Transcript Angles orientés et trigonométrie 1 Cercle trigonométrique

Angles orientés et trigonométrie
Activité 1 :
1
Cercle trigonométrique - Radian
1.1
Cercle trigonométrique
Dénition 1.
Un cercle trigonométrique C est un cercle de centre O et de rayon 1 (une unité) sur lequel on
a distingué deux sens de parcours :
* Sens direct (sens positif ) : le sens inverse des
aiguilles d'une montre
* Sens indirect (sens négatif ) : le sens des aiguilles d'une montre.
y−
x+
O
C
Un tour du cercle vaut 2π
1.2
1
Le radian
Dénition 2.
Un angle de 1 radian est un angle interceptant, sur un cercle, un arc de longueur égale au rayon
du cercle. Relation entre unités.
π = 180◦
1.2.1 Unités
Les deux principales unités de mesure sont :
• le degré ◦ : un angle plat a pour mesure 180 degrés noté 180◦
• le radian (rad, un arc de cercle de mesure un radian a la même longueur que le rayon du cercle).
2
Angles orienté d'un couple de vecteurs
Dénition 3.
−→ −−→
Tout arc AB du cercle trigonométrique C dénit un angle orienté noté : (OA, OB).
B
~v
x
~u
A
O
−
−
(→
u,→
v ) = x + 2kπ
∀M K
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C
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2.1
Mesure d'un angle orienté
La mesure d'un angle orienté est égale à la mesure de l'arc intercepté en respectant le sens :
• mesure positive dans le sens direct,
• mesure négative dans le sens indirect.
Propriété 1
Tout point du cercle C est l'image d'une innité de réels.
Si x est l'un d'entre eux alors les autres sont les réels
x + k × 2π , où k est un entier relatif (k ∈ Z)
.
Dénition 4.
La mesure principale d'un angle orienté est unique, elle appartient à l'intervalle ] − π, π].
Mesures principales remarquables.
π
π
π 4
6
J 2
π
3
π
π
3 π
4 π
6
O
π
6 π
4
π
3
I
π
2
π
π 6
π 4
3
Propriété 2
\
Soit x ∈] − π, π] et M le point image de x sur le cercle trigonométrique. La mesure en radian de l'angle IOM
est égale à |x|. Soit
\ = |x|
IOM
Exemples
•
9
1
π
π
π
π = ( + 4)π = + 2 × (2π); la mesure principale est car ∈] − π, π].
2
2
2
2
2
•
7
1
π
π
π
π = (2 − )π = − + 1 × (2π); la mesure principale est − car − ∈] − π, π].
4
4
4
4
4
∀M K
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2.2
Propriétés des angles orientés
Dénition 5.
• Un angle orienté dont la mesure principale appartient à l'intervalle ]0; π[ est dit direct.
• Un angle orienté dont la mesure principale appartient à l'intervalle ] − π; 0[ est dit indirect.
Théorème 1 : Angles orientés et colinéarité
−
−
• →
u et →
v sont
colinéaires et de même sens équivaut à
−
−
• →
u et →
v sont
colinéaires et de sens contraires équivaut à
→
−
v
−
−
(→
u,→
v)=0.
−
−
(→
u,→
v)=π.
→
−
v
→
−
u
→
−
u
Très utilisé pour déterminer le parallélisme de deux droites ou l'alignement de trois points.
Théorème 2 : Relation de Chasles
−
−
−
Pour tous vecteurs non nuls →
u, →
v et →
w :
−
−
−
−
−
−
(→
u,→
v ) + (→
v ,→
w ) = (→
u,→
w)
Conséquences
−
−
Pour tous vecteurs non nuls →
u et →
v :
−
−
−
−
(→
v ,→
u ) = −(→
u,→
v)
−→
−
−
−
(→
u , −v) = (→
u,→
v)+π
−→ −
−
−
(−u, →
v ) = (→
u,→
v)+π
→
−
v
→
−
v
→
−
u
−→
−v
−
G →
v
→
−
u→
−
u
G
D
−→
−u
→
−
−
v→
v
→
−
u
→
−
u
−→ −→
−
−
(−u, −v) = (→
u,→
v)
→
−
v
D
−→
−u
−→
−v
→
−
u
Démonstrations : R.O.C (faites en classe)
Démontrons que :
−
−
−
−
• (→
v ,→
u ) = −(→
u,→
v ).
−→
−
−
−
• (→
u , −v) = (→
u,→
v)+π
−→ →
−
−
• (−u, −
v ) = (→
u,→
v)+π
−→ −→
−
−
• (−u, −v) = (→
u,→
v)
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→
−
v
3
Cosinus et sinus d'un angle orienté
Dénition 6.
−
−
Dans le plan orienté, si x est une mesure en radian de l'angle orienté (→
u,→
v ), alors on a :
−
−
−
−
cos(→
u,→
v ) = cos x et sin(→
u,→
v ) = sin x
Deux angles orientés sont "associés" s'ils admettent des cosinus ou des sinus égaux ou opposés.
3.1
Relations trigonométriques
Pour tout réel x :
−1 ≤ cos x ≤ 1
− 1 ≤ sin x ≤ 1
et
cos2 x + sin2 x = 1
3.2
Propriétés des angles associés
Pour tout réel x :
•
•

 cos(π + x) = − cos

sin(−x) = − sin x
•

cos(π − x) = − cos

3.3
•
sin(π − x) = sin x


 sin( π + x) = cos x
2

π


 cos( 2 − x) = sin


sin( π − x) = cos x
2
Angles remarquables
x en radians
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
2π
x en degrés
0◦
30◦
45◦
60◦
90◦
180◦
360◦
√
√
1
2
0
−1
1
1
0
0
cos x
sin x
∀M K
•

sin(π + x) = − sin x

 cos(−x) = cos x

π


cos( 2 + x) = − sin x
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2014−2015
1
3
2
0
1
2
2
2
√
2
2
4/5
√
3
2
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4
Équations
cos x = cos a
et
sin x = sin a
Soit a un réel donné.
L'équation cos x = cos a admet deux types de solutions :

 x = a + k × 2π
où k est un réel relatif.

x = −a + k × 2π
Soit a un réel donné.
L'équation sin x = sin a admet deux types de solutions :

 x = a + k × 2π
où k est un réel relatif.

x = π − a + k × 2π
Les formules d'addition
Pour tout réels a et b :
• cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
• sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
• cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
• sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
Les formules de duplication et de linéarisation
Pour tout réel a on a : :
• cos 2a = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a
• sin 2a = 2 sin a cos a
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