Transcript ACTIVITES Bis - EOLIPYLE Maths Sciences

Lycée
ALGÈBRE/ANALYSE
FONC 7
des Métiers
LEONARD DE VINCI -
2014/2015
FONCTION DÉRIVÉE : ÉTUDE DES
VARIATIONS D'UNE FONCTION
Lycée des Métiers LEONARD DE VINCI (33) – Laboratoire de Mathématiques Sciences Physiques et Chimiques – C. DUPONT - http://eolipyle.free.fr – TTP 1415 M FONC 7 AC-BIS Fonction derivee.docx – 2014/2015
2. Études de fonction à l’aide de la dérivée
Exercice 10 [Complémentaire] : Extension de bâtiment
Extension
On souhaite réaliser une extension à un bâtiment existant. Le
à réaliser
schéma ci-dessous représente une vue en coupe du bâtiment.
Les toitures de l'extension et du bâtiment existant se raccordent de
Poteau
façon harmonieuse. L'extension doit satisfaire deux exigences : 5 m
Bâtiment
existant
 Les poteaux soutenant la toiture de l'extension se situent à
h
2,50 m du mur existant ;
 La hauteur h des poteaux doit être supérieure à 2,10 m.
10 m
2,50 m
Première partie : Étude du profil du bâtiment existant
La partie (AC) de la toiture de bâtiment existant peut être modélisée par la représentation graphique de la
fonction f définie sur [0 ; 10] par f(x) = –0,1x2 + x + 5.
1.1. Déterminer l’expression de la fonction dérivée f ’ de la fonction f.
1.2. Résoudre l’équation f ’(x) = 0.
1.3. Étudier le signe de f ’(x) sur [0 ; 10] et dresser le tableau de variation de f.
1.4. Quelle est la hauteur maximale du bâtiment existant ?
Deuxième partie : Prolongement de la toiture par le même profil parabolique
2.1. Tracer la représentation graphique de la fonction f à la calculatrice. On donne les réglages de la fenêtre
d’affichage : Xmin = 0 ; Xmax = 12,5 ; Ymin = 0 ; Ymax = 8.
2.2. Calculer f(12,5).
2.3. En déduire la hauteur h1 d’un poteau dans le cas d’un prolongement de la toiture par la parabole.
Troisième partie : Prolongement de la toiture selon un profil linéaire
3.1. Calculer le nombre dérivé f ’(10).
3.2. Justifier que la droite d’équation y = –x + 15 est tangente à la courbe (AC) au point C.
3.3. Tracer la droite d’équation y = –x + 15 à la calculatrice.
3.4. Calculer la valeur de y pour x = 12,5.
3.5. En déduire la hauteur h2 d’un poteau dans le cas d’un prolongement de la toiture par un profil droit.
Quatrième partie : Exploitation des résultats
En fonction des exigences précisées au départ, quel type de profil doit-on choisir pour réaliser l’extension ?
Exercice 11 [Complémentaire] : Charge d’une grue
Sur un chantier, on utilise une grue pour déplacer des dalles en béton.
La charge maximum C que l’on peut soulever dépend de la longueur l
165
selon la relation :
C=
l–5
On modélise la situation par la fonction f définie sur [10 ; 60] par
l
f(x) = 165 .
x–5
1. On peut écrire f(x) = 165 × 1 avec u(x) = x – 5.
u(x)
On admet alors que f ’(x) = 165 × – u’(x)2
 [u(x)] 
Calculer f ’(x) et étudier son signe.
2. Pourquoi peut-on affirmer que plus on éloigne la charge du mât, plus la masse soulevée est grande ?
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FONCTION DÉRIVÉE : ÉTUDE DES VARIATIONS
FONC 7
D'UNE FONCTION
Exercice 12 [Complémentaire] : Rénovation d’un local
Dans le cadre de la rénovation d’un local à usage industriel, on souhaite créer une ouverture vitrée
rectangulaire MKDH sur le mur ABCD représenté ci-dessous. ABCD est un trapèze rectangle.
L’objectif du problème est la
détermination de la hauteur h = DK
qui donnera à la surface vitrée
MKDH une aire
maximale.
AB = 3 m
AD = 8 m
DC = 7 m
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Figure 1
Voici trois cas particuliers qui visualisent des variations de h et de
.
Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Première partie : Étude de cas
1.1. Calculer la mesure  de l’angle
CBL . Le résultat sera arrondi au dixième de degré.
1.2. Étude d’un cas particulier.
Dans cette question, on prend h = 4,20 m et  = 26,5°.
a. Calculer les mesures des longueurs KL, AH et HD. Les résultats seront arrondis à 10–2.
b. Calculer l’aire
du rectangle MKDH.
1.3. Cas général :
La position du point M est donc la côte h ne sont pas connues.
a. Exprimer KL en fonction de h.
1
b. Montrer que AH = 2(h – 3). On pourra utiliser le résultat : tan  = .
2
c. Exprimer HD en fonction de h.
d. Montrer que l’aire
du rectangle MKDH peut s’écrire :
= – 2h2 + 14h.
Deuxième partie : Modélisation par une fonction
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [3 ; 7] par : f(x) = – 2x2 + 14x.
Avec les notations de la partie A, on a :
= f(h)
2.1. Déterminer f ’(x) où f ’ est la dérivée de la fonction f.
2.2. Étudier le signe de f ’(x), puis dresser le tableau de variation de la fonction f.
2.3.a. Pour quelle valeur de h l’aire est-elle maximale ?
b. Quelle est cette aire maximale ?
c. Donner dans ce cas les dimensions de la partie vitrée.
Troisième partie : Représentation graphique
3.1. Tracer la représentation graphique de la fonction f à la calculatrice. On donne les réglages de la fenêtre
d’affichage : Xmin = 3 ; Xmax = 7 ; Ymin = 0 ; Ymax = 30.
3.2. On souhaite déterminer de deux façons différentes la valeur de h pour que la surface vitrée ait une aire
égale à 18 m2.
a. Déterminer h graphiquement.
b. Déterminer h par le calcul en résolvant l’équation du second degré : – 2x2 + 14x = 18.
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