comme étant l’ensemble des barycentres du système de points pondérés
( A , (1 - t ) )
2
( C , 2t (1 - t ) ) ( B , t )
car on a "t Î [ 0 , 1]
2
(1 - t )
2
[
]
avec le paramètre t Î 0 , 1
+ 2t (1 - t ) + t 2 = 1 - 2t + t 2 + 2t - 2t 2 + t 2 = 1
Cette approche géométrique fait que la courbe G tracée par le point P quand le paramètre t varie de 0 à 1
ne dépend pas du repère dans lequel on travaille
® ®ö
æ
Si on change le repère ç O , i , j ÷ dans lequel on a fait TOUS LES CALCULS et dans lequel les points A , B et
ç
÷
è
ø
C ont pour coordonnées A(0; 0), B(6; 0) et C(3; 6) : alors les coordonnées de ces 3 points changent
CE QUI N’IMPACTE PAS LE RESULTAT OBTENU : ON OBTIENT LE MEME RESULTAT c’est-à-dire LA MEME
COURBE…
Les courbes de Bézier ont été décrites pour la première fois en 1962 par Pierre Bézier (ingénieur à la régie
Renault dans les années 1950) afin de concevoir des pièces d'automobiles à l'aide d'ordinateurs ( CAO )
Elles ont donné naissance à de nombreux autres objets mathématiques.
Elles ont toujours de nombreuses applications dans la synthèse d'images et le rendu de polices de caractères
( par exemple : les polices de caractères au format TrueType )
Remarque :
Il existait avant Bézier d’autres courbes « d'ajustement » nommées splines, mais dont le défaut était de
changer d'aspect lors d'une rotation de repère, ce qui les rendait inutilisables en CAO.
Bézier est parti d'une approche géométrique basée sur les notions de linéarité de l'espace euclidien et de
barycentre. Cette définition purement géométrique fait qu’aucun repère n'intervient puisque la construction
en est indépendante, ce qui n'était pas le cas pour les splines…
Merci de travailler TOUT SEUL la question n° 4 ( on peut corriger ensemble cette question si besoin…. )
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Annexe n° 1 : Quelques explications sur la notion COURBE d’une fonction à 2 variables ( ou à 3 varaibles )
Au lycée on n’étudie que des COURBES de fonction à 1 seule variable réelle
c’est-à-dire des fonctions définies par une expression f ( x ) = ¼¼ ..
Exemples
1 ) f ( x ) = x2 - 2x - 3
La représentation graphique de la fonction f
est appelée également « courbe C f »
et C f est une parabole d’équation y = x - 2 x - 3
2
2 ) f ( x) =
1
x
La courbe C f est une hyperbole d’équation y =
1
x
Après le BAC on étudie des fonctions à 2 variables
Et on étudie les « courbes » d’équation f ( x, y ) = 0 ( fonction à 2 variables
)
Exemples
3 ) f ( x, y ) =
x2 y2
+ -1
16 4
ET la courbe qui correspond à f ( x, y ) = 0
est appelée «courbe de niveau 0 de la fonction f » et est souvent notée « C f »
x2 y 2
et « cette courbe de niveau 0 » est une ellipse d ’équation
+
=1
16
4
4 ) f ( x, y ) = x 2 + y 2 - 4
et « la courbe de niveau 0 » qui correspond à f ( x, y ) = 0
est un cercle de centre O et de rayon 2 d’ équation x + y = 4
2
2
Et également des fonctions à 3 variables
Et on étudie les « courbes de niveau 0 » d’équation f ( x, y,z ) = 0 ( fonction à 3 variables )
Exemples
5 ) f ( x, y ) =
x2 y 2 z 2
+
+
-1
16
4
3
et « la courbe de niveau 0 » qui correspond à f ( x, y,z ) = 0
est une ellipsoïde d’équation
6 ) f ( x, y ) =
x2 y 2 z 2
+
+
=1
16
4
3
x2 y 2 z 2
+
16
4
3
et « la courbe de niveau 0 » qui correspond à f ( x, y,z ) = 0
est un cône elliptique d’équation
x2 y 2 z 2
+
=0
16
4
3
5
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Annexe n° 2 : RESULTAT DE LA TRACE DU POINT P DANS GEOGEBRA
Courbe de Bézier G qui est l’ensemble des points P lorsque t Î [0; 1]
( et qu’on peut tracer dans Géogébra : en mettrant une trace au niveau du point P lorsque t varie de 0 à 1 )