Transcript Enoncé et corrige

La rampe d'accès
Une usine de produits chimiques dangereux souhaite faire construire une rampe inclinée en pente douce permettant à
ses chariots de franchir un dénivelé de 1 m entre le sol et un quai .
Pour d'évidentes raisons de sécurité, cette rampe devra être tangente au sol au point A et tangente en B au niveau du
sol du quai .
On appelle O le projeté orthogonal de B sur le sol et C le milieu de [OA] . Pour faciliter votre étude , on exprimera
les coordonnées des points et les équations des courbes dans le repère orthonormal direct ( O ; C ; B )
Dans un premier projet, on prévoit une emprise au sol de 2 m c'est à dire OA = 2 m
1) Une rampe rectiligne peut-elle convenir ? Pourquoi ?
Etre tangente au sol ou au quai signifie tangente horizontale ce qui est impossible avec un segment de droite
2) Une rampe formée d'un arc de parabole peut-elle convenir ? Pourquoi ?
Une parabole n'admet qu'une tangente horizontale en son sommet or ici on en veut deux donc impossible
3) a) On veut trouver une solution formée de deux arcs de parabole de sommets respectifs A et B se raccordant
( 12 ). Déterminer les équations des deux paraboles
en un point I de coordonnées 1 ;
On prend f(x) = ax 2+bx+c sur [0;1] . On a alors f(0)=1 , f ' (0)=0 , f (1)=
trouve f(x) =
1
avec ces données on
2
−1 2
1
x +1 . De même sur [1;2] avec g (1)= , g (2)=0 et g ' (2)=0 et on trouve
2
2
1 2
g ( x)= x −2 x+2
2
b) Vérifier que la pente maximum est obtenue en I. Quelle est cette pente ?
f ' ( x)=−x Donc en valeur absolue maximum en x = 1 c'est à dire en I
g ' ( x)= x−2 pour x ∈ [1;2] , g(x) ∈ [−1 ;0 ] donc max en x = 1 donc en I
Cette pente vaut donc 1
4) On décide de donner à la rampe un profil d'équation : y = ax3 bx 2cxd
Déterminer les réels a , b , c , et d donnant la solution du problème . Quelle est la pente maximum de la
rampe ?
On exploite ici f(0)=1 , f ' (0)=0 , f ' (2)=0 , f(2) = 0 et on trouve f(x) =
M. Philippe
1 3 3 2
x − x +1
4
4
Page 1 / 2
f ' ( x) =
S
(
3 2 3
3
x − x = x( x−2) parabole tourné vers le haut car a =3/4 > 0 de sommet
4
2
4
( )) cad S(1 ;− 34 ) d'où le tableau de variation sur [0;2] :
−b
−b
;f'
2a
2a
x
0
f ' ( x)
f ( x)
1
–
0
0
−3
4
2
+
0
Le maximum de f ' est donc en valeur absolue atteint en x = 1. La pente max est donc de
3
4
réinvestir les paraboles, nombre dérivée et pente, fonctions affines, maximum d'une fonction
B
O
M. Philippe
C
A
Page 2 / 2