Transcript TD 3 - Maths en PCSI

M.Bousquet - Lycée Camille Vernet
PCSI - 2014-2015
TD 3 : Fonctions usuelles
Exercice 1 : Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :
1. ln(x2 − 1) + ln 4 = ln(4x − 1) .
2. ex + e1−x = e + 1.
3. ln |x + 1| − ln |2x + 1| ≤ ln 2.
2
4. 2x = 3x
3
Exercice 2 : Résoudre les systèmes suivants :
ln(x) + ln(y) = 2 ln(2)
1.
x+y =5
2.
ex ey = ea
2xy = 1
Exercice 3 : Résoudre ch(x) + 2sh(x) = 2.
Exercice 4 :
1. Montrer que f : x 7→ (sin x)x est définie sur ]0, π[ et calculer sa dérivée.
2
2. Donner l’ensemble de définition de f : x 7→ (x − 1)x et calculer sa dérivée.
3. Donner l’ensemble de définition de f : x 7→ ch(x ln(x)) et calculer sa dérivée.
4. Soit a ∈ R∗+ et b ∈ R, donner l’ensemble de défintion de f : (ax + 3)b x
2
−1
et calculer sa dérivée.
Exercice 5 : On considère la fonction f : x 7→ xx .
1. Déterminer l’ensemble de définition de f .
2. Déterminer sa dérivée et tracer son tableau de variation.
3. Déterminer le nombre de solutions de f (x) = m en fonction de m.
4. Tracer le graphe de f .
ex
.
−1
1. Montrer que f réalise une bijection de ]0, +∞[ sur un intervalle que l’on précisera.
Exercice 6 : Pour tout x > 0, on pose f (x) =
ex
2. Expliciter l’application réciproque de f .
x+m
.
x2 + 1
1. Déterminer l’ensemble de définition de fm .
Exercice 7 : Pour m ∈ R, on pose fm (x) =
2. Montrer que les tangentes aux courbes Cm au point d’abscisse 0 sont parallèles.
3. Montrer que les tangentes aux courbes Cm au point d’abscisse 1 sont concourrantes.
4. Cas m = 0.
(a) Déterminer la parité de f0 . Dresser le tableau de variation de f0 .
(b) Tracer f0 .
Exercice 8 : On définit la fonction f par f (x) = ln(xe−2x ) + 2.
1. Déterminer l’ensemble de définition Df de f .
2. Montrer que f (x) = −2x + ln(x) + 2 pour tout x > 0.
3. Calculer les limites de f en 0 et +∞.
4. Calculer f 0 et dresser le tableau de variation de f . Tracer le graphe de f .
1
5. Montrer que f réalise une bijection de
, +∞ sur ] − ∞, ln(2)]. En déduire que f s’annule une unique fois
2
1
sur
, +∞ en un réel α.
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6. On définit sur
, +∞ , g(x) = x ln(x) − x2 + x.
2
1
0
, +∞ .
(a) Montrer que g (x) = f (x) pour tout x ∈
2
(b) Montrer que g(α) = α(α − 1). Indication : On pourra commencer par montrer que ln(α) = 2α − 2.
Donner l’équation de la tangente à Cg en α.
(c) Tracer le tableau de variation de g. On détermine les limites aux bornes du tableau.
Exercice 9 : Décomposer les fonctions suivantes sous la forme : f = g ◦ h (ou plus). En déduire une construction
du graphe de g.
1. f (x) = |x − 3|.
2. f (x) = 2 ln(x + 1).
3. f (x) = ch(1 − x).
4. f (x) = 3e−x + 1.
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