Lycée Jean Bart — MPSI & PCSI – Année 2013-2014

Devoir commun de Mathématiques — 18 janvier 2014

La clarté des raisonnements, la précision de la rédaction et la présentation entreront pour une part non négligeable dans l’appréciation des copies.

Les résultats non justifiés ou non encadrés ne seront pas pris en compte.

L’utilisation de tout document, de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Pour les étudiants de MPSI : le sujet est constitué de deux problèmes, le problème 1 et le problème M.

Pour les étudiants de PCSI : le sujet est constitué de deux problèmes, le problème 1 et le problème P ; et d’un exercice noté exercice P.

Dans une assez large mesure, les parties de chaque problème sont indépendantes ; et vous avez la possibilité d’admettre le résultat d’une question pour traiter les suivantes.

Problème 1

Commun aux MPSI et aux PCSI

Z Pour un réel x et un entier naturel non nul k , on pose : I k ( x ) = L’objectif de ce problème est d’étudier quelques propriétés de 0 I k ( x ) x ch d k t ( t ) en fonction des variations de x et de k .

Partie I — Questions préliminaires

1. Pour tout réel t , calculer ch ( t ) et th ( t ) lorsque sh ( t ) = 1 .

Puis résoudre dans R l’équation sh ( t ) = 1 ( on exprimera le résultat sous la forme d’un logarithme népérien ).

2. A l’aide de la définition de la fonction th d’une part, et de la relation fondamentale de la trigonométrie hyper bolique d’autre part, retrouver les deux expressions de la dérivée de la fonction th sur R .

3. Soit x 0 un réel strictement positif fixé. On définit une suite ∀ n ∈ N , u n = ( u n ) n ∈ N Z x 0 I n ( x 0 ) = 0 à valeurs réelles en posant d t ch k ( t ) (a) Montrer que la suite ( u n ) n ∈ N est à termes positifs.

(b) Etudier le sens de variation de la suite ( u n ) n ∈ N .

(c) Etablir que la suite ( u n ) n ∈ N est convergente.

Partie II — Intégrales

Soit x un réel fixé.

4. Calculer I 1 ( x ) ( on pourra effectuer le changement de variable u = e t ).

5. Calculer I 2 ( x ) .

(a) A l’aide d’une intégration par parties, établir une relation de récurrence entre I k +2 et I k ( on pourra observer que 1 ch k +2 ( t ) = 1 ch k ( t ) × ch 2 1 ( t ) ).

(b) En déduire les valeurs de I 3 ( x ) et I 4 ( x ) .

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Partie III — Etude de la fonction

x 7→ I k ( x ) Dans cette partie, on suppose que k réelle x est un entier naturel non nul fixé ; et on étudie la fonction I k de la variable I k : R x R Z 0 x d t ch k ( t ) 6. Justifier que la fonction I k est dérivable sur R , et préciser l’expression de I 0 k ( x ) pour tout réel x .

7. Déduire de la question précédente que I k est strictement croissante sur R .

8. On note C k la courbe représentative de point d’abscisse 0 .

I k dans un repère orthonormal direct du plan, et T k la tangente C k au (a) Déterminer une équation cartésienne de T k .

(b) Etudier la position relative de C k et T k .

Partie IV — Etude d’une suite

Dans cette partie, on suppose que k est un entier naturel non nul fixé ; et on considère la suite ( u n ) n ∈ N posant définie en ∀ n ∈ N , u n = I k ( n ) 9. Démontrer que la suite ( u n ) n ∈ N est monotone.

10. Etablir que pour tout réel t on a : 1 ch ( t ) 6 2 e − t ; en déduire la convergence de ( u n ) n ∈ N .

Partie V — Calcul d’une limite

Dans cette partie, on suppose que k est un entier naturel non nul fixé.

11. Etablir que I k ( x ) admet une limite finie lorsque x tend vers + ∞ .

Dans les questions 12-a et 12-b ci-dessous, on pose : J k = x lim + ∞ I k ( x ) soit encore : J k = x lim + ∞ Z 0 x ch d t k ( t ) .

12. (a) Calculer J 1 et J 2 .

(b) Calculer J k pour tout entier naturel non nul k .

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Problème M

Épreuve spécifique MPSI

Pour tout ( a, b, c ) ∈ R 3 , on note T ( a, b, c ) =   a b c b a + c b c b a   . On considère l’ensemble S défini par S = T ( a, b, c ) | ( a, b, c ) ∈ R 3 On pose I =   1 0 0

Partie I

0 1 0 0 0 1    , A =  0 1 0 1 0 1 0 1 0   et B  =  0 0 1 1. Montrer que S est un sous-groupe de M 3 ( R ) .

0 1 0 1 0 0   2.

(a) Exprimer A 2 , B 2 , AB et BA à l’aide de I, A et B .

(b) Soient ( a, b, c ) (c) Montrer que S et ( a 0 , b 0 , c 0 ) dans R 3 , M = T ( a, b, c ) et M 0 = T ( a 0 est un sous-anneau de M 3 ( R ) . Est-il commutatif ?

, b, 0 , c 0 ) . Calculer le produit M M 0 .

(d) L’anneau S est-il un corps ?

3. Cette question est consacrée à la recherche des éléments inversibles de l’anneau S .

(a) On reprend les notations de la question 2. Calculer, lorsque c’est possible, et c pour que M M 0 = I .

a 0 , b 0 et c 0 en fonction de a, b (b) Quels sont les éléments inversibles de l’anneau ?

Partie II

— Une matrice M est dite orthogonale si M × t M = t M × M = I .

1. Montrer 2. Soit M ∈ M S est orthogonale si et seulement si M − 1 = . Montrer que M t M .

 est orthogonale si et seulement si   a 2 b 2 + b 2 + 2 ac + c 2 = 0 = 1 b ( a + c ) = 0 .

3. En déduire toutes les matrices orthogonales appartenant à S .

Partie III

— Dans cette partie, on note K = de K puis celles de M .

1 2 A et M = T (1 , √ 2 , 0) . On se propose de calculer les puissances 1. Calculer K 2 , K 3 puis K n pour tout n ∈ N ∗ suivant la parité de n .

2. Exprimer M à l’aide de I et de K et montrer que ∀ n ∈ N ∗ , M n = I + a n K + b n K 2 avec X a n = 1 ≤ k ≤ n, k impair n k 2 k et b n = X 1 ≤ k ≤ n, k pair n k 2 k 3. Calculer 1 + a n + b n et 1 − a n + b n pour tout n ∈ N . En déduire a n et b n en fonction de n .

4. Conclure en exprimant M n comme combinaison linéaire de I, A et B .

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Exercice P

Épreuve spécifique PCSI

Tout au long de cet exercice, α désigne un réel de l’intervalle ] 0; π [ .

1. Résoudre dans C l’équation : (E) z 2 − 2 z cos α + 1 = 0 2. Soit n un entier naturel non nul. Résoudre dans C l’équation : (E n ) z 2 n − 2 z n cos α + 1 = 0 3. A l’aide de la question précédente, résoudre dans C l’équation : (F n ) z z − 1 + 1 n + z z + 1 − 1 n = 2 cos α

Problème P

Épreuve spécifique PCSI

L’objectif du problème est de résoudre l’équation différentielle (E), d’inconnue y : ] 0; + ∞ [ −→ R , (E) t 2 y 00 ( t ) − ty 0 ( t ) + y ( t ) = 2 t Observez que cette équation différentielle étant d’ordre 2 à coefficients non-constants, les méthodes et résultats vus cette année ne vous permettent pas d’en trouver directement les solutions. L’énoncé ci-dessous vous présente toutefois deux méthodes pour y parvenir, dans les parties II et III.

La partie IV est une application des deux précédentes.

La partie I vous propose quant à elle de résoudre deux équations différentielles en utilisant cette fois-ci les propriétés bien connues de votre cours.

Partie I — Questions préliminaires

1. Résoudre l’équation différentielle (E 1 ), d’inconnue y : ] 0; + ∞ [ −→ R , (E 1 ) ty 0 ( t ) + y ( t ) = 2 t 2. Résoudre l’équation différentielle (E 2 ), d’inconnue z : R −→ R , (E 2 ) z 00 ( x ) − 2 z 0 ( x ) + z ( x ) = 2 e x

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Partie II – Résolution de (E) par changement de fonction inconnue

3. Montrer que l’équation homogène (H) associée à (E), c’est-à-dire (H) t 2 y 00 ( t ) − ty 0 ( t ) + y ( t ) = 0 admet une solution particulière de la forme h ( t ) = t α où α est une constante réelle que l’on déterminera.

4. Soit f une fonction définie sur ] 0; + ∞ [ .

Pour t > 0 , on pose Montrer que f g ( t ) = f ( t ) t α où α est la constante déterminée dans la question précédente.

est solution de (E) si et seulement si g 0 est solution de (E 1 ).

5. En déduire les solutions de (E).

Partie III – Résolution de (E) par changement de variable

On considère une fonction y deux fois dérivable sur ] 0; + ∞ [ et on pose : z : R x R y ( e x ) 5 6. Justifier brièvement pourquoi la fonction et z 00 ( x ) en fonction de y 0 , y 00 et de x .

z définie ci-dessus est deux fois dérivable sur R , puis exprimer z 0 ( x ) 7. Montrer que y est solution de (E) sur ] 0; + ∞ [ si et seulement si z est solution sur R de (E 2 ).

8. Retrouver l’expression des solutions de (E).

Partie IV – Résolution d’une équation fonctionnelle

On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur ] 0; + ∞ [ vérifiant (P) ∀ t > 0 , f 0 ( t ) = tf 1 t − 1 9. Montrer que toute solution f de (P) est deux fois dérivable sur ] 0; + ∞ [ .

10. Montrer que si f est solution de (P), alors f est solution de (E).

11. Résoudre (P).