Transcript 3.1 Développement en série de Fourier d`un signal périodique

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BASES THEORIQUES
DU TRAITEMENT DU SIGNAL
ETUDE DES SIGNAUX DETERMINISTES
ESINSA3
Thierry PITARQUE
Université de Nice - Sophia Antipolis
ESINSA
I3S
[email protected]
Plan du cours
I Etude des signaux déterministes continus
1)Notion de signaux et systèmes
2)Energie et puissance
3)Représentation fréquentielle
4)Filtrage
II Etude des signaux déterministes discrets
1)L’échantillonnage
2)Signaux déterministes discrets
III Le TNS
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I Etude des signaux déterministes continus
3) Représentation fréquentielle
3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique
3.2 Transformée de Fourier des signaux d’énergie finie
3.3 Transformée de Fourier des signaux d’énergie infinie
3.4 Transformée de Fourier d’un signal périodique
3.5 Lien avec la Transformée de Laplace
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I Etude des signaux déterministes continus
3) Représentation fréquentielle
3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique
Définition :
- L’idée de base d’un développement en série de Fourier , est qu’un signal périodique
(période T0) peut être décomposé en une somme de signaux dits harmoniques, c’est à dire
de signaux périodiques dont la période est multiple de la période T0.
- C’est l’Harmonie en Musique ou l’Analyse Harmonique en Mathématiques.
- Dans ce cours on privilégiera la décomposition en exponentielles complexes.
- Soit s(t) un signal continu réel ou complexe de période T0, on peut le décomposer en une
somme infinie d’exponentielles complexes :

k
s (t)  S k e j2  T 0 t

Les Sk appelés Coefficients de Fourier du signal s(t) sont complexes.
Sk  1
T0
T0
2

s ( t )e
T0
2
 j2  k t
T 0 dt
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I Etude des signaux déterministes continus
3) Représentation fréquentielle
3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique
- La suite des coefficients complexes Sk constitue le spectre discret de raies du signal
périodique s(t).
- On peut aussi décomposer le signal périodique (T0) en une somme de sinus et cosinus :


s ( t )  A 0   Ak cos( 2  k t )   Bk sin( 2  k t )
T0
T0
1
1
A0 est la valeur moyenne du signal sur une période :
Attention les coefficients Ak et Bk peuvent être complexes :
A 0 1
T0
Ak  2
T0
Bk  2
T0
T0
2
 s ( t ) dt
T0
2
T0
2
k
 s ( t )cos( 2  T 0 t ) dt
T0
2
T0
2
k
 s ( t )sin( 2  T 0 t ) dt
T0
2
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I Etude des signaux déterministes continus
3) Représentation fréquentielle
3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique
Propriétés des séries de Fourier
- Les 2 décompositions Sk (module et phase) et (Ak, Bk) sont équivalentes.
- Il est possible passer de la décomposition en sinus et cosinus à la décomposition en
exponentielles complexes et réciproquement, grâce aux formules de passage :
Pour k>0
S 0 A 0
Ak  jBk
S k
2
S k 
Ak  jBk
2
(démonstration)
- de même réciproquement :
Pour k>0 :
A 0 S 0
Ak  S k  S k
B k  j(S k  S  k)
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I Etude des signaux déterministes continus
3) Représentation fréquentielle
3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique
Propriétés des séries de Fourier
- Le coefficient A0 ou S0 est appelé composante continue du signal s(t). C’est la valeur
moyenne sur une période T0.
- La fréquence F=1/T0 est appelée fréquence fondamentale du signal périodique s(t).
- Les coefficients A1 et B1 constituent l’amplitude du fondamental.
- les signaux complexes
S1e
j2  1 t
T0
 S 1e
 j2  1 t
T0
constituent le fondamental de s(t).
- Les fréquences Fk  k
signal s(t).
T0
avec k >1, constituent les fréquences harmoniques du
F 2 2
T0
- ATTENTION, le premier harmonique a une fréquence
- Les fréquences négatives n’ont pas de signification “physique” dans la décomposition en
exponentielles complexes
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I Etude des signaux déterministes continus
3) Représentation fréquentielle
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3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique
Propriétés des séries de Fourier
- si s(t) est complexe, Ak et Bk sont complexes.
- si s(t) est réel, Ak et Bk sont réels car intégrales d’une fonction réelle et
les coefficients Sk sont à symétrie hermitienne :
S k  S k
 S k    S  k 
- si s(t) est pair, Bk =0 , k>1 car Bk est l’intégrale d’une fonction impaire.
- si s(t) est impair, A0=0 et Ak =0 , k>1 car les Ak sont les intégrales d’une fonction impaire
S k  S  k*
d’où
S k
- si s(t) est réel et pair, Sk est réel :
Bk  0
S k  S  k*
- si s(t) est réel et impair, Sk est imaginaire pur :
Ak 0
Ak 
2
S k
d’oùS k   j
Bk 
2
S  k*
I Etude des signaux déterministes continus
3) Représentation fréquentielle
3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique
Propriétés des séries de Fourier
- La puissance moyenne d’un signal périodique peut s’exprimer aussi spectralement en
fonction des coefficients Sk (c’est l’égalité de Parseval) :
T0
2

2
P  1  s ( t ) dt  
T 0 T 0
k  
Sk
2
2
- Chaque terme S k
harmoniques.
2
représente la puissance moyenne apportée par chacun des
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I Etude des signaux déterministes continus
3) Représentation fréquentielle
3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique
Propriétés des séries de Fourier
- Le décalage en temps se traduit sur les coefficients de Fourier Sk par une multiplication
complexe :

k
s (t)  S k e j2  T 0 t



k
j
2

 j2  t0 k j2  t k
s ( t t 0 )  S k e
(
t

t
0
)

S

e
k
T0
T0e
T0


k
S k  S k e j 2  t 0T 0
d’où
- Attention , chaque coefficient Sk est multiplié par une exponentielle complexe qui dépend
de k.
- Rappel, si t0 > 0 le signal s(t) est retardé et si t0 < 0 le signal s(t) est avancé.
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I Etude des signaux déterministes continus
3) Représentation fréquentielle
3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique
Ex. : Calcul du développement en séries de Fourier d’un signal
- Soit le signal réel périodique s(t) qui est une
porte
 q ( t  q2 )
de période T et d’amplitude A :
2

k
s ( t )  S k e j 2  T t

- Donner les coefficients Sk
- Donner les Ak et les Bk
- Que se passe-t-il si on avance le signal de q/2 ?
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I Etude des signaux déterministes continus
3) Représentation fréquentielle
3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique
Ex. : Calcul du développement en séries de Fourier d’un signal
Sk  1
T
T
2
 s ( t )e
q
T
 j2  k t
 j2  k t
 j2  k t
1
1
T dt 
T dt 
T dt
s (t)
s (t)
T
2
S k  Aq
T
 j k q
e T
T

0
e
T

e
0
sin( k q )
T  Aq  j k q
T sin c ( k q )
k q
Te
T
T
- On pose par définition que le sinus cardinal sin c ( x )
- ATTENTION, la fonction sinc est paire etsin c ( 0 )1
sin(  x )
x
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I Etude des signaux déterministes continus
3) Représentation fréquentielle
3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique
Ex. : Calcul du développement en séries de Fourier d’un signal
- passage des Sk aux Ak, Bk :
Pour k>0 :
A 0 S 0
Ak  S k  S k
B k  j(S k  S  k)
A 0  Aq
T
Ak  A (q
 j k q
e T
Bk  jA q
T
 j k q
(e T
T
 j k q
sin c ( k q ) q e T sin c ( k q ))  A
T
T
T
sin c ( k q
T
 j k q
) e T
sin( 2 k q )
T
 2 Aq sin c ( 2 k q )
k
T
T
2 k q
(
)
sin
k
q
T
sin c ( ))  2 A
T
k
- Dans le cas A=1 et q=T/2 :
A0=1/2, Ak=0, B1=2/, B2=0, B3= 2/3, B4=0, B5=2/5, …
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3) Représentation fréquentielle
3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique
Ex. : Calcul du développement en séries de Fourier d’un signal
- Que se passe-t-il si on avance le signal de q/2 ?y ( t ) s ( t  t 0 ) s ( t  ( q ))  s ( t q )
2
k
S k  S k e j 2  t 0T 0
Yk  Aq e
T
 j k q
T
sin c ( k q )e
T
2
 j 2 k  t0
T  Aq
sin c ( k q )
T
T
- Le signal obtenu est réel et pair, les coefficients Sk sont réels, les coefficients Bk sont nuls,
A0=S0=A/2 et les Ak=2*Sk
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3) Représentation fréquentielle
3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique
Ex. : Calcul du développement en séries de Fourier d’un signal
- Tracé des Sk, des Bk et du signal reconstruit :
A0=1/2, Ak=0, B1=2/, B2=0, B3= 2/3, B4=0, B5=2/5, …
k>0, Sk=-jBk /2, S1=-j/, S2=0, S3= -j/3, S4=0, S5=-j/5, …
k<0, Sk=jB-k /2, S-1=j/, S-2=0, S-3= j/3, S-4=0, S-5=j/5, …
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I Etude des signaux déterministes continus
3) Représentation fréquentielle
3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique
Ex. : Calcul du développement en séries de Fourier d’un signal
- Tracé des Sk, des Bk et du signal reconstruit :
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I Etude des signaux déterministes continus
3) Représentation fréquentielle
3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique
Ex. : Calcul du développement en séries de Fourier d’un signal
- Signal triangulaire périodique, tracé des Ak et du signal reconstruit :
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I Etude des signaux déterministes continus
3) Représentation fréquentielle
3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique
Ex. : Calcul du développement en séries de Fourier d’un signal
- Signal sinusoidal redressé double alternance, tracé des Ak et du signal reconstruit :
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3) Représentation fréquentielle
3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique
Ex. : Calcul du développement en séries de Fourier d’un signal
- Signal sinusoidal redressé monoalternance, tracé des Ak, Bk et du signal reconstruit :
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I Etude des signaux déterministes continus
3) Représentation fréquentielle
3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique
Ex. : Calcul du développement en séries de Fourier d’un signal
- Signal sinusoidal redressé monoalternance, augmentation du nombre de coefficients
- tracé des Ak, Bk et du signal reconstruit :
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