Transcript 1 Formulaire signaux et systèmes continus MA32

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1.1
Formulaire signaux et systèmes continus MA32 GEII-2A
Signaux
Analyse de Fourier x(t) de période T0 =⇒ décomposable en série de Fourier
+∞
X
x(t) =
j2π
ck e
kt
T0
=
k=−∞
+∞ X
k=0
spectre de raies SF {x(t)} = X(f ) =
+∞
X
kt
kt
+ bk sin 2π
,
ak cos 2π
T0
T0
ck δkf0
k=−∞
coefficients de Fourier c0 = a0 = x(t), ck =
1
(a
2 k
1
− jbk ) =
T0
+∞
X
conservation de la puissance (Bessel-Parseval)
|ck |2 =
k=−∞
ˆ
T0
−j2π
x(t)e
kt
T0 dt
k>1
0
1 ´ T0
|x(t)|2 dt
T0 0
Transformée de Fourier par extension en faisant T0 → ∞, variation continue de f :
ˆ
ˆ
+∞
−j2πf t
X(f ) = F {x(t)} =
x(t)e
+∞
X(f )ej2πf t df
dt et x(t) =
−∞
−∞
Propriétés
• linéarité : F {ax(t) + by(t)} = aX(f ) + bY (f )
• x(t) réel =⇒X(f ) complexe avec Re(X(f ) paire et Im(X(f ) impaire
• F(x(t − tr )) = e−j2πtr f X(f ) et F −1 (X(f − fr )) = ej2πfr t x(t)
dx(t)
• F
= j2πf X(f )
dt
ˆ +∞
ˆ +∞
2
• conservation de l’énergie d’un signal
|X(f )| df =
|x(t)|2 dt
−∞
Produit de convolution x(t) ∗ y(t) =
´ +∞
−∞
x(t − τ )y(τ )dτ =
−∞
´ +∞
−∞
y(t − τ )x(τ )dτ
F(x(t) ∗ y(t)) = X(f )Y (f )
1.2
Systèmes ou filtres
Équations différentielles s
(d)
+
d−1
X
i=0
Opérateur de dérivation p =
ai s
(i)
=
n
X
bj e(j)
j=0
d
=⇒ x(m) (t) = pm x(t) =⇒ s(t) = H(p)e(t)
dt
Q
bn pn + bn−1 pn−1 + · · · b1 p + b0
(p − zi )ni
Q
=
K
Opérateur transfert entrée-sortie H(p) = d
p + ad−1 pd−1 + · · · a1 p + a0
(p − pj )dj
1
Opérateur de retard e−Tr p
Stabilité tous les pôles à partie réelle < 0
Système à minimum de phase tous les pôles et zéros à partie réelle < 0
Fonction de transfert p = jω = j2πf =⇒ H(ω) ou H(f ) =
S(f )
E(f )
Réponse impulsionnelle h(t) = F −1 [H(f )] donc s(t) = e(t) ∗ h(t)
1.3
Analyse cepstrale : application à la détection d’écho
Cepstre réel Cs (t) = F −1 Ln |S(f )|2 n’utilise que l’amplitude du spectre
Suppression d’écho
Hypothèse echo = retard + atténuation du signal s(t), donc x(t) = s(t) + αs(t − tr )
Transformée de Fourier X(f ) = S(f ) 1 + αe−j2πf tr
Module au carré |X(f )|2 = |S(f )|2 [1 + α2 + 2α cos (2πf tr )]
Log népérien Ln |X(f )|2 = Ln |S(f )|2 + Ln [1 + α2 + 2α cos (2πf tr )]
Cepstre réel Cx (t) = F −1 Ln |X(f )|2 = Cs (t) + F −1 (Ln [1 + α2 + 2α cos (2πf tr )])
La somme permet d’annuler l’écho. La restitution de s(t) suppose le signal à minimum de phase
(c.a.d. généré par un système à minimum de phase)
2
Cepstre de puissance Cs (t) = |FLnS(f )|2 ou Cs (t) = |F −1 LnS(f )|
Cepstre complexe Cs (t) = F −1 LnS(f ) contient à la fois l’information d’amplitude et de phase
Autres applications traitement de la parole, reconnaissance vocale, ou encore analyse du comportement
vibratoire des alternateurs de centrales électriques.
Compléments d’informations : www.utc.fr/~sidahmed/8-cepstre.ppt
2
2
2.1
Formulaire signaux et systèmes discrets MA32 GEII-2A
Signaux échantillonnés
xe (t) = {xn } =
+∞
X
x(nTe )δnTe =
n=0
+∞
X
+∞
X
x n δn =
n=0
x(t)δnTe = x(t)ΠTe
n=−∞
Transformée de Fourier {xn } discret =⇒ spectre continu périodique
F ({xn }) = Xe (f ) =
+∞
X
−j2πnf Te
xn e
n=−∞
+∞
X
Transformée en z X(z) =
+∞
1 X
=
X(f − kfe )
Te k=−∞
xn z −n
n=−∞
s’identifie à F ({xn }) avec z −1 = e−jωTe opérateur de retard de Te
Transformée de Fourier dicrète (DFT)
calcul sur un nombre fini N d’échantillons xn et pour un pas de fréquence
1
N Te
nk
nk
N
−1
N −1
X
j2π
−j2π
1X
N et xn =
Xk e N
xn e
Xk =
N n=0
k=0
Remarques
1. {Xk } = DF T ({xn }) =
N
−1
X
Xk δk fe spectre discret (artificiellement) peut être interprété comme
N
k=0
le spectre du signal {xn } périodique de période N Te .
1
, ou résolution fréquentielle, est dû à la limitation de l’horizon à N Te :
N
il assure que les Xk soient les coefficients du développement en série de Fourier de {xn }. Matlab
2. Le facteur d’échelle
le met sur xn .
Propriétés
• linéarité
• translation des xn =⇒rotation de phase des Xk
N −1
N
−1
X
1X
2
• égalité de Parseval :
|xn | =
|Xk |2
N n=0
k=0
la puissance d’un signal est égale à la somme des puissances de ses harmoniques
• {xn } réelle =⇒Xk et XN −k complexes conjugués
• {xn } réelle et paire =⇒{Xk }réelle et paire
3
• {xn } réelle et impaire =⇒{Xk }imaginaire pure
Utile car tout signal réel peut se décomposer en une partie paire et une partie impaire
Convolution discrète {xn } ∗ {yn } =
+∞
X
xl yn−l
l=−∞
Convolution circulaire {xn } et {yn } périodiques de période N :
N
−1
X
xl yn−l de période N
l=0
DF T ({xn } ∗ {yn }) = DF T ({xn }) DF T ({yn })
Transformée de Fourier rapide (FFT) Algorithmes de calcul rapide de la DFT basés sur la matrice
particulière qui relie les Xk aux xn .
2.2
Systèmes ou filtres
Équations de récurrence avance a0 sk+d + a1 sk+d−1 + · · · + ad sk = b0 ek+n + b1 ek+n−1 + · · · + bn ek
Opérateur d’avance zxk = xk+1 =⇒ {sk } = H(z) {ek }
Q
b0 z n + b1 z n−1 + · · · + bn
b0 (z − zoi )noi
Opérateur transfert entée-sortie H(z) =
= Q
a0 z d + a1 z d−1 + · · · + ad
a0 (z − poj )doj
Équations de récurrence retard a0 sk + a1 sk−1 + · · · + ad sk−d = b0 ek−r + b1 ek−r−1 + · · · + bn ek−r−n
Opérateur de retard z −1 xk = xk−1 =⇒ {sk } = F (z −1 ) {ek }
−1
Opérateur transfert entée-sortie H(z ) = z
Q
+ b1 z −1 + · · · + bn z −n
b0 −r (1 − zi z −1 )ni
= z Q
a0 + a1 z −1 + · · · + ad z −d
a0
(1 − pj z −1 )dj
−r b0
zi et pj : zéros et pôles finis non nuls
d − (r + n) zéros nuls ou bien r + n − d pôles nuls
r = d − n : nombre de retards purs, nombre de zéros infinis
Stabilité tous les pôles à module < 1
Système à minimum de phase tous les pôles et zéros à l’intérieur du disque unité
Ordre max (r + n, d)
Fonction de transfert retard de Te entre les échantillons :
z −1 = e−jωTe = e−j2πf Te =⇒ H(ω) ou H(f ) =
Se (f )
Ee (f )
Réponse impulsionnelle {hk } = F −1 [H(f )] donc {sk } = {ek } ∗ {hk }
4
3
3.1
Les filtres FIR
Définitions
FIR ou RIF Filtres non récursifs : sk = b0 ek−r + b1 ek−r−1 + · · · + bn ek−r−n
donc H(z −1 ) = z −r (b0 + b1 z −1 + · · · + bn z −n ) = polynôme
IIR ou RII Filtres récursifs : a0 sk + a1 sk−1 + · · · + ad sk−d = b0 ek−r + b1 ek−r−1 + · · · + bn ek−r−n
donc H(z −1 ) fraction de polynômes
3.2
Propriétés
Réponse impulsionnelle h(t) finie et discrète : les valeurs hi sont celles des coefficients du numérateur
Réponse fréquentielle si r = 0 :
z
−1
=e
−j2πf Te
=⇒ H(f ) =
N
−1
X
bi e−j2πf iTe , N = n + 1 coefficients
i=0
Les bi sont donc les coefficients du développement en série de Fourier de H(f )
• périodique de période fe =
1
Te
• continue car h(t) n’est pas périodique
• si les bi sont symétriques bi = bN −1−i , H(f ) = e−j2πf τ R(f ) où
– R(f ) est une fonction réelle de f
– phase : ϕ(f ) = ϕ0 + 2πf τ linéaire (ϕ0 = 0 ou π : retard de phase)
Te
dϕ
– τ=
= k , k ∈ N temps de propagation à travers le filtre : constant
dω
2
Filtres FIR à Phase linéaire plus généralement H(f ) = e−jϕ(f ) R(f ) avec ϕ(f ) = ϕ0 + 2πf τ
On distingue 4 types :
• I : ϕ0 = 0 et N = 2P + 1 =⇒ τ = P Te : H(f ) réelle, h(t) paire, et un coefficient hi en t = 0
1
• II : ϕ0 = 0 et N = 2P =⇒ τ = P −
Te : H(f ) réelle, h(t) paire, et pas de coef. hi en t = 0
2
π
• III : ϕ0 = et N = 2P + 1 =⇒ τ = P Te : H(f ) im.pure, h(t) impaire, et un coef. hi en t = 0
2
π
1
Te : H(f ) im.pure, h(t) impaire, pas de coef. en 0
• IV : ϕ0 = et N = 2P =⇒ τ = P −
2
2
Synthèse d’un FIR Il existe plusieurs méthodes pour déterminer les hi tels que H(f ) satisfasse un
gabarit donné.
5
4
Résumé comparatif
4.1
Les signaux et leurs spectres
Signal
continu et périodique
Spectre
méthode de calcul
caractéristique
série de Fourier
discret et non périodique
continu et non périodique
intégrale de Fourier continu et non périodique
discret et non périodique
intégrale de Fourier
continu et périodique
discret et périodique
TFD
discret et périodique
discrétisation en temps
=⇒ périodisation en fréquence
discrétisation en fréquence =⇒
4.2
périodisation en temps
Les opérateurs
Opérateur de dérivation p =
d
. En fréquentiel p = jω l’opérateur H(p) devient une fonction de ω
dt
Opérateur de retard en continu e−Tr p . En fréquentiel e−Tr jω
Opérateur de retard en discret z −1 xk = xk−1 . En fréquentiel z = ejωTe =⇒ z −1 = e−jωTe retard de Te
4.3
avantages et inconvénients des filtres FIR et IIR
Avantages des filtres IIR Pour des spécifications identiques l’ordre des IIR est inférieur à celui des FIR
donc la réalisation est plus simple et le retard moins grand.
Avantages des filtres FIR
• peuvent avoir une phase linéaire donc :
– un temps de propagation de groupe constant
– les signaux dont f est dans la BP du filtre ne seront pas déformés
– application aux systèmes de transmission de données
• sont toujours stables
• les méthodes de conception sont en général linéaires
• le régime transitoire a une durée finie
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