Transcript Transformation de Fourier au sens des fonctions

LICENCE DE PHYSIQUE 2013-2014
Universit´
e Paris 11
´
MATHEMATIQUES
II
L3 PAPP
Transformation de Fourier au sens des fonctions
A
Convolution
2
1. On consid`ere les gaussiennes fa pxq “ e´ax avec a ą 0. Calculer directement le produit
de convolution fa ˙ fb et montrer qu’il est ´egal a` une gaussienne fc , o`
u vous pr´eciserez
l’expression de c en fonction de a et de b.
2. Calculer directement le produit de convolution Π ˙ Π (rappel la fonction porte Π “ 1r´1{2,1{2s
"
1 si a ď x ď b
et 1ra,bs est la fonction caract´eristique de l’intervalle ra, bs, autrement dit 1sa,bs pxq “
.
0
sinon
B
Op´
erateurs vectoriels
Donner la nature des appications suivantes (op´erateur vectoriel, forme lin´eaire, simple fonction
de fonction, vous pourrez pr´eciser les espaces de d´epart et d’arriv´ee possibles) :
ş
1. f ÞÑ f ptqdt
2. f ÞÑ f 1
3. f ÞÑ f 1 p0q
4. f ÞÑ f ` f p0q
5. f ÞÑ |fˆ|
6. f ÞÑ f ˝ f
7. f ÞÑ f 2
şx
8. f ÞÑ 0 fˆptqdt
C
Transform´
ees basiques
1. Soit f “ 1r´ a2 , 2a s , la fonction qui `
a x P R ÞÑ
2. Soit f pxq “ e´2|x| , montrer que fˆpkq “
"
si x P r´ a2 , a2 s
. Calculer fˆ.
sinon
1
1`π 2 k 2 .
3. En d´eduire la transform´ee de Fourier de x ÞÑ
D
1
0
1
.
1`π 2 x2
Propri´
et´
e des transform´
ees de Fourier
1. Montrer, @f P L1 pRq ou f P L2 pRq,
”
ı
F ei2πxk0 f pxq pkq “ F rf pxqs pk ´ k0 q .
2. En d´eduire la transform´ee de Fourier de la fonction x ÞÑ cosp2πβxqe´α|x| (α, β ą 0) et la
repr´esenter sur un sch´ema.
´
3. Etablir
la propri´et´e (de dilatation) :
F rf px{λqs pkq “ |λ|F rf pxqs pλkq
4. En d´eduire la transform´ee de Fourier de la fonction x ÞÑ
1
1`x2
en partant du r´esultat de C3.
5. Montrer, @f P L1 pRq ou f P L2 pRq,
F rxf pxqs pkq “
i dfˆ
pkq .
2π dk
6. En d´eduire la transform´ee de Fourier de la fonction x ÞÑ
x
.
1`x2
7. Apr`es avoir ´etudi´e la parit´e des deux fonctions pr´ec´edentes, calculer :
ż `8
ż `8
x sin mx
cos mx
dx et
dx pour m ą 0.
2
1`x
1 ` x2
0
0
E
´
Transform´
ee de Fourier et Equation
diff´
erenticelle
2
1. Montrer que la fonction k ÞÑ fˆpkq ” Fre´x spkq v´erifie l’´equation diff´erentielle :
fˆ 1 pkq ` 2π 2 kfˆpkq “ 0.
2. Calculer fˆp0q puis d´eterminer la solution de l’´equation diff´erentielle.
3. Utiliser la propri´et´e de dilatation pour ´etablir le r´esultat :
c
π ´π2 k2 {a
´ax2
Fre
spkq “
e
pour a ą 0.
a
F
Produit de convolution et transform´
ee de Fourier
1. Calculer la transform´ee de Fourier de Π ˙ Π de deux fa¸cons diff´erentes : soit en utilisant le
r´esultat du calcul direct du produit de convolution (cf. ex. A2), soit en utilisant le th´eor`eme
sur la transformation de Fourier d’un produit de convolution.
2. On consid`ere `
a nouveau les gaussiennes fa , et on d´efinit leur largeur par ℓa “ a´1{2 (a ą 0).
(a) Apr`es avoir rappel´e l’expression de fˆa (exercice E3), montrer que l’on peut utiliser la
formule d’inversion pour retrouver fa `a partir de fˆa .
(b) a et b ´etant 2 r´eels positifs, calculer fa ˙ fb , et en d´eduire la relation :
c
π
f ab .
fa ˙ fb “
a ` b a`b
´
(c) Etudier
le cas o`
u ℓa " ℓb et en d´eduire l’approximation :
c
π
fa pour ℓa " ℓb .
fa ˙ fb «
b
G
Formule de Parseval-Plancherel
Utiliser la formule de Parseval-Plancherel pour calculer les int´egrales suivantes :
˘n
ş `
1. R sinx x dx pour n “ 2, 3, 4.
ş`8
1
dx
2. ´8
p1`x2 q2
ş`8 x2
3. 0
dx
2 2
p1`x q