Transcript Suites - Classe de MPSI 3

Fiche d’exercices
Th`
eme : Suites, ´
etude asymptotique
MPSI 3 - 2004/2005
Chapitre : 8
√
√
1. ∗ Etudier la suite un = ( n + 1 − n)1/n .
2.
∗∗ La
(Oral Mines)
suite n!
(a) Montrer que n! nn . Montrer que la suite Sn = 1! + 2! + · · · + n! est ´equivalente `a n!.
n n √
En fait on a l’´equivalent de Stirling : n! ∼
2πn que nous admettons pour la suite.
e
n . Donner un ´
(b) D´eterminer un ´equivalent du coefficient binomial C2n
equivalent de ln n!.
n
Y
1
(c) Calculer lim
1− 2 .
n→+∞
4k
k=1
(d) Donner un ´equivalent de la suite un =
3.
∗∗ Soit
(un ) d´efinie par u1 = 1, u2 = u3 = 2, u4 = u5 = u6 = 3,... elle prend une fois la valeur 1,
deux fois la valeur 2, trois fois la valeur 3... Donner une expression du terme g´en´eral et en d´eduire un
´equivalent de (un ).
(Oral Polytechnique)
p
4.
1 · 3 · 5 . . . (2n + 1)
.
2 · 4 . . . (2n)
∗∗ Soit
p ∈ N∗ . D´eterminer lim
n→+∞
p
p
1n + 2n + · · · + pn
p
!n
.
(Oral Polytechnique)
5. Soient (an )n∈N et (bn )n∈N deux suites de r´eels strictement positifs. On suppose que lim ann = a > 0
et que lim bnn = b > 0. Soit p, q deux r´eels > 0 tels que p + q = 1.
n→∞
n→∞
D´eterminer lim (pan + qbn )n .
n→∞
(Oral Mines, Polytechnique)
6. (a) Montrer que pour n > 3, l’´equation x − n ln x = 0 admet deux racines distinctes un < vn dans
l’intervalle ]0, +∞[. Etudier la monotonie de (un ) et (vn ).
1
(b) D´eveloppement asymptotique de (un ) `a la pr´ecision 2 .
n
(c) Determiner un ´equivalent de (vn ).
(Oral Mines)
7.
∗∗ Soit
(un )n>1 une suite de r´eels telle que : ∀n, u5n + nun − 1 = 0. Etudier la suite. En donner un
d´eveloppement asymptotique avec deux termes.
(Oral Polytechnique)
8. (a)
∗∗ Montrer
que pour n > 1 l’´equation xn + xn−1 + · · · + x − 1 = 0 poss`ede une unique solution an
dans R+ . Montrer que la suite (an ) converge. Trouver sa limite l.
(b) Trouver un ´equivalent de an − l.
9.
∗∗∗ Montrer
10.
∗∗∗ Montrer
(Oral Mines, Polytechnique)
que pour tout n, xn + x − 1 = 0 admet une unique solution an > 0. Etudier la suite (an )
puis donner un ´equivalent de 1 − an .
(Oral Mines)
l’existence et l’unicit´e d’une suite r´eelle (xn ) v´erifiant exn + xn = n puis en donner un
d´eveloppement asymptotique avec 3 termes.
(Oral Polytechnique)
v
uY
u n k
∗∗∗∗
n
11.
Trouver un ´equivalent de un = t
k lorsque n tend vers l’infini.
k=1
(ENS Ulm)