Transcript Problème 1 . - C.P.G.E. Brizeux

Devoir Libre n013
PSI
MATHEMATIQUES
(à rendre le 28 Février 2014)
Vous avez le choix entre
- Problème 1 : un sujet e3a
- Problème 2 : un sujet Centrale
Problème
1
---
--~-
Préambule
-
On rappelle la définition des fonctions cosinushyperbolique et sinus hyperbolique.
é + e-t
et - e-t
.
Pour tout tER, on pose :
ch(t) =
2 '
sh(t) =
a) Préciser un équivalent simple de ch(t) et de sh(t) lorsque le réel t tend vers +00.
b) Établir les tableaux de variation (avec les limites aux bornes) des deux fonctions
définies sur ]0, +00[:
Partie
91: t I-t ch~t) et
1 : Intégrales
92: t I-t sh~t)'
et développements
f+OO
1-1.1. Justifier l'existence de: ln = Jo
tne-t dt
1-1.2. Déterminer une relation entre ln+! et ln.
en série
pour tout n E J'l.
1-1.3. Calculer 10' En déduire la valeur de ln pour tout n EN.
1-1.4. En déduire, pour tout n E l'l et tout a> 0, la valeur de:
f+oo
Jo
tne-at dt.
et
"2 .s ch(t) .s et
1-2.1. Justifier que pour tout t ~ 0, on a:
1-2.2. En déduire l'existence de Cn = 1+00 ~;t) dt pour tout n E N, ainsi qu'un
Cn
encadrement du rapport ln .
1-2.3. Grâce au ca.lcul de la dérivée de la fonction
t I-t Arctan(et},
calculer Co.
+00
1-2.4. Justifier l'égalité pour tout réelt > 0:
2~(t)
= 1.=0
L(_1)1.e-(21.H)t.
+00 ( )1.
Cn = 2(n!) L'
-1.
..,
1.=0
On énoncera et on appliquera avec soin le théorème d'intégration terme à terme utilisé.
1-2.6. Montrer que l'éga.lité précédente reste valable pour n = O.
1-2.5. En déduire:
Vn E }Il.,
1-3.1. Montrer l'existence de ;
+00
1
Sn = 0
tn
pour tout n E N* .
sh(t) dt
1
1-3.2. Justifier l'égalité pour tout réel t > 0 :
1-3.3. En déduire:
2sh(t)
+00
Vn E N.,
Sn = 2 (n!)
+00
= Le-(2k+l)t.
1.=0
L
1.=0( 2k+
1
.._ ,., .
1
1-4. Soit ip : R -+ R, 211'-périodiqueet impaire telle que :
rp(t) = l si t E]O,11'[
et
rp(O)= rp(1I')= O.
1-4.1. Déterminer les coefficients de Fourier bn(cp) pour nE
N*.
1-4.2. Grâce à des résultats que l'on précisera sur les séries de Fourier et appliqués à rp
retrouver la valeur de Co et donner la valeur de SI'
Partie
II : Intégrales
à paramètre
[+00
II-l. Pour tout réel x on pose : F(x}
eixt
= Jo
ch(t}dt
II-l.l. Montrer que F est définie et de classe CI sur R, et pour tout réel x, exprimer
F'(x} sous forme d'une intégrale.
II-l.2. Montrer que F est développable en série entière sur l'intervalle] -1,1(. Justifier
grâce à 1-2.2 que le rayon de convergence de ce développement vaut 1.
Pour cela on exprimera d'abord eixt comme somme d'une série.
11-1.3. En effectuant une intégration par parties, majorer IxF(x)1 indépendamment du
réel x. En déduire x-++oo
lim F(x).
11-2. Pour tout réel x on pose: H(x)
= 10
+00 C06(xt)
ch(t)
dt
11-2.1. Soient t > 0 et nE :N. En utilisant 1-2.4, justifier que:
~
I
<
_ ~(_I)ke-(2k+1)t
~
2ch(t)
e-(2n+3)t
l
11-2.2. En déduire que pour tout réel x et tout n E:ti, on a :
IH(X) - ~2(_I)k
(1+00 e-(2k+1)tc06(xt)dt)1 :$ 2 [00
e-(2n+3)tdt.
+00
11-2.3. Pour tout réel x et tout k E :N, calculer:
10
e-(2k+1)t cos(xt) dt.
II-2.4. Conclure que :
VXER,
11-3. Soit x ER fixé. On considère hx : R -+ R, 21r-périodique et impaire telle que:
hx(t)=sh(xt)
sitE}-1I'",1f[
et
hx(1f)=hx(-1f)
=0.
II-3.1. Justifier que hx est égale à la somme de sa série de Fourier sur R.
11-3.2. Déterminer les coefficients de Fourier: bn(hx) pour tout n E ].'Il*.
11-3.3. En déduire: H(x)
On pourra admettre
=
_(
11'"
2 ch
la relation,
,.
X1f
2.
valable pour tout réel a : sh(2a)
= 2ch(a)sh(a).
Tournez
lapage S.V.P.
Partie
III : Étude
On s'intéresse ici à :
d'une
S = {y E C2(R, R)j
équation
Vt E R,
différentielle
yll(t)
-
y(t)
= ch~t)}'
III-1. En utilisant ch et sh, déterminer toutes les y E C2(R,R) telles que: y' = y.
111-2.1. Donner la forme générale d'une solution y E S.
..
On rappelle qu'il Y a au TTWinsdeux méthodes possibles de résolution :
smt en posant y(t) = u(t) ch(t) + v(t) sh(t), soit en posant g(t) = z(t) ch(t) ;
avec des conditions sur les fonctions u et v, ou sur la fonction z, qui seront précisées
en cas d'utilisation de l'une de ces méthodes.
1II-2.2. Existe-t-il des solutions impaires dans S ?
111-2.3. Expliciter l'unique solution 0 E S, paire et telle 0(0) = 1.
111-3.1. Déterminer explicitement l'unique suite réelle (ak)kEI'I telle que:
+00
Vt E R,
ch(t) = I:akt2k.
k=O
III-3.2. Montrer l'existence et l'unicité d'une unique suite réelle (que l'on ne cherchera
pas à déterminer explicitement, mais que l'on définira par récurrence) (bk)kEI'I telle que:
n
boao =
1,
Vn E l'I* ,
L
k=O
bkan-k
= O.
ITI-3.3. Préciser bo,b1, h
ITI-3.4. Démontrer par récurrence :
Vn E l'I,
On pourra considérer comme connu que ch(l) :::;2.
+00
III-3.5.
En déduire que pour tout t E} - 1,1[, la série g(t) =
absolument, avec de plus: ch(t)g(t)
L bnt2n
n=O
converge
= l.
Remarque: On a ainsi prouvé que t t-+ ch(t) est développable en série entière sur ]-1,1[.
111-4. On suppose qu'il existe une suite réelle (Un)"eN avec Uo = 1 et telle que la série
+00
entière définie par f(t)
= n=O
L u,.t2n
ait un rayon de convergence R ~ 1, et vérifie:
Vt El -1,1[,
f"(t) - f(t) = ch~t).
III-4.1. Pour tout n E l'I, déterminer une relation entre Un+l1Un et bn.
TII-4.2. En déduire qu'une telle suite (un)nel'l est unique et montrer par récurrence:
Vn E N,
IUnI:::;1
111-4.3. En déduire que la fonction 0 considérée en IlI- 2.3 est développable en série
entière sur l'intervalle 1 - 1,1[.
111-4.4. Justifier que x t-+ ln(ch(x»
est développable en série entière sur l'intervalle
1 -1,1[.
Fin de l'énoncé.
Problème
2
On considère la famille de fonctions G", : R ~ C définies pour x E R par
G",(t) = eiuint
VtER
Ces fonctions sont Coo sur R, 211"-périodiques.
-
Pour tout xE R, on note (<Pn(X»nEZla famille des coefficients de Fourier exponentieJs de la fonction G",.
Pour tout réel x on a donc:
1r
\ln E Z
<Pn(x)
f G",(t)e-int dt
= 2~ -1r
Le but du problème est d'étudier quelques propriéths du fonctions <Pnainsi définies.
1 Questions
préliminaires
Soit x un réel fixé.
I.A I.A.1)
Justifierl'égalité
+00
\lt E R
G",(t)
= eÏ:I: sin t =
L
<Pn(x)eint
n=-CXI
Que peut-on dire de la convergence de la série de Fourier de G", ?
I.A.2)
I.B I.C -
Montrer que pour tout k dans N*, l<Pn(x)1
= 0 (:k) lorsque n tend vers +00.
On utilisera des séries de Fourier des dérivéessuccessivesde G",.
En exprimant G",(-t) en fonction de G",(t), montrer que pour n dans Z, <Pn(x)E R.
Exprimer G",(t + 11")et en déduire les égalités suivantes pour n dans Z:
Que peut-on dire de la parité de <Pnpour nEZ?
+00
I.D
-
Calculer
L
n=-oo
l<Pn(x)12.
L'étude préliminaire pennet de restreindre l'étude des fonctions réelles <PnIiR+ et de se limiter au cas où n ~ o.
II Forme intégrale
et développement
en série entière
Soit n un entier naturel.
II.A II.B -
Justifier que pour x réel, l<Pn(x)1~ 1.
Montrer que pour x réel,
1r
avec
In,k
f
= 2~ -1r j1<e-mt(sint)k dt
-
II.C
Al'aide
II.C.I)
de la formule d'Euler, justifier que pour (n,k) dans
k
1r
L
= '"'
n,k L-t
m=O
avec
Am,k
II.C.2)
des constantes
N x N,
Am,k
21r
f
eit(2m-k-n)
dt
-1r
à préciser.
Vérifier que
si n > k ou si k - n est impair
In,k = 0
(-1)P
n+2p
(
{ In,k = 2"+2p n + p
II.C.3)
)
sik=n+2pavecp~0
-
En déduire le développement en série entière, pour n ~ 0 et x E JR:
+00
<Pn(x) =
~
L
(-1)P
(
)
p=Op/(n + p)! 2
n+2p
(il. 1)
Préciser le rayon de convergence.
II.C.4)
II.D
Montrer que <Pnest de classe Coo sur R
-
Relation
de dérivation
Soit n dans N*,vérifierque pour x réel
d
dx (xn<pn(x»
= Xn<Pn_l(X)
II.E - Calcul numérique de <Pn(x)avec x > 0 fixé
On approche <Pn(x)à l'aide des sommes partielles
m
Sm
= L(-I)Pap
avec mEN
et op =
p=O
II.E.I)
A partir
II.E.2)
On suppose N > Po. Majorer
1
p!(n + p)!
~ n+2P
( 2)
de quelle valeur Po de p la suite (ap)PEN est-elle décroissante?
IRNIen
fonction de (N,n,x)
avec
+00
RN
En déduire, pour é
> 0 fixé,
=
L
(-l)Pap
p=N+l
une condition suffisante sur N pour que l<Pn(x) - SNI
< é.
La somme partielle SN est dite alors valeur approchée de <Pn(x) à é près.
II.E.3)
Écrire une fonction Maple ou Mathematica, CalculPhi, d'arguments
approchée de <Pn(x) à é près. Les coefficients ap seront calculés par récurrence.
III Équation
différentielle
(n,x,é)
et étude de 'Pn quand x
retournant
une valeur
--* +00
Soit n un entier naturel. On étudie l'équation différentielle d'inconnue y
x2y" + xy' + (x2 - n2)y
=0
(HU)
On recherche des solutions dans l'ensemble E = C2aO,+oo[).
III.A
- Résolution
et propriété
des solutions
III.A.I) En utilisant le développement de <Pnen série entière (
de (
).
5
), montrer que <Pnest solution sur [0, +oo[
III.A.2) Soit y une solution dans Ede (IU.l). On pose z(x) = JXy(x) pour tout x E ]0, +oc;.
Montrer que z est solution dans E d'une équation différentielle du type
z" + q z
=0
(III.2)
avec q E E.
Préciser l'expression de la fonction q et vérifier que x-++oo
lim q(x)
= 1.
III.A.3)
), alors pour x > 0, (z(x),z'(x»
Justifier que si z est une solution non nulle de (
En déduire que si a est un zéro de z, alors il existe un réel strictement
d'annulation de z sur 1 =]0 -1],a + 1][.
On dit dans ce cas que 0 est un zéro isolé de z.
III.AA)
III.B
=f:.(0,0).
positif 1] tel que 0 soit le seul point
..
Vérifier que les zéros de I{Jnsur ]0, +oo[ sont isolés.
-
Comportement
asymptotique
de I{Jnen +00
On étudie ici le comportement asymptotique
définie sur ]0, +00[, avec À E R* :
au voisinage de +00 d'une solution zEE
de l'équation différentielle
z" + (1 + :2 ) z = 0
(III.3)
Soit Xodans ]0, +00[.
III.B.I) En considérant l'équation différentielle (
) sous la forme z" + z
résoudre sur ]0, +oo[ par la méthode de variation des constantes.
En déduire qu'il existe deux réels A et B tels que
'"
"Ix E ]0, +oo[
III.B.2)
On pose pour x
=
g avec g(x) = ~z(x),
la
J
z(x) = Acos(x) + Bsin(x) + À z(u) sin(u - x) ~~
"'0
>0
'"
h(x)
du
= J Iz(u)lu2
a) Montrer qu'il existe des constantes réelles p. et M telles que h vérifie l'inégalité différentielle pour x ~ Xo
Préciser les constantes p. et M en fonction de A, B et À.
b) En déduire que h est bornée sur [xo,+oo[ puis quez est bornée sur ce même intervalle.
Multiplierpar epjx et intégrer l'inégalité de la question précédente.
III.B.3) Justifier que
+00
JZ(U)sin(U-X)~:=o(~)
'"
au voisinage de +00.
En déduire l'existence de constantes 0 et fJ telles qu'au voisinage de +00,
1
z(x) = o cos(x - fJ) + 0(-)x
III.BA)
Soit n E N. Montrer qu'il existe un couple de réels (on,fJn) tel que pour x --+ +00,
IV Étude
des zéros de l.pn
On introduit l'équation différentielle
Z~/(X)+ C2Z1(x)
=
°
avec
C>o
(IV.l)
L'objectif de cette partie est de comparerles solutions des équations différentielles (Ul.:2) et (
) afin d'obtenir
des informations sur les zéros des fonctions C{}n.
possède
IV.A - En utilisant l'encadrement de la question n.f~.2, montrer que C{}o(3)< O. En déduire que C{}O
un zéro 0:0 E ]0,3[.
On admettm que c'est le premier zéro de C{}o,c'est-à-dire que C{}O
ne s'annule pas sur ]0,0:0[.
IV.B - En utilisant la question II.D, montrer par récurrence que pour tout entier n ~ lIa fonction C{}nest
strictement positive sur ]0,0:0['
_
IV.C - Dans cette question, on fixe n E N et cE ]0,1[. On pose z(x) = yXC{}n(X), pour X > O.
IV.C.I)
Justifier qu'il existe un réel A > ° tel que pour X> A, q(x) > c2 (q définie en HLA.2).
IV.C.2)
Soit a > A. On pose pour x > 0, Zl(X) = sin(c(x - a», solution de
Zl z'.
W
. On définit la fonction
= z z{ -
Vérifier que pour x > 0, W'(x)
IV.C.3)
= (q(x) - c2)Z(X)Zl(X).
On note la = ]a,a+1I"/c[ et on suppose que C{}nne possède pas de zéros sur la.
Déterminer les signes de W(a), W(a + 1I"/c)et de W' sur la et aboutir à une contradiction.
possède
IV.D
IV.D.I)
un zéro dans tout
intervalle
la avec a
En déduire que C{}n
> A.
On pourra distinguer les cas suivant le signe de C{}nsur la.
- Soit n E N.
Montrer qu'on peut ordonner les zéros de C{}n,c'est-à-dire qu'il existe une suite
(O:kn»)kEN strictement
croissante de zéros de C{}n
telle que C{}n
ne s'annule pas sur JO,o:~n)[et sur tout intervalle ]o:t) , O:k:>l[avec 1. dans
N et que k--+oo
lim o:t)
= +00.
Construire la suite
(O:kn»)kEN par récurrence
sur 1. en montrant que l'ensemble Zk des zéros de C{}n
dans "intervalle ]O:kn), +oo[ possède un plus petit élément.
IV.D.2)
En déduire que la suite (O:kn»kENvérifie la propriété de répartition
'rIcE ]0,1[,
.
3) E N
(n)
tel que
'rIk E N, 0 < O:j+k+l
...FIN...
-
asymptotique:
(n)
~
O:j+k < c