Transcript activites - EOLIPYLE Maths Sciences

Lycée
ALGÈBRE/ANALYSE
LEONARD DE VINCI -
2014/2015
FONCTION DÉRIVÉE : ÉTUDE DES
VARIATIONS D'UNE FONCTION
FONC 7
NOM : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _
des Métiers
1. Fonction dérivée
ACTIVITE 1 « Étanchéité d’une toiture »
AB
Aborder
RE
0
1
2
3
4
AN
Analyser/Raisonner
0
1
2
3
4
RE
Réaliser
0
1
2
3
VA
4
0
1
Valider
2
3
4
CM
0
1
2
4
3
Communiquer
La toiture d’un bâtiment est couverte par des plaques de cuivre. Pour des
problèmes d’étanchéité, le recouvrement de ces plaques ne peut se faire
que pour une inclinaison supérieure à un angle donné en fonction de la
région où se trouve ce bâtiment. On se propose d’étudier la forme de la
section du toit afin de déduire la variation de son inclinaison. On
pourra alors valider ou invalider la conformité du recouvrement.
y
La partie inférieure du toit est prise comme origine des axes. La
C
section droite du toit est un arc de parabole 
OD passant par les
B
points A, B, C, points de recouvrement des plaques de la toiture.
On donne : A (2 ; 1,35), B (4 ; 2,3), C (6 ; 2,85) et D (8 ; 3).
A
L’unité de longueur est le mètre.
1. Soit f la fonction définie sur [0 ; 8] dont la représentation
graphique est la parabole passant par les points A, B, C et D. O
2
Son expression est de la forme f(x) = ax + bx + c. Utiliser le mode statistique de la calculatrice pour
déterminer l’équation de cette parabole : f(x) = .........................................
D
x
Appel n°1 : Faire vérifier l’expression de la fonction f.
Lycée des Métiers LEONARD DE VINCI (33) – Laboratoire de Mathématiques Sciences Physiques et Chimiques – C. DUPONT - http://eolipyle.free.fr – TTP 1415 M FONC 7 AC Fonction derivee.docx – 2014/2015
RE
RE
AB
2.a. Tracer à la calculatrice la représentation graphique de f.
b. Utiliser la calculatrice pour déterminer les nombres dérivés de la fonction f aux abscisses suivants :
x
0
2
4
6
8
Nombre dérivé f ’(x)
c. Quelle est la signification de ces nombres dérivés ? (cocher la bonne réponse)
 C’est l’ordonnée à l’origine de la tangente à la fonction au point d’abscisse considéré.
 C’est le coefficient directeur de la tangente à la fonction au point d’abscisse considéré
 C’est l’ordonnée à l’origine de la perpendiculaire à la fonction au point d’abscisse considéré.
 C’est le coefficient directeur de la perpendiculaire à la fonction au point d’abscisse considéré
Appel n°2 : Faire vérifier les résultats
RE
AN
AB
RE
VA
CM
VA
CM
RE
VA
CM
3. Soit g la fonction définie sur [0 ; 8] par g(x) = –0,10x + 0,775.
a. Utiliser la calculatrice pour compléter le tableau de valeurs de la fonction g suivant :
x
0
2
4
6
8
g(x)
b. Conjecturer un lien entre la fonction g et les nombres dérivés de la fonction f.
....................................................................................................................................................................
c. Quelle doit-être la valeur du nombre dérivé pour avoir une tangente horizontale ? ................................
d. Résoudre l’équation g(x) = 0, c'est-à-dire –0,10x + 0,775 = 0 ..................................................................
....................................................................................................................................................................
e. En déduire en quelle abscisse la fonction f admet une tangente horizontale. ............................................
f. De façon générale, à quel endroit une parabole admet-elle une tangente horizontale ? ............................
g. Le point D est-il le point le plus haut du toit ? Justifier la réponse. .............................................................
....................................................................................................................................................................
4. Les panneaux de cuivre de la partie supérieure de la toiture ont pour longueur l’arc 
CD . Pour des
problèmes d’étanchéité, le recouvrement de ces panneaux ne peut se faire que si la pente au point de
raccordement C est suffisante. Pour la région considérée, l’angle  entre le toit et le plan horizontal doit
être supérieur à 13°. La tangente de l’angle  est égale à g(x).
a. Calculer l’angle C au point C. Le résultat sera arrondi au dixième de degré. ............................................
....................................................................................................................................................................
b. Conclusion : pourra-t-on maintenir le recouvrement au point C ? Justifier la réponse. .............................
....................................................................................................................................................................
Tle PRO
TTP
MATHS / ACTIVITES
1/11
NOM : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _
FONCTION DÉRIVÉE : ÉTUDE DES VARIATIONS
FONC 7
D'UNE FONCTION
ACTIVITE 2 « Fonctions dérivées des fonctions de référence »
2
Soient les fonctions usuelles suivantes : la fonction carré f définie par f(x) = x ; la fonction cube g définie par
3
g(x) = x ; la fonction inverse h définie par h(x) = 1 et la fonction racine carré i définie par i(x) = x.
x
y
y
y
y
g
f
i
h
1
2
x
x
1
0
0
1
1
1
x
0
x
0
1
1
1. On a tracé dans quatre fichiers GeoGebra la représentation graphique de ces fonctions. À un point A,
mobile sur leur représentation graphique, a été associé un point M calculant le nombre dérivé de la
fonction au point de l’abscisse de A. On note f ’, g’, h’ et i ’ les fonctions dérivées respectives de f, g, h et i.
a. Utiliser ces quatre fichiers en déplaçant le point A pour observer l’évolution du nombre dérivé et
attribuer aux représentations graphiques suivantes leur étiquette : f ’ , g’ , h’ ou i ’ .
y
y
y
y
x
Lycée des Métiers LEONARD DE VINCI (33) – Laboratoire de Mathématiques Sciences Physiques et Chimiques – C. DUPONT - http://eolipyle.free.fr – TTP 1415 M FONC 7 AC Fonction derivee.docx – 2014/2015
0
1
–1
1
x
0
1
1
1
x
x
0
1
0
1
b. Utiliser alors la calculatrice ou le logiciel
GeoGebra pour réattribuer les expressions des
fonctions dérivées à chacune des fonctions
usuelles du tableau ci-contre, parmi les
2
–1
1
expressions suivantes : 3x
2x
2
x
2 x
Fonction
Fonction dérivée
2
f ’(x) = ........................
3
g’(x) = ........................
h(x) = 1
x
h’(x) = ........................
f(x) = x
g(x) = x
2. On s’intéresse maintenant à la dérivée d’une
i ’(x) = ........................
i(x) = x
somme de fonctions usuelles.
2
Soient u et v deux fonctions définies sur  par u(x) = x et v(x) = 3x.
On considère la fonction f définie sur  comme étant la somme des deux précédentes : f(x) = u(x) + v(x).
a. Donner l’expression de la fonction f : f(x) = ................................................
b. Ouvrir le fichier GeoGebra «DERIVE SOMME.ggb ». Les trois fonctions u, v et f ont été représentées,
auxquelles on a associé respectivement un point Au, Av et Af mobile sur chacune de des représentations
qui permet, en le bougeant, de faire apparaître la trace des nombres dérivés.
Déplacer le point Au, puis donner l’expression de la fonction dérivée u ’ de la fonction u :
u ’(x) = ................. Saisir au logiciel cette expression pour vérification.
c. Déplacer le point Av, puis donner l’expression de la fonction dérivée v ’ de la fonction v :
v ’(x) = ................. Saisir au logiciel cette expression pour vérification.
d. Tracer la représentation graphique de la fonction g définie par g(x) = u ’(x) + v ’(x).
e. Déplacer le point Af de la fonction f définie par f(x) = u(x) + v(x). Observer la trace et conjecturer une
expression entre f ’(x), u ’(x) et v ’(x) : ........................................................................................................
Tle PRO
TTP
MATHS / ACTIVITES
2/11
NOM : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _
FONCTION DÉRIVÉE : ÉTUDE DES VARIATIONS
FONC 7
D'UNE FONCTION
Exercice 1 : Calcul de fonctions dérivées
Déterminer l’expression des fonctions dérivées des fonctions suivantes définies par :
 f9(x) = –3x2 + 4x – 5 sur [-3 ; 3]
 f15(x) = –3x3 + 2x2 sur [0 ; 2]
 f1(x) = x2 + x3 sur 
 f16(x) = –5x3 + 3x2 – 2x + 4 sur 
 f2(x) = –3x + 4 sur 
 f10(x) = 5 sur ]0 ; +[
x
1
4
1
 f17(x) = x3 – x2 + sur 
 f3(x) = x3 + 1 sur ]0 ; +[
2
3
2
x
 f11(x) = –3x – 1 sur ]0 ; +[
x
4
 f4(x) = –5x + 4 sur 
 f18(x) =
sur ]– ; 0[
3x
 f5(x) = –6x + x sur ]0 ; +[
 f12(x) = 3x3 – 2 sur ]0 ; +[
x
 f19(x) = 6 x + x2 sur ]0 ; +[
 f6(x) = x2 – 1 sur [-4 ; 4]
3
2
 f13(x) = x + x + 2 x sur ]0 ;  f20(x) = (x – 3)2 sur 
 f7(x) = –x2 + 1 sur [-4 ; 4]
+[
 f8(x) = –6x2 + 4x – 2 sur 
 f14(x) = x2 – 2x – 2 sur [0 ; 5]
Exercice 2 : Raccordement d’une route
Axe médian de la route
Une entreprise de Travaux Publics a en charge la construction
Nord
d’une route avec franchissement d’un pont en raccordant deux
virage
tronçons rectilignes. Pour cela, on modélise le tracé du virage par
route
l’axe médian de la route (ligne blanche) de la façon suivante :
y
Tronçon de route
rectiligne (2)
B
A
C
rivière
Tronçon de route
rectiligne (1)
Lycée des Métiers LEONARD DE VINCI (33) – Laboratoire de Mathématiques Sciences Physiques et Chimiques – C. DUPONT - http://eolipyle.free.fr – TTP 1415 M FONC 7 AC Fonction derivee.docx – 2014/2015
O
x
[OA] et [BC] sont des segments de droite et 
AB est un arc de courbe.
respect des contraintes de raccordement.
Dans un plan rapporté à un repère orthonormal d’axes
Point
(Ox, Oy) et d’unité graphique 1 cm, on définit les
abscisse x
points suivants par leurs coordonnées :
ordonnée y
Première partie : Étude des droites
L’objet du travail est de vérifier le
O
0
0
A
9
9
B
21
12
C
25
10
1.1. Parmi les équations de droite suivantes, quelle est celle de la droite (OA) ?  y = x  y = x  y = 2x
2
1.2. Parmi les équations de droite suivantes, quelle est celle de la droite (BC) ?
 y = 0,5x + 22,5  y = 0,5x – 22,5  y = –0,5x + 22,5  y = –0,5x – 22,5
1.3. Utiliser la calculatrice pour tracer ces deux droites, et déterminer les coordonnées du point I de leur
intersection (les coordonnées seront arrondies à l’unité).
On donne les réglages de la fenêtre d’affichage : Xmin = 0 ; Xmax = 25 ; Ymin = 0 ; Ymax = 20.
Deuxième partie : Étude de l’arc 
AB
2.1.a. Calculer les coordonnées du milieu M du segment [AI].
b. Calculer les coordonnées du milieu N du segment [BI].
c. Montrer que le point J (15 ; 12,75) est le milieu du segment [MN].
2.2.a. Utiliser le mode statistique de la calculatrice pour tracer les points A, B et J.
b. Utiliser les fonctions de la calculatrice pour déterminer l’équation de la parabole passant par ces trois
points. Noter alors l’expression de la fonction f de type ax2 + bx + c qui modélise l’arc 
AB .
c. Tracer la représentation graphique de la fonction f à la calculatrice.
2.3.a. Déterminer l’expression de la fonction dérivée f ’ de la fonction f.
b. Calculer les valeurs des nombres dérivés f ’(9) et f ’(21).
c. En déduire la propriété de la droite (OA) pour l’arc 
AB , et la propriété de la droite (BC) pour l’arc 
AB .
Troisième partie : Contraintes de raccordement
Indiquer à l’aide d’une phrase et en utilisant les résultats de la question précédente, la propriété géométrique
qui caractérise chacun des deux raccordements des trois parties de la route (tronçon rectiligne 1– virage –
tronçon rectiligne 2).
Formulaire : Pour A(xA ; yA) et B(xB ; yB), le milieu I de [AB] a pour coordonnées : I
Tle PRO
TTP
(x +2 x ; y +2 y ).
A
B
MATHS / ACTIVITES
A
B
3/11
NOM : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _
FONCTION DÉRIVÉE : ÉTUDE DES VARIATIONS
FONC 7
D'UNE FONCTION
2. Études de fonction à l’aide de la dérivée
ACTIVITE 3 « Quel est le lien entre les variations d’une fonction et sa dérivée ? »
AB
0
1
2
0
1
2
3
RE
4
Analyser/Raisonner
0
1
2
3
VA
4
Réaliser
0
1
2
3
4
Valider
CM
0
1
2
3
4
Communiquer
1. Problématique
On étudie trois profils de routes, modélisés par les fonctions dont les représentations
graphiques ,  et  sont données ci-dessous. On donne aussi les représentations graphiques A, B et
C des fonctions dérivées des fonctions modélisant les profils de routes.
y
y
y
1
1
1
x
–1
0
1
x
–1
2
–1
0
1
0

y
A
y
B
3
3
2
2
2
1
1
1
1
2
2

3
0
1
–1
x
–1
x
–1
2
–1

y
Lycée des Métiers LEONARD DE VINCI (33) – Laboratoire de Mathématiques Sciences Physiques et Chimiques – C. DUPONT - http://eolipyle.free.fr – TTP 1415 M FONC 7 AC Fonction derivee.docx – 2014/2015
AN
4
3
Aborder
C
x
–1
0
1
2
x
–1
0
–1
–1
–1
–2
–2
–2
1
2
a. En utilisant les informations données par les graphiques, adopter la bonne stratégie et associer chaque
fonction à sa dérivée.
b. Conjecturer alors une propriété permettant de relier le sens de variation d’une fonction et sa dérivée.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
AB
AN
AN
Appel n°1 : Faire vérifier la première conjecture
RE
2. Expérimentation sur le profil de route 
3
Le profil de route n° peut être modélisé par la fonction f définie sur [-2 ; 2,5] par f(x) = 0,5x – 1,5x + 1
a. À l’aide du logiciel GeoGebra, tracer la représentation graphique
de la fonction f sur [-2 ;2,5] :
b. Placer un point A sur la représentation graphique de la fonction f.
c. Tracer la tangente à la représentation graphique de la fonction f qui passe par A. On renommera cette
tangente « T » et on changera sa couleur pour quelle apparaisse en orange.
d. Définir le nombre m correspondant à la pente de cette tangente :
e. Que représente ce nombre m ? (cocher la bonne réponse)
 le nombre tangent de f en A
 la fonction dérivée de A  le nombre dérivé de f en A
f. Construire le point M de même abscisse que A et d’ordonnée M :
On fera afficher ce point en rouge, et on activera sa trace.
g. Faire évoluer lentement le point A le long de la représentation graphique de la fonction f.
Appel n°2 : Faire vérifier l’expérimentation, puis enregistrer le travail sous le nom
« FONC7 AC3 – NOM(S) ».
CM
Tle PRO
TTP
MATHS / ACTIVITES
4/11
NOM : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _
FONCTION DÉRIVÉE : ÉTUDE DES VARIATIONS
FONC 7
D'UNE FONCTION
CM
RE
VA
CM
AN
VA
RE
RE
RE
RE
Lycée des Métiers LEONARD DE VINCI (33) – Laboratoire de Mathématiques Sciences Physiques et Chimiques – C. DUPONT - http://eolipyle.free.fr – TTP 1415 M FONC 7 AC Fonction derivee.docx – 2014/2015
RE
VA
CM
3. Exploitation de l’expérimentation
a. Conjecturer la nature de la courbe décrite par le point M. ..........................................................................
b. Tracer la représentation graphique de la fonction dérivée f ’ de f, en saisissant « dérivée[f] » dans la
zone de saisie du logiciel (on fera apparaître la représentation ainsi tracée en vert).
c. Confirmer on infirmer la conjecture émise à la question 3.a.. .....................................................................
d. Sur quelle(s) partie(s) de la représentation graphique de f ’ se situe le point M lorsque le coefficient
directeur m de la tangente est positif ? .......................................................................................................
e. Conjecturer une propriété permettant de faire le lien entre le sens de variation de f et le signe de sa
dérivée f ’. ....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
f. Cette conjecture est-elle en accord avec celle émise dans la première partie ? ........................................
4. Validation
a. Déterminer l’expression de la fonction dérivée f ’ de la fonction f.
f ’(x) = .......................................
b. Montrer que f ’(x) = 1,5(x – 1)(x + 1), en développant cette expression. ....................................................
.....................................................................................................................................................................
c. Compléter alors le tableau de signe ci-contre,
x
–2
–1
1
2,5
en mettant « + » ou « – » (on pourra prendre
signe de
......
0
......
une valeur au hasard dans l’intervalle
(x – 1)
considéré et tester l’expression pour connaître
signe de
alors son signe).
......
0
......
(x + 1)
d. En déduire le signe de 1,5(x + 1)(x – 1) en
utilisant les résultats du tableau précédant, et
signe de
......
0
......
0
......
les règles de multiplication de signe :
1,5(x + 1)(x – 1)

; 
;
x
–2
–1
1
2,5
e. Puisque f ’(x) = 1,5(x – 1)(x + 1), compléter le
signe de
tableau de signe de la dérivée, et le tableau de
......
0
......
0
......
f ’(x)
variations de la fonction (à partir du graphique).
f. Les résultats de ce dernier tableau sont-ils en
accord avec les observations de la question 3. ? variations
de f
..........................................................................
..........................................................................
Exercice 3 : Combles d’une maison à architecture innovante
Les maisons à basse consommation ont souvent une architecture
y
B
innovante, à l’image de celle schématisée ci-contre. La ligne
E
C
formant le toit est constituée d’un segment de droite [AB] ; d’un
arc de parabole 
BC ; et d’un segment de droite [CD], tangent à
l’arc de parabole en C.
D
A
1. Dans un repère orthogonal, les points B, E et C sont
respectivement repérés par les coordonnées :
B (8 ; 8), E (12 ; 8) et C (13 ; 7).
x
a. Utiliser le mode statistique de la calculatrice pour tracer les
points B, C et E. On donne les réglages d’affichage : Xmin = 0 ; Xmax = 16 ; Ymin = 0 ; Ymax = 10.
b. Utiliser les fonctions de la calculatrice pour déterminer l’équation de la parabole passant par ces trois
points. Noter alors l’expression de la fonction f de type ax2 + bx + c qui modélise l’arc 
BC .
c. Déterminer l’expression de la fonction dérivée f ’ de la fonction f.
d. Étudier le signe de cette dérivée pour établir le tableau de variation de la fonction f.
e. Quel est le maximum de la fonction f ?
2.a. (CD) est la droite tangente à l’arc de parabole 
BC au point C. Calculer f ’(13).
b. Déterminer l’équation de la droite (CD). On utilisera la relation y = f ’(x0) (x – x0) + f(x0).
c. Calculer l’ordonnée du point D d’abscisse xD = 16.
3.a. Utiliser le mode statistique de la calculatrice pour ajouter au tracé les points A et E.
b. Utiliser la calculatrice pour tracer les représentations graphiques de la fonction f et de la droite (CD).
c. Tracer à la calculatrice la droite d’équation y = 6, représentant le plancher des combles au 2e étage.
4.a. Déduire des questions précédentes la hauteur maximale des combles.
b. La surface est habitable si la hauteur des combles sous le toit est supérieure ou égale à 1,80 m. Déterminer
la largeur au sol de la surface habitable des combles.
Tle PRO
TTP
MATHS / ACTIVITES
5/11
NOM : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _
FONCTION DÉRIVÉE : ÉTUDE DES VARIATIONS
FONC 7
D'UNE FONCTION
ACTIVITE 4 « Optimisation de l’aire d’une Terrasse à construire »
AB
Aborder
AB
AN
RE
0
1
2
3
4
AN
Analyser/Raisonner
0
1
2
3
4
RE
0
1
2
3
4
Réaliser
VA
0
1
2
Valider
On dispose d’un terrain dont la forme est en triangle rectangle dont les
cotés de l’angle droit mesurent 18,50 m et 16,65 m.
Sur ce terrain, on souhaite construire une terrasse rectangulaire
représenté par la figure MAIS sur la figure ci-contre (la position du point A
est variable) et dont la superficie serait la plus grande possible.
1. Analyse du problème
a. Un conducteur de travaux propose une terrasse dont la longueur est
12 m et la largeur 4,5 m. Cette proposition correspond-elle à une
terrasse dont l’aire est maximale ? Justifier la réponse.
............................................................................................................
............................................................................................................
3
CM
4
0
1
2
3
4
Communiquer
L
Terrain
4
I
1
S 1
A
Terrasse
M
14
O
.....................................................................................................................................................................
b. Proposer les grandes lignes d’une méthode permettant de déterminer les dimensions de la terrasse.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
AN
CM
Appel n°1 : Présenter les réponses au professeur
Lycée des Métiers LEONARD DE VINCI (33) – Laboratoire de Mathématiques Sciences Physiques et Chimiques – C. DUPONT - http://eolipyle.free.fr – TTP 1415 M FONC 7 AC Fonction derivee.docx – 2014/2015
RE
CM
CM
2. Expérimentation
a. Ouvrir le fichier GeoGebra « Optimisation terrasse.ggb ». On a modélisé le terrain triangulaire par le
triangle SOL et la terrasse par le rectangle MAIS. On appelle d la distance SM.
En déplaçant le point A, donner une estimation de la distance d pour laquelle l’aire du rectangle MAIS
semble maximale, puis relever l’aire
du triangle MAIS correspondante.
d = ..............................
= ..............................
b. En déduire une estimation des dimensions de la terrasse ayant l’aire maximale.
.....................................................................................................................................................................
Appel n°2 : Faire vérifier l’estimation
VA
VA
RE
RE
RE
VA
3. Modélisation mathématique
a. Les droites (AM) et (LS) sont parallèles. Grâce au théorème de Thalès, montrer que AM = 16,65 – 0,9d.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
2
b. En déduire que l’aire
du rectangle MAIS est donné par la relation
= –0,9d + 16,65d.
.....................................................................................................................................................................
2
c. Soit la fonction f définie sur [0 ; 18,5] par f(x) = –0,9x + 16,65x. Déterminer l’expression de la fonction
dérivée f ’ de la fonction f. ...........................................................................................................................
d. Résoudre l’équation f ’(x) = 0. .....................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
e. Étudier le signe de f ’(x) selon les valeurs de x
x
0
......
18,5
puis compléter le tableau de variations de la
f ’(x)
fonction f ci-contre.
f. Pour quelle valeur de x la fonction f admet-elle
f
un maximum ? ..................................................
g. Quelle est la valeur de ce maximum ? ..............
CM
AN
VA
CM
4. Conclusion
a. Que modélise la fonction f ? .......................................................................................................................
b. L’étude de la fonction f confirme-t-elle ou infirme-t-elle l’estimation de la distance d et de l’aire
maximale de la maison donnée dans la question 2. ? Expliciter la réponse
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Tle PRO
TTP
MATHS / ACTIVITES
6/11
Lycée des Métiers LEONARD DE VINCI (33) – Laboratoire de Mathématiques Sciences Physiques et Chimiques – C. DUPONT - http://eolipyle.free.fr – TTP 1415 M FONC 7 AC Fonction derivee.docx – 2014/2015
NOM : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _
FONCTION DÉRIVÉE : ÉTUDE DES VARIATIONS
FONC 7
D'UNE FONCTION
Exercice 4 : Prix minimal de dalles en béton
Pour proposer le meilleur prix à son client en respectant les normes de construction
en vigueur, une entreprise de travaux publics est conduite à approfondir son étude
de prix du mètre carré de dalle en béton.
On appelle P le prix de 1 m2 de dalle en béton, exprimé en euros, connaissant
l’épaisseur h, en mètres, de la dalle (pour une épaisseur comprise entre 0,1 et 0,25
mètres. On a P = 105h + 4,2 + 23.
h
1. Calculer les prix du mètre carré de dalle pour des hauteurs de 0,1 ; 0,18 ; 0,2 ; 0,22 et 0,25 m.
2. Soit la fonction f définie sur [0,1 ; 0,25] par f(x) = 105x + 4,2 + 23.
x
a. Que modélise la fonction f ?
b. Utiliser la calculatrice pour tracer la représentation graphique de la fonction f. On donne les réglages de la
fenêtre d’affichage : Xmin = 0,1 ; Xmax = 0,25 ; Ymin = 60 ; Ymax = 80.
c. Par lecture graphique sur la calculatrice, donner une estimation de la valeur minimale que semble prendre
la fonction f.
x
0,1
.....
0,25
3.a. Déterminer l’expression de la fonction
Signe de
dérivée f ’ de la fonction f.
f ’(x)
b. On admet que f ’(x) a le même signe que
l’expression 105x2 – 4,2. Résoudre
Variations
l’équation du second degré 105x2 – 4,2 = 0.
de f
c. En déduire le tableau de variation ci-contre.
4. On appelle épaisseur économique de la dalle, l’épaisseur qui correspond au prix minimal de cette dalle. à
l’aide des résultats précédents, indiquer quelle est l’épaisseur économique d’un mètre carré de la dalle
considérée, puis le prix minimal d’un mètre carré de dalle.
ACTIVITE 5 « Optimisation des dimensions d’un récupérateur d’eau »
AB
0
1
2
Aborder
AB
3
AN
4
0
1
2
3
RE
4
Analyser/Raisonner
0
1
2
3
VA
4
Réaliser
0
1
2
Valider
3
CM
4
0
1
2
3
4
Communiquer
On désire fabriquer un récupérateur d’eau. C’est un réservoir à ciel ouvert,
parallélépipède droit de hauteur h et de base carré de coté x. Deux modèles sont
3
3
proposés : le modèle de contenance 4 m , et le modèle à 2 m . Pour des raisons
d’étanchéité, les surfaces intérieures seront traitées par un produit ... mais celuici coûte très cher.
1. Analyse du problème
a. Parmi les schémas suivants, choisir celui qui correspond au récupérateur
d’eau étudié.
x
x
h
h
x

AB
h

h
h
h
h
x

x
x

x

b. Quelle est l’expression du volume V du récupérateur d’eau, en fonction de x et de h ?
2
2
2
 V = .x.h2  V = .x.h  V = x.h2  V = h.x2  V = x.h  V = h.x
4
4
4
c. Quel est le problème à résoudre ? Cocher la bonne réponse.
 Déterminer les dimensions du récupérateur pour que le volume soit maximal
 Déterminer les dimensions du récupérateur pour que la surface interne soit maximale.
 Déterminer les dimensions du récupérateur pour que la surface interne soit minimale.
AB
Appel n°1 : Faire vérifier les propositions et les justifier oralement
3
AN
2. Cas du récupérateur de 4 m : Expérimentation à l’aide des TIC
a. Ouvrir le fichier « Récupération Eau.ggb » à l’aide du logiciel GeoGebra. Les deux curseurs
er
programmés permettent de fixer le volume du récupérateur et sa hauteur. On souhaite modéliser le 1
3
modèle de récupérateur d’eau de contenance 4 m . Effectuer le réglage nécessaire.
Tle PRO
TTP
MATHS / ACTIVITES
7/11
NOM : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _
FONCTION DÉRIVÉE : ÉTUDE DES VARIATIONS
FONC 7
D'UNE FONCTION
AN
RE
CM
AN
RE
RE
Appel n°2 : Faire vérifier la proposition
RE
AN
RE
RE
RE
Lycée des Métiers LEONARD DE VINCI (33) – Laboratoire de Mathématiques Sciences Physiques et Chimiques – C. DUPONT - http://eolipyle.free.fr – TTP 1415 M FONC 7 AC Fonction derivee.docx – 2014/2015
2
b. Tracer sur l’intervalle [0 ; 6] la représentation de la fonction f définie par f(x) = h.x . On saisira pour cela
« fonction[h*x^2,0,6] ». Faire ensuite varier le curseur correspondant à la hauteur h.
Que modélise la fonction f ? ........................................................................................................................
3
c. On souhaite trouver la valeur de x qui correspond à un volume de 4 m .
Tracer la droite d’équation y = V, puis utiliser l’outil « Nouveau point » pour créer le point A à
l’intersection de la droite tracée et de la représentation graphique de la fonction f.
3
Donner la cote x du carré de la base si la hauteur est de 3 m pour un volume de 4 m : ...........................
Que vaut alors l’abscisse du point A ? ........................................................................................................
d. Parmi les relations suivantes, quelle est celle à saisir dans le logiciel pour obtenir la surface de toutes
les faces internes au récupérateur d’eau ?
 Surface = h^2 + 4*h*x(A)  Surface = x(A)^2 + 4*h*x(A)  Surface = 2*x(A)^2 + 4*h*x(A)
2
Saisir dans le logiciel la relation choisie, et donner alors la surface, en m , d’un récupérateur d’eau de
3
volume 4 m et de hauteur 3 m. ..................................................................................................................
e. Déterminer à l’aide du curseur h la valeur de la hauteur pour laquelle la surface semble minimale. .........
RE
RE
CM
CM
f. Placer le point M en saisissant « M=(x(A),Surface) ». On « activera la trace » du point M en modifiant
ses propriétés, et on changera sa couleur pour qu’il soit vert.
Faire varier lentement le curseur h. Que modélise la représentation graphique tracée par le point M ?
.....................................................................................................................................................................
3. Exploitation de l’expérimentation
2
a. L’aire totale des surfaces intérieures est modélisée par la fonction g définie sur ]0 ; 6] par g(x) = x + 16.
x
Tracer la représentation graphique, en vert, de cette fonction à l’aide du logiciel.
b. Déterminer l’expression de la fonction dérivée g’ de la fonction g : g’(x) = ...............................................
c. Calculer g’(2). .............................................................................................................................................
d. En déduire le tableau de signe de g’(x) et les
x
0
2
6
variations de g.
g ’(x)
e. Pour quelle valeur de x la fonction g admet-elle
un minimum ? ..................................................
g
f. Quelle est la valeur de ce minimum ?
...........................................................................
VA
CM
RE
CM
4. Conclusion
3
a. Donner les dimensions du bac de récupération d’eau de contenance 4 m , pour que sa surface interne
soit minimale.
.....................................................................................................................................................................
b. Utiliser le fichier GeoGebra pour déterminer rapidement les dimensions optimales du bac de
3
récupération d’eau de contenance 2 m .
.....................................................................................................................................................................
Appel n°3 : Enregistrer le travail sous le nom « FONC7 AC5 – NOM(S) », puis le
transmettre au professeur.
Exercice 5 : Volume maximal de gouttières en aluminium
Les gouttières actuelles sont fabriquées sur place grâce à une bande d’aluminium mise en forme par une
« profileuse ». La bande d’aluminium de 32 cm de large est déroulée et pliée par la machine. Le volume de la
gouttière dépend de la cote de pliage x. On cherche la valeur de cette cote x qui donne un volume maximal.
x
x
0,32
x
0,32 – 2x
Première partie : Étude d’une gouttière de 10 m de long
1.1. Expression du volume selon x.
a. Calculer la largeur l de la gouttière si sa hauteur est x = 0,07 m.
b. Calculer en m3 le volume V1 de la gouttière si sa hauteur est x = 0,07 m.
c. De même, calculer en m3 le volume V2 de la gouttière si sa hauteur est x = 0,11 m.
d. Exprimer, en m3, le volume V de la gouttière de longueur 10 m en fonction de x.
Tle PRO
TTP
MATHS / ACTIVITES
8/11
5,5 m
1.2. On étudie la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 0,16] par f(x) = 3,2x – 20x2.
a. Déterminer l’expression de la fonction dérivée f ’ de la fonction f.
b. Résoudre l’équation f ’(x) = 0 et étudier le signe de cette dérivée sur [0 ; 0,16].
c. Dresser le tableau de variation de la fonction f.
d. Montrer que la fonction passe par un maximum pour une valeur x0 de x, que l’on précisera.
1.3. Quelle doit être la cote x pour que le volume de la gouttière soit maximal ? quel est alors ce volume ?
Seconde partie : Étude de la gouttière de longueur quelconque L
2.1. Montrer que le volume d’une gouttière de 32 cm de large et de longueur L s’écrit : V(x) = L(0,32x – 2x2)
2.2. Utiliser le logiciel GeoGebra pour tracer la fonction f définie dans la première partie.
2.3.a. Créer un curseur représentant la valeur de L pouvant varier de 0 à 20 m.
b. Représenter sur l’intervalle [0 ; 0,16] la fonction V définie par V(x) = L(0,32x – 2x2).
2.4. Déplacer le curseur et observer les variations de V lorsque L varie entre 0 et 20. La valeur de L a-t-elle une
influence sur la cote x permettant d’obtenir le volume maximal ?
2.5. En utilisant les fonctionnalités du logiciel, tracer la dérivée de la fonction V et observer son signe sur
l’intervalle [0 ; 0,16] lorsque L varie entre 0 et 20. En quoi ce résultat confirme-t-il les observations
précédentes ?
2.6. Observer les expressions de V et de sa dérivée lorsque L varie entre 0 et 20 dans la fenêtre algébrique du
logiciel, et en déduire l’expression de V ’(x) de la dérivée de V en fonction de L.
Vue de dessus d’une partie de la propriété
Exercice 6 : Construire et aménager une maison
(Maison + terrasse + piscine)
Des particuliers souhaitent réaliser sur leur propriété une terrasse
ABCDEF suivant le croquis ci-contre.
Afin que l’ensemble reste harmonieux et que la terrasse réponde
à leurs besoins, ils exigent du maçon que les largeurs des deux
« ailes » de cette terrasse aient les proportions suivantes : AB = x
et ED = 1,5x. Le maçon devra aussi préserver un accès EG = x.
A
F
Le budget des clients est limité.
x
Problématique : Il s'agit donc de donner à x une valeur afin que
H
B
l'aire de la surface au sol de la terrasse soit la plus grande
C
possible tout en respectant les exigences des clients ainsi que
1,5x
leur budget.
Première partie : Étude de cas
Piscine
E
D
1.1. Étude d’un cas particulier
x
a. Dans cette question, on prend x = 2,5 m. Calculer l'aire des
G
rectangles ABHF et CDEH.
b. En déduire l'aire totale t de la surface de la terrasse.
10,5 m
1.2. Étude du cas général
a. Exprimer, en fonction de x, 1'aire 1 du rectangle ABHF et l'aire 2 du rectangle CDEH.
b. En déduire, en fonction de x, l'expression de l'aire totale de la surface ABCDEF.
Deuxième partie : Modélisation par une fonction
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [1 ; 5,5] par f(x) = –3x2 + 24x.
2.1.a. Utiliser la calculatrice pour tracer la représentation graphique de la fonction f. On donne les réglages de
la fenêtre d’affichage : Xmin = 1 ; Xmax = 5,5 ; Ymin = 0 ; Ymax = 50.
b. Pour quelle valeur de x la fonction f semble-t-elle admettre un maximum ?
2.2.a. Calculer f ’(x) où f ’désigne la dérivée de la fonction f.
b. Résoudre l’équation f ’(x) = 0.
c. Étudier le signe de f ’(x) sur [1 ; 5,5], puis dresser le tableau de variation de f.
2.3.a. Pour quelle valeur de x, l'aire est-elle maximale ? Quelle est cette aire maximale ?
b. Donner, dans ce cas, les largeurs AB et ED des deux « ailes ».
c. En déduire la distance qui sépare le côté [CB] de la terrasse et la piscine.
Troisième partie : Application des contraintes
Leur budget étant limité, les clients souhaitent que l'aire de leur future terrasse soit limitée à 45 m2. Pour des
raisons de sécurité, la distance de la terrasse à la piscine doit être au minimum de 2 m.
3.1. À l’aide de la calculatrice, résoudre graphiquement l’équation f(x) = 45.
3.2. Afin de vérifier par le calcul les résultats de la question précédente, résoudre l'équation –3x 2 + 24x = 45.
3.3. En déduire la valeur de x respectant les deux contraintes. Justifier la réponse. Quelle est alors la
distance séparant le côté [CB] de la terrasse et la piscine ?
9m
Lycée des Métiers LEONARD DE VINCI (33) – Laboratoire de Mathématiques Sciences Physiques et Chimiques – C. DUPONT - http://eolipyle.free.fr – TTP 1415 M FONC 7 AC Fonction derivee.docx – 2014/2015
NOM : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _
FONCTION DÉRIVÉE : ÉTUDE DES VARIATIONS
FONC 7
D'UNE FONCTION
Tle PRO
TTP
MATHS / ACTIVITES
9/11
Lycée des Métiers LEONARD DE VINCI (33) – Laboratoire de Mathématiques Sciences Physiques et Chimiques – C. DUPONT - http://eolipyle.free.fr – TTP 1415 M FONC 7 AC Fonction derivee.docx – 2014/2015
NOM : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _
FONCTION DÉRIVÉE : ÉTUDE DES VARIATIONS
FONC 7
D'UNE FONCTION
Exercice 7 : Ouvrage en béton armé
Le schéma ci-contre représente un ouvrage en béton armé, constitué d’un
mur et des ses fondations appelées « semelle ». Le mur et la semelle sont
0,15
deux des pavés droits. Sur le schéma les cotes sont exprimées en mètre et
les proportions ne sont pas respectées.
Mur en
La réalisation de cet ouvrage doit satisfaire les exigences suivantes :
Semelle en
béton armé
béton armé
 la hauteur h de la semelle est comprise entre 0,15 m et 0,60 m ;
 le sol étant argileux, la pression exercée par l’ensemble {mur + 2,5
semelle} ne doit pas dépasser 20 000 Pa.
Première partie : Expression de la pression exercée par l’ouvrage
12
1.1. Calcul du volume total de béton nécessaire pour réaliser l’ouvrage
h
a. Calculer, en m3, le volume de béton, noté VM, du mur.
3
2,5 h
b. Exprimer, en fonction de h, le volume en m , noté VS, de la semelle.
3
c. En déduire, en fonction de h, l’expression du volume total de béton en m , noté VT, de l’ouvrage.
1.2. Expression de la pression exercée sur l’ouvrage.
La masse volumique du béton armé utilisé pour la fabrication de cet ouvrage étant de 2 500 kg/m3, son
poids total en Newton (N), exprimé en fonction de h est : F = 750 000 h2 + 112 500.
Soit p la pression exercée par l’ouvrage au sol. Cette pression p, exprimée en Pascal, est donné par la
formule suivante : p = F dans laquelle S représente la surface de la base de la semelle.
S
Montrer que la pression p s’exprime en fonction de h, par la relation : p = 3 750 + 25 000 h.
h
Deuxième partie : Modélisation par une fonction
On considère la fonction f définie sur [0,15 ; 0,60] par f(x) = 3 750 + 25 000 x.
x
2.1.a. Tracer la représentation graphique de la fonction f à la calculatrice. On donne les réglages de la fenêtre
d’affichage : Xmin = 0,15 ; Xmax = 0,60 ; Ymin = 18000 ; Ymax = 28000.
b. Résoudre graphiquement l’inéquation f(x)  20 000. Exprimer les solutions sous forme d’un intervalle.
2.2.a. Déterminer l’expression de la fonction dérivée f ’ de la fonction f.
2
b. Montrer, en explicitant la réponse, que f ’(x) peut se mettre sous la forme f ’(x) = 25 000 x 2 – 3 750.
x
c. Résoudre dans  l’équation du second degré d’inconnue x : 25 000 x2 – 3 750 = 0 Arrondir au centième.
d. En utilisant la réponse précédente, résoudre f ’(x) = 0 sur l’intervalle [0,15 ; 0,60].
e. Dresser le tableau de variation de la fonction f.
Troisième partie : Exploitation des résultats
3.1. Déterminer les valeurs de h telles que p  20 000 Pa.
3.2. Donner la valeur de h pour laquelle la pression est minimale.
3.3. Dans le but d’économie, on choisit la valeur de h donnant une semelle de volume minimum, tout en
respectant les exigences de l’énoncé. Donner alors les dimensions de la semelle.
Exercice 8 : Puissance mécanique et couple moteur
La puissance mécanique P développée par un moteur varie en fonction de sa
fréquence de rotation. On note n la fréquence de rotation exprimée en milliers de
tours par minutes. La puissance P est alors P = –2n3 + 12n2 + 30n pour une
fréquence de rotation comprise entre 1 et 6 milliers de tours par minutes.
Le moment du couple moteur disponible en bout d’arbre varie en fonction de la
puissance et de la fréquence de rotation.
On cherche à déterminer si le couple moteur est maximum lorsque la
Moteur Diesel pour engins de
Travaux Publics
puissance est maximale.
Première partie : Modélisation de la puissance
La puissance peut être modélisée par la fonction f définie sur [1 ; 6] par f(x) = –2x3 + 12x2 +30x.
1.1.a. Utiliser la calculatrice pour tracer la représentation graphique de la fonction f. On donne les réglages de
la fenêtre d’affichage : Xmin = 1 ; Xmax = 6 ; Ymin = 0 ; Ymax = 210.
b. Pour quelle valeur de x la fonction f semble-t-elle admettre un maximum ?
1.2.a. Déterminer l’expression de la fonction dérivée f ’ de la fonction f.
b. Calculer f ’(5), puis dresser le tableau de variation de la fonction f.
Tle PRO
TTP
MATHS / ACTIVITES
10/11
Lycée des Métiers LEONARD DE VINCI (33) – Laboratoire de Mathématiques Sciences Physiques et Chimiques – C. DUPONT - http://eolipyle.free.fr – TTP 1415 M FONC 7 AC Fonction derivee.docx – 2014/2015
NOM : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _
FONCTION DÉRIVÉE : ÉTUDE DES VARIATIONS
FONC 7
D'UNE FONCTION
Deuxième partie : Modélisation du couple moteur
2.1. Le moment du couple moteur est proportionnel au rapport P. Exprimer le rapport P en fonction de n.
n
n
f(x)
2
2.2. Soit la fonction g définie sur l’intervalle [1 ; 6] par g(x) =
= –2x + 12x +30.
x
a. Déterminer l’expression de la fonction dérivée g’ de la fonction g.
b. Résoudre l’équation g’(x) =0.
c. Étudier le signe de g’(x), puis dresser le tableau de variation de la fonction g.
d. En déduire la valeur de x pour laquelle la fonction g présente un maximum.
Troisième partie : Conclusion
3.1. Déduire la fréquence de rotation pour laquelle la puissance est maximum, et la valeur de cette puissance.
3.2. Peut-on dire que le couple moteur est maximum lorsque la puissance est maximale ?
Exercice 9 : Canal ouvert
A
D
On veut, avant construction, rendre minimal le frottement d'un fluide contre les parois
d'un canal ouvert, de section intérieure rectangulaire ABCD. Soit la hauteur h = AB et
h
la largeur L0 = BC. On fait l'hypothèse suivante : le frottement est minimal lorsque la
L0
longueur d = AB + BC + CD de la section est minimale.
C
L'objectif est de déterminer la hauteur h pour laquelle les frottements sont B
minimaux.
Toutes les longueurs sont exprimées en mètre et les aires sont exprimées en mètre carré.
Première partie : Analyse de la situation
L'aire de la section rectangulaire ABCD est 0,5.
1.1.a Dans le cas particulier où h = 2, calculer la largeur L0.
b. Calculer alors la longueur d = AB + BC + CD.
1.2.a. Dans le cas général, exprimer la largeur L0 en fonction de h.
b. Justifier que la longueur d, en fonction de h, peut s'écrire : d = 2h + 1 .
2h
Deuxième partie : Modélisation par une fonction
Soit la fonction f définie sur l'intervalle [0,1 ; 2] par : f(x) = 2x + 1 .
2x
2.1.a. Utiliser la calculatrice pour tracer la représentation graphique de la fonction f. On donne les réglages de
la fenêtre d’affichage : Xmin = 0 ; Xmax = 2 ; Ymin = 0 ; Ymax = 6.
b. Pour quelle valeur de x la fonction f semble-t-elle admettre un minimum ?
2.2.a. Calculer f ’(x) où f ’désigne la dérivée de la fonction f.
+ 1).
b. Justifier que f ’(x) peut s’écrire sous la forme f ’(x) = (2x – 1)(2x
2x2
c. Compléter le tableau de signe ci-contre.
x
0,1
0,5
2
d. Déduire de la question précédente le tableau
2x + 1
de variation de la fonction f ci-dessous.
x
0,1
2
2x – 1
Signe de
f ’(x)
2x2
Variations
(2x – 1)(2x + 1)
de f
2x2
f. Pour quelle valeur de x la fonction f admet-elle un minimum ?
g. Quelle est la valeur de ce minimum ?
Troisième partie : Exploitation
Dans la modélisation mathématique précédente, x représente la hauteur h du canal, et f(x) représente la
longueur d = AB + BC + CD. On admet que les frottements du fluide contre les parois du canal sont
minimaux lorsque la longueur d est minimale.
3.1. Donner la valeur de h pour laquelle les frottements sont minimaux.
3.2. Donner alors la valeur correspondante de la longueur d.
Tle PRO
TTP
MATHS / ACTIVITES
11/11