Transcript énoncé

Lyc´
ee Thiers, MP 2014-2015
Colle 04 - Semaine du 06/09/2014 au
10/10/2014.
1. D´eterminer a et b pour que 1 soit racine d’ordre au
moins 2 de P .
Banque CCP 2015 (exercice 59) :
Soit E l’espace vectoriel des polynˆ
omes `
a coefficients
dans K (K = R ou K = C) de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n.
Soit f l’endomorphisme de E d´efini par : ∀ P ∈ E,
f (P ) = P − P ′ .
2. Dans ce cas, v´erifier que le quotient de la division
n−1
X
(k + 1)X k .
euclidienne de P par (X − 1)2 est
k=0
Banque CCP 2015 (exercice 89) :
2π
Soit n ∈ N tel que n > 2. On pose z = ei n .
1. D´emontrer que f est bijectif de deux mani`eres :
(a) sans utiliser de matrice de f ,
1. On suppose k ∈ [[1, n − 1]].
D´eterminer le module et un argument du complexe
z k − 1.
n−1
X z k − 1. Montrer que S =
2. On pose S =
(b) en utilisant une matrice de f .
2. Soit Q ∈ E. Trouver P tel que f (P ) = Q .
Indication : si P ∈ E, quel est le polynˆ
ome P (n+1) ?
Banque CCP 2015 (exercice 84) :
k=0
2
π .
tan 2n
Banque CCP 2015 (exercice 90) :
K d´esigne le corps des r´eels ou celui des complexes.
Soient a1 , a2 , a3 trois scalaires distincts donn´es de K.
1. Donner la d´efinition d’un argument d’un nombre
complexe non nul (on ne demande ni l’interpr´etation
g´eom´etrique, ni la d´emonstration de l’existence d’un
tel nombre).
1. Montrer que Φ : K2 [X] −→ K3
P
7−→ P (a1 ), P (a2 ), P (a3 )
est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
2. Soit n ∈ N∗ . Donner, en justifiant, les solutions dans
C de l’´equation z n = 1 et pr´eciser leur nombre.
3. En d´eduire, pour n ∈ N∗ , les solutions dans C de
n
n
l’´equation (z + i) = (z − i) et d´emontrer que ce
sont des nombres r´eels.
Banque CCP 2015 (exercice 85) :
2. On note (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de K3 et on
pose ∀k ∈ {1, 2, 3}, Lk = Φ−1 (ek ).
(a) Justifier que (L1 , L2 , L3 ) est une base de K2 [X].
1. Soient n ∈ N∗ , P ∈ Rn [X] et a ∈ R.
(a) Donner sans d´emonstration, en utilisant la formule deTaylor, la d´ecomposition de P (X) dans
2
la base 1, X − a, (X − a) , · · · , (X − a)n .
(b) Exprimer les polynˆ
omes L1 , L2 et L3 en fonction de a1 , a2 et a3 .
3. Soit P ∈ K2 [X]. D´eterminer les coordonn´ees de P
dans la base (L1 , L2 , L3 ).
4. Application : On se place dans R2 muni d’un
rep`ere orthonorm´e et on consid`ere les trois points
A(0, 1), B(1, 3), C(2, 1).
D´eterminer une fonction polynomiale de degr´e 2
dont la courbe passe par les points A, B et C.
(b) Soit r ∈ N∗ . En d´eduire que :
a est une racine de P d’ordre de multiplicit´e r
si et seulement si P (r) (a) 6= 0 et ∀k ∈ [[0, r − 1]]
, P (k) (a) = 0.
2. D´eterminer deux r´eels a et b pour que 1 soit racine
double du polynˆ
ome P = X 5 +aX 2 +bX et factoriser
alors ce polynˆ
ome dans R [X].
Exercice 1
3
Soit P = X 5 + X 4 + 2X
On note z1 , ..., z5 ses racines
P + 1.
complexes. Calculer i6=j zi2 zj .
[Source : Centrale PSI 2007]
Banque CCP 2015 (exercice 87) :
Soient a0 , a1 , · · · , an n + 1 r´eels deux `
a deux distincts.
Exercice 2
1. Montrer que si b0 , b1 , · · · , bn sont n + 1 r´eels
quelconques, alors il existe un unique polynˆ
ome
P v´erifiant
D´eterminer les polynˆ
omes P ∈ R[X] tels que P ′ divise P .
[Source : Centrale et Polytechnique MP 2007]
deg P 6 n et ∀i ∈ {0, · · · , n} P (ai ) = bi .
Exercice 3
Soit P ∈ R[X]. Montrer que P − X divise P ◦ P − X ainsi
que P ◦ P − P .
[Source : Centrale et ENS 2006]
2. Soit k ∈ [[0, . . . , n]].
Expliciter ce polynˆ
ome P , que l’on notera Lk ,
lorsque :
0 si i 6= k
∀i ∈ [[0, . . . , n]] bi =
1 si i = k
3. Prouver que ∀p ∈ [[0, . . . , n]] ,
n
X
Exercice 4
D´eterminer les polynˆ
omes P ∈ R[X] tels que X n divise
2
X +1−P .
[Source : Mines Ponts MP 2006]
apk Lk = X p .
Exercice 5
k=0
Soit P, Q ∈ Q[X]. D´emontrer l’´equivalence entre les assertions suivantes :
Banque CCP 2015 (exercice 88) :
Soit (a, b) ∈ R2 et soit n ∈ N∗ . Soit le polynˆ
ome
P = aX n+1 + bX n + 1.
Polynˆ
omes, D´
eterminants
1. Les polynˆ
omes P et Q sont premiers entre eux dans
C[X].
1
[email protected]
Lyc´
ee Thiers, MP 2014-2015
2. Les polynˆ
omes P et Q sont premiers entre eux dans
Q[X].
En d´eduire que pgcd(Pm , Pn ) = pgcd(Pn , Pr ) o`
u r est le
reste de la division euclidienne de m par n.
e) Conclure
[Source : Centrale MP 2007]
pgcd(Pn , Pm ) = Ppgcd(m,n) .
Exercice 6
Quels sont les polynˆ
omes complexes P dont l’image est
incluse dans R ?
[Source : Exercice 5.15 page 177 ; Oraux X-ENS alg`ebre
1 ; Francinou, Gianella, Nicolas ; Cassini 2001]
Exercice 14
Soient F
et G deux sous-espaces vectoriels
suppl´ementaires d’un K-espace vectoriel E.
Soient f une forme lin´eaire sur E, p la projection vectorielle sur F parall`element `a G et q = Id − p sa projection
compl´ementaire.
Montrer que l’application ϕ : E × E → K d´efinie par
Exercice 7
Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur p et q
dans C pour que X 8 + X 4 + 1 divise X 8m + pX 4m + q o`
u
m ∈ N∗ est fix´e.
[Source : Exercice 5.3 page 160 ; Oraux X-ENS alg`ebre 1 ;
Francinou, Gianella, Nicolas ; Cassini 2001]
ϕ(x, y) = f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x))
est une forme bilin´eaire altern´ee sur E.
Exercice 15
Exercice 8
Soit P ∈ C [X] non constant et tel que P (0) = 1. Montrer
que :
∀ε > 0, ∃z ∈ C, |z| < ε et |P (z)| < 1.
Soit f un en endomorphisme du R-espace vectoriel C.
a) Montrer qu’il existe d’uniques complexes a, b tels que
Exercice 9
b) Exprimer en fonction de a et b le d´eterminant de f .
Soit P ∈ R [X] scind´e sur R. Montrer que pour tout r´eel
α, le polynˆ
ome P ′ + αP est lui aussi scind´e sur R.
Exercice 16
∀z ∈ C, f (z) = az + b¯
z
Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (R) v´erifiant
Exercice 10
∀i ∈ {1, . . . , n} , |ai,i | >
X
|ai,j |
j6=i
Exercice 11
a) Montrer que A est inversible.
b) On suppose en outre
Soient n, m ∈ N⋆ .
a) De la division euclidienne de n par m, d´eduire celle de
X n − 1 par X m − 1.
b) Etablir que
∀i ∈ {1, . . . , n} , ai,i > 0
Montrer que det A > 0.
pgcd(X n − 1, X m − 1) = X pgcd(n,m) − 1.
Exercice 17
Exercice 12
a) Montrer que a = cos(π/9) est racine d’un polynˆ
ome de
degr´e trois `a coefficients dans Z.
b) Justifier que le nombre a est irrationnel.
Exercice 18
Soit A ∈ Mn (R) v´erifiant
Exercice 13
∀i, j ∈ {1, . . . , n} , ai,j ∈ {1, −1}
Polynˆ
omes de Fibonacci ( 1180 1250) :
Soit (Pn )n>0 la suite de K [X] d´efinie par
Montrer
2n−1 | det A
P0 = 0, P1 = 1 et ∀n ∈ N, Pn+2 = XPn+1 − Pn
Exercice 19
Soient A, B ∈ Mn (R) telles que AB = BA.
Montrer que det(A2 + B 2 ) > 0.
a) Montrer
2
∀n ∈ N, Pn+1
= 1 + Pn Pn+2
Exercice 20
b) En d´eduire
Soient a 6= b et λ1 , λ2 , ..., λn . On pose
λ1 + x a + x
···
..
b + x λ2 + x
.
∆n (x) = .
.
.
.
.
.
.
.
.
b+x
···
b+x
∀n ∈ N, Pn et Pn+1 sont premiers entre eux
c) Etablir pour que pour tout m ∈ N et pour tout n ∈ N⋆
on a
Pm+n = Pn Pm+1 − Pn−1 Pm
d) Montrer que pour tout m ∈ N et pour tout n ∈ N⋆ on
a
pgcd(Pm+n , Pn ) = pgcd(Pn , Pm )
Polynˆ
omes, D´
eterminants
a + x λn + x [n]
a+x
..
.
a) Montrer que ∆n (x) est une fonction affine de x.
b) Calculer ∆n (x) et en d´eduire ∆n (0).
2
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Lyc´
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Exercice 21
Exercice 25
Calculer
Dn = C10
C11
0
···
C20
C21
C22
0
C30
C31
C32
C33
C40
..
.
C41
C42
C43
Cn0
Cn1
Cn2
Cn3
en notant
Cnk =
!
n
k
=
···
..
.
0
..
.
..
.
..
.
0
..
.
···
n−1
Cn−1
Cnn−1
n!
.
k!(n − k)!
Soit A, H ∈ Mn (R), avec rg(H) = 1. Montrer que
det(A + H) det(A − H) ≤ det(A)2 .
[Source : Polytechnique MP 2007]
Exercice 26
Soit A = (aij ) ∈ Mn (R) une matrice `a coeffients positifs et `a diagonale strictement dominante, c’est `a dire
2
∀(i, j) ∈ [[1, n]] , aij ≥ 0, et
[n]
∀i ∈ [[1, n]] , aii >
n
X
aij .
j=1,j6=i
Montrer que det(A) > 0. [Source : Polytechnique MP
2006]
Exercice 22
a) Soient A, B ∈ Mn (R). Montrer que
A B
det
>0
−B A
Exercice 27
1. Soient a1 ,..., an , b1 ,..., bn 2n nombres complexes tels
que toutes les sommes ai + bj , 1 6 i, j 6 n, soient
b) Soient A, B ∈ Mn (R) telles que AB = BA. Montrer
que det(A2 + B 2 ) > 0.
c) Trouver un contre-exemple `
a b) si A et B ne commutent
pas.
d) Soient A, B, C, D ∈ Mn (R) telles que AC = CA. Montrer que
A B
det
= det(AD − CB).
C D
non nulles. Calculer Cn = det
1
ai +bj
16i,j6n
(ap-
pel´e d´eterminant de Cauchy).
2. Cas particulier : ∀i ∈ [[1, n]], ai = bi = i (d´eterminant
de Hilbert).
[Source : Exercice 1.14 page 23 ; Oraux X-ENS alg`ebre 2 ;
Francinou, Gianella, Nicolas ; Cassini 2006]
Exercice 28
Exercice 23
Soit nN∗ et (x1 , ..., xn ) ∈ Rn . R´esoudre le syst`eme des n
Soient A et B deux matrices carr´ees r´eelles de format n.
´equations suivantes : x1 + x2 = 0 ; xk−1 + xk + xk+1 = 0
A −B
pour k = [[2, n − 1]] ; xn−1 + xn = 0.
Montrer que le d´eterminant de la matrice
B A
[Non r´ef´erenc´e]
de format 2n est un r´eel positif.
[Source : Centrale MP 2007]
Exercice 29
Exercice 24
Dans le plan, on donne n points A1 , ... , An . Existe-t-il n
points M1 ,..., Mn tels que A1 soit le milieu de [M1 , M2 ],
A2 soit le milieu de [M2 , M3 ],..., An−1 soit le milieu de
[Mn−1 , Mn ] et An soit le milieu de [Mn , M1 ].
[Non r´ef´erenc´e]
Soit A une matrice carr´ee complexe de format n (n >
2) telle que pour tout ´el´ement M de Mn (C), on ait
det(A + M ) = detA + detM . Montrer que A = 0.
[Source : Mines-Ponts MP 2006]
Polynˆ
omes, D´
eterminants
3
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