Transcript Angle inscrit – Angle au centre – Angle tangentiel DEFINITIONS Angle inscrit : définition • Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet.

Angle inscrit – Angle au centre
–
Angle tangentiel
DEFINITIONS
Angle inscrit : définition
• Un angle inscrit dans
un cercle est un angle
dont le sommet est
un point du cercle et
dont les côtés sont
des cordes du cercle.
• Ici, l’angle inscrit est
l’angle bleu.
Angle au centre : définition
• Dans un cercle, un
angle au centre est
un angle dont le
sommet est le
centre de ce cercle.
• Ici, l’angle au centre
est l’angle mauve.
Angle tangentiel: définition
• Un angle tangentiel à
un cercle est un angle
dont le sommet est
un point du cercle et
dont un côté est
tangent au cercle,
tandis que l’autre
côté est sécant au
cercle.
• Ici, l’angle tangentiel
est l’angle rose.
Propriétés
Propriété n°1:
Dans tout cercle, l’amplitude d’un angle inscrit
est égale à la moitié de celle de l’angle au centre
interceptant le même arc de cercle.
Trois cas sont à envisager:
• 1er cas: Le centre O du cercle est sur un
des côtés de l’angle inscrit.
• 2ème cas: Le centre O du cercle est à
l’intérieur de l’angle inscrit.
• 3ème cas: Le centre O du cercle est à
l’extérieur de l’angle inscrit.
1er cas:
•
Le centre O du cercle est sur un des côtés
de l’angle inscrit.
Hypothèses:
BAC est un angle inscrit;
BOC est un angle au centre.
•
Démonstration:

AOB est un triangle isocèle.
Donc, l’angle A = l’angle B.

L’angle BOC est un angle extérieur du
triangle AOB.
Donc, l’angle O= l’angle A + l’angle B
OU
L’angle O = 2 x l’angle A
•
Conclusion:
•
L’angle A = ½ de l’angle O
• Thèse:
BAC = ½ BOC
2ème cas:
Le centre O du cercle est à l’intérieur de
l’angle inscrit.
• Hypothèses:
BAC est un angle inscrit;
BOC est un angle au centre.
• Démonstration:

On trace le diamètre [AD].

On a:

On additionne ces deux égalités membre
à membre: A1 + A2 = ½ O1 + ½ O2.
- l’angle A1 = ½ de l’angle O1
- l’angle A2 = ½ de l’angleO2
• Conclusion:

L’angle A = ½ de l’angle O
• Thèse:
BAC = ½ BOC
3ème cas:
Le centre O du cercle est à l’extérieur de
l’angle inscrit.
• Hypothèses:
BAC est un angle inscrit;
BOC est un angle au centre.
• Démonstration:

On trace le diamètre [AD].

On a: - L’angle A3 = ½ de l’angle O3
- L’angle A2 = ½ de l’angle O2.

On soustrait les deux égalités membre à
membre: A3 – A2 = ½ O3 – ½ O2
• Conclusion:

L’angle A = ½ de l’angle O
• Thèse:
BAC = ½ BOC
Propriété n°2:
Dans tout cercle, deux angles inscrits
interceptant le même arc de cercle ont la même
amplitude.
• Hypothèses:
L’angle A est un angle inscrit;
L’angle B est un angle inscrit;
L’angle O est un angle au centre.
• Démonstration:

L’angle A est un angle inscrit et l’angle O
est un angle au centre.
Donc A = ½ O

L’angle B est un angle inscrit et l’angle O
est un angle au centre
Donc B = ½ O
• Conclusion:
L’angle A = l’angle B
• Thèse:
L’angle A = l’angle B
Propriété n°3:
Dans tout cercle, l’amplitude d’un angle
tangentiel égale la moitié de celle de
l’angle au centre interceptant le même arc
de cercle.
• Hypothèses:
AB est une tangente au cercle en A;
L’angle A1 est un angle tangentiel;
L’angle O est un angle au centre.
• Démonstration:

Le triangle AOC est isocèle.
Donc, l’angle A2 = l’angle C

Dans le triangle AOC: O + A2 + C = 180°

Or, A1 + A2 = 90°

On en déduit que:
O + A2 + C = 2 . (A1 + A2)
OU O + 2A2 = 2A1 + 2A2
OU O = 2A1
• Conclusion:

L’angle A = ½ de l’angle O
• Thèse:
L’angle A1 = ½ de l’angle O