Transcript concave vers le bas

Concavité et points d'inflexion
Jacques Paradis
Professeur
Département de mathématiques
1
Plan de la rencontre
 Élément de compétence
 Concavité vers le haut et le bas
 Lien entre la concavité et la dérivée seconde
 Nombre critique et point d’inflexion
 Tableau de variation relatif à f’’
 Exemples et exercice
 Test de la dérivée seconde
Département de mathématiques
2
Élément de compétence
 Reconnaître et décrire les caractéristiques d'une
fonction représentée sous forme d'expression
symbolique ou sous forme graphique
 Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser
les variations d'une fonction et tracer son graphique






Relier la concavité d’une fonction au signe de sa dérivée
seconde
Déterminer les intervalles de concavité vers le haut et de
concavité vers le bas
Déterminer les points d’inflexion d’une fonction
Construire un tableau de variation relatif à f’’
Donner une esquisse du graphique d’une fonction
Utiliser le test de la dérivée seconde pour les extremums d’une
fonction
Département de mathématiques
3
Concavité
(1 de 2)
 Soit une fonction f définie sur un intervalle I,
 f est concave vers le haut sur I si la courbe de f est
au-dessus de ses tangentes dans cet intervalle.
 f est concave vers le bas sur I si la courbe de f est
au-dessous de ses tangentes dans cet intervalle.
 Un point (c , f(c)) est un point d’inflexion de f si la
courbe change de concavité en ce point.

bas
Département de mathématiques
haut

4
Concavité (2 de 2)
 Concavité et signe de la dérivée seconde
 f’’ (x) > 0 sur ]a,b[  f(x) concave vers le haut sur [a,b]
 f’’ (x) < 0 sur ]a,b[  f(x) concave vers le bas sur [a,b]
f’(x) est décroissante,
d’où sa dérivée f’’ < 0
f’(x) est croissante, d’où
sa dérivée f’’ > 0
m=0
m<0
m>0
m>0
m<0
m=0
Département de mathématiques
5
Nombre critique / Point d’inflexion
 Remarque : Le point (c , f(c)) est un point d’inflexion de f
ssi f’’(x) change de signe lorsque x passe de c à c+.
 Nombre critique de f’ : une valeur c du domaine de f’
pour laquelle f’’(c) = 0 ou f’’(c) n’existe pas. (Un point
d’inflexion potentiel)
Département de mathématiques
6
Tableau de variation relatif à f’’
Borne inférieure
Valeurs de x 
Nombres critiques
Borne supérieure
x
Valeurs de f’’(x) 
f’’(x)
Valeurs de f(x) 
f(x)
Points d’inflexion
Pour une fonction définie sur un intervalle : - - - - Département de mathématiques
7
Exemple 1
 Déterminer les intervalles de concavité vers le haut, de concavité vers le
bas et les points d’inflexion de la fonction f(x) = x4 – 10x3 + 36x – 12.





x
Étape 1 : Donner le domaine de la fonction
Étape 2 : Trouver f’’(x) et factoriser, si possible
Étape 3 : Identifier les nombres critiques de f’
Étape 4 : Compléter le tableau de variation relatif à f’’
Étape 5 : Donner une esquisse du graphique de f
-
0

5
f’’(x)
+
0

0
+
f(x)

-12

-457

inf
Département de mathématiques
inf
8
Exercice 1
 Déterminer les intervalles de concavité vers le haut, de
concavité vers le bas et les points d’inflexion de la fonction
f(x) = x4 - 24x2 + 14x + 40 définie sur [-5,2 ; 4,6].
x
-5,2
f’’(x)
f(x)
49,4
-2
4,6
+
0

0
+

-68

-12

inf
Département de mathématiques
2
44,3
inf
9
Exemple 2
 Déterminer les intervalles de concavité vers le haut, de
concavité vers le bas et les points d’inflexion de la
fonction f(x) = x 4  x 2 .
x
-2
0
f’’(x)
f(x)
f '(x) 
f ''(x) 
0
4  2x 2
2
+
0


0

0
inf
4  x2
2x(x 2  6)
(4  x 2 )3
Département de mathématiques
10
Test de la dérivée seconde (1 de 2)
 Soit une fonction f et c un nombre critique de f
tel que f’(c) = 0.

1) Si f’’(c) < 0, alors (c , f(c)) est un point de
maximum relatif de f.

2) Si f’’(c) > 0, alors (c , f(c)) est un point de
minimum relatif de f.

3) Si f’’(c) = 0 ou n’existe pas, alors le test ne
fonctionne pas et il faut revenir au test de la
dérivée première.
Département de mathématiques
11
Test de la dérivée seconde (2 de 2)
 Exemple : Soit f(x) = 2x3 – 0,25x4 – 0,2x5, déterminer les points de
maximum relatif et les points de minimum relatif de f à l’aide du test
de la dérivée seconde.





Étape 1 : Trouver f’(x) et factoriser, si possible
Étape 2 : Identifier les nombres critiques de f ayant f’(x) = 0
Étape 3 : Trouver f’’(x) (Inutile de factoriser)
Étape 4 : Évaluer f’’(x) pour les nombres trouvés à l’étape 2
Étape 5 : Utiliser le test de la dérivée première si le test de la
dérivée seconde ne permet pas de conclure
x
f’(x)
f(x)
Département de mathématiques
0
+
0
+
0
12
Devoir
 Série 6.2, page 246, nos 1 à 5.
 Exercices récapitulatifs, page 284, no 4.



4a) concavité vers le haut : - ; 0,25], concavité
vers le bas : [0,25 ; , point d’inflexion : (0,25 ; 0).
4c) concavité vers le haut : [2 ;  , concavité vers
le bas : - ; 2], point d’inflexion : (2 ; 16).
4e) concavité vers le haut : [-2 ; 0] , concavité
vers le bas : [0 ; 2], point d’inflexion : (0 , 0).
Département de mathématiques
13