Formules de dérivation
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Transcript Formules de dérivation
Formules de dérivation
Jacques Paradis
Professeur
Plan de la rencontre
Dérivée d’une fonction constante
Dérivée de la fonction identité
Dérivée d’un produit par un constante
Dérivée d’une somme
Dérivée d’une puissance
Dérivée d’un produit
Dérivée d’un quotient
Département de mathématiques
2
Dérivée d’une fonction constante
Si
f(x) = k, où k IR
Alors
Soit
f (x) = 0
f(x + h) - f(x)
f (x) = lim
h 0
h
c
k -c
k
= lim
= lim 0 = 0
h0
h0
h
On peut retenir (k)’ = 0
Département de mathématiques
3
Dérivée de la fonction identité
Si
f(x) = x
Alors f (x) = 1
Soit
f(x + h) - f(x)
f (x) = lim
h 0
h
(x+ h) - x
= lim
h 0
h
h
= lim lim1 = 1
h 0 h
h 0
On peut retenir (x)’ = 1
Département de mathématiques
4
Dérivée du produit d’une constante par une fn
k IR et f(x) une fonction dérivable
d[k f(x)]
d f(x)
Alors
=k
dx
dx
Si
Soit
d kf(x)
dx
k[f(x + h) - f(x)]
kf(x + h) - kf(x)
= lim
= lim
h 0
h0
h
h
df(x)
[f(x + h) - f(x)]
=k
= k lim
h0
dx
h
On peut retenir [kf(x)]’ = kf’(x)
Département de mathématiques
5
Dérivée d’une somme de fonctions
Si f(x) et g(x) sont deux fonctions dérivables
Alors
d[f(x) g(x)] d f(x) d g(x)
=
dx
dx
dx
Démonstration :
Si u = f(x) et v = g(x), on peut retenir : (u ± v)’ = u’ ± v’
Généralisation : page 140 (corollaire 2)
Département de mathématiques
6
Dérivée de xn
Si
f(x) xn ,où nIN
Alors f (x) n xn 1
Démonstration :
Exemple : Si f(x) = x5, alors f’(x) = 5x5-1 = 5x4
Généralisation : Si f(x) = xr, où rIR, alors f’(x) = rxr-1
Exercice : Si f(x) = 1/x et g(x) = x trouver f’(x) et g’(x)
Département de mathématiques
7
Exemples
Trouver la dérivée de f(x) = 4x3 +8x2 – 5x +7
Trouver h’(x) si h(x) = 8x3 – 7x2 + 4x +9
Département de mathématiques
8
Dérivée d’un produit de fonctions
Si
f(x) et g(x) sont deux fonctions dérivables
Alors
d[f(x) g(x)] d f(x)
d g(x)
=
g(x) f(x)
dx
dx
dx
Si u = f(x) et v = g(x), on peut retenir : (u v)’ = u’v + uv’
Généralisation : page 143 (corollaire 1)
Attention, on a donc que (uv)’ u’v’
Département de mathématiques
9
Exemples
Trouver la dérivée de f(x) = (x2 – 3) (3x – 5)
Trouver g’(x) si g(x) = 2x3 (3x2 – x)
Département de mathématiques
10
Dérivée d’un quotient de fonctions
Si
f(x) et g(x) sont deux fonctions dérivables
Alors
d f(x)
dg(x)
f(x)
d
g(x)
f(x)
g(x)
dx
dx
=
2
dx
[g(x)]
,
Si u = f(x) et v = g(x), on peut retenir : u u'v -2uv'
v
v
Remarques : g(x) 0 et (u/v)’ u’/v’
Département de mathématiques
11
Exemples
2x 3 - 4
Trouver la dérivée de f(x) =
2
x +5
3
x -1
Trouver r’(x) si r(x) = 2
x +1
Département de mathématiques
12
Exemple
Trouver la dérivée de f(x) =
Département de mathématiques
(x 2 +1)2
x
13
Résumé
puissance
produit
d
n
n 1
x nx
dx
d
du
dv
uv v u
dx
dx
dx
somme
quotient
d
du dv
u v
dx
dx dx
Département de mathématiques
du
dv
vu
d u dx
dx
2
dx v
v
14
Devoir
Exercices 4.1, page 136, nos 1 à 4.
Exercices 4.2, page 147, nos 1, 2 (sauf j),
3, 4, 6 (a à k), 7 (sauf e), 9 et 10.
Département de mathématiques
15