Transcript devoir surveillé n˚06 - le site de la MPSI du lycée Rabelais

MPSI du lyc´
ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr
Vendredi 14 f´
evrier 2014
´ N˚06
DEVOIR SURVEILLE
dur´
ee de l’´
epreuve 4 heures
LISEZ-MOI !
Le sujet est un peu long, mais le barˆeme en tiendra compte !
Comme d’habitude, prenez 10 minutes pour lire le sujet en entier, rep´erez les parties du
sujet qui vous semblent faciles
et d´ebutez par celles-ci !
´
ˆ
COMPOSITION DE L’EPREUVE
ET BAREME
APPROXIMATIF
´
EXERCICE 1 : Equation
de PELL-FERMAT
Mots-cl´es : lci, groupe, it´er´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈ 7 pt
EXERCICE 2 : Polynˆ
omes de Tchebychev de 2`
eme esp`
ece
Mots-cl´es : racines d’un polynˆ
omes,r´ecurrences, trigonom´etrie, arithm´etique . . ≈ 7 pt
´
EXERCICE 3 : Etude
d’une famille de polynˆ
omes
Mots-cl´es : d´ecomposition primaire d’un polynˆ
ome dans R[X]. . . . . . . . . . . . . . . . .≈ 6 pt
EXERCICE 4 : Calcul de somme
Mots-cl´es : d´ecomposition en ´el´ements simples dans R(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈ 2 pt
Nb : l’utilisation des calculatrices est interdite.
1
´
EXERCICE 1 : Equation
de PELL-FERMAT
Soit G = {(a, b) ∈ N × Z | a2 − 2b2 = 1}. On d´efinit une loi de composition × sur G par
∀ ((a, b), (c, d)) ∈ G × G,
(a, b) × (c, d) = (ac + 2bd, ad + bc)
´
Partie I. Etude
de (G, ×)
1.
2.
3.
4.
5.
V´erifiez que × est une loi de composition interne dans G.
Montrez que × est commutative.
Montrez que × est associative.
Montrez que × poss`ede un ´el´ement neutre que vous pr´eciserez.
D´eduisez des questions pr´ec´edentes que (G, ×) est un groupe commutatif.
´
Partie II. Etude
des it´
er´
es de x0
On note x0 = (3, 2). On peut v´erifier que x0 est ´el´ement de G. On adopte les notations
usuelles pour les puissances successives dans un groupe multiplicatif. Pour n ∈ N, on note
(an , bn ) ∈ N × Z les entiers tels que xn0 = (an , bn ). Autrement dit,
(3, 2)n = (3, 2) × · · · × (3, 2) = (an , bn )
|
{z
}
n f ois
1.
2.
3.
1.
2.
3.
4.
an+1 = 3an + 4bn
.
bn+1 = 2an + 3bn
Montrez que pour tout entier n ∈ N, on a 0 ≤ bn < an .
D´eduisez-en que 5bn < bn+1 puis que la suite (bn )n∈N est strictement croissante, de limite
+∞.
Partie III. R´
esolution de l’´
equation de Pell-Fermat
Montrez que a0 = 1, b0 = 0 et que ∀n ∈ N,
Soit (a, b) ∈ G tel que 0 < b.
Justifiez l’existence d’un entier n ∈ N⋆ tel que bn ≤ b < bn+1 .
D´eduisez-en que 0 ≤ ban − abn < bn+1 an − an+1 bn = 2.
Indication : vous pourrez remarquer (en justifiant) que
2
2
a 2
an+1
an
−2<
−2≤
−2
bn+1
b
bn
Montrez alors que (a, b) × (3, 2)−n = (1, 0). Que vaut (a, b) ?
Quels sont les entiers positifs a et b tels que a2 − 2b2 = 1 ?
EXERCICE 2 : Polynˆ
omes de Tchebychev de 2`
eme esp`
ece
On s’int´eresse aux polynˆomes Tn de R[X] d´efinis pour n ≥ 1 par :
T1 (X) = 1, T2 (X) = X,
∀n ≥ 3, Tn (X) = XTn−1 (X) − Tn−2 (X)
2
Partie I. Degr´
e et racines de ces polynˆ
omes
1.
Calculez les quatre premiers polynˆomes de cette famille.
2.
D´eterminez, pour tout entier n ≥ 1 le degr´e de Tn en fonction de n.
3.
D´emontrez que
∀n ∈ N⋆ ,
∀a ∈ R, sin(na) = sin(a) T˜n 2 cos(a)
En d´eduire les racines du polynˆome Tn .
Partie II. Propri´
et´
es arithm´
etiques de ces polynˆ
omes
1.
V´erifiez que la diff´erence Tn2 − Tn+1 Tn−1 est constante. D´eduisez-en que deux polynˆomes
cons´ecutifs de la suite sont premiers entre eux.
2.
Soit p ∈ N⋆ , on note P(p) la propri´et´e ∀n ≥ 2 Tn+p = Tn Tp+1 − Tn−1 Tp .
D´emontrez par r´ecurrence sur p que ∀p ≥ 1, P(p).
On consid`ere d´esormais deux entiers n ≥ 2 et p ≥ 1 fix´es.
3.
D´eduisez de la question pr´ec´edente que Tn+p ∧ Tp = Tn ∧ Tp .
4.
On effectue la division euclidienne de n par p : n = qp + r avec 0 ≤ r < p. D´emontrez
que Tn ∧ Tp = Tp ∧ Tr .
` l’aide de l’algorithme d’Euclide, d´emontrez que Tn ∧ Tp = Tn∧p .
A
5.
´
EXERCICE 3 : Etude
d’une famille de polynˆ
omes
Soit n ∈ N⋆ un entier naturel non nul, on d´efinit le polynˆome Pn ∈ C[X] par :
1
2n+1
2n+1
(X + i)
− (X − i)
Pn =
2i
Notation : On note, pour x 6≡ 0 [π], cotan (x) =
cos(x)
.
sin(x)
Partie I. D´
ecomposition primaire de Pn
1.
2.
D´eterminez le degr´e de Pn ainsi que son coefficient dominant an .
` l’aide du changement d’inconnue w = z+i , r´esolvez l’´equation polynomiale
A
z−i
P˜n (z) = 0
D´eduisez-en que Pn se d´ecompose en produit de facteurs irr´eductibles sous la forme :
2n Y
kπ
Pn (X) = an
X − cotan
2n + 1
k=1
Remarque : Pn est donc en fait un polynˆome coefficients r´eels.
3
(1)
3.
1.
2.
kπ
(2n + 1 − k)π
= −cotan
. D´eduisezObservez que pour tout k ∈ [[1, n]], cotan
2n + 1
2n + 1
en l’existence d’un polynˆome Qn ∈ R[X] tel que Pn (X) = Qn (X 2 ), dont vous donnerez
une d´ecomposition en produit de facteurs irr´eductibles.
Partie II. Application au calcul de la somme d’une s´
erie
n
n
X
X
1
kπ
2
.
et Tn =
Calculez les sommes Sn =
cotan
kπ
2n + 1
k=1 sin2
k=1
2n + 1
Indication : pour la deuxi`eme somme, vous pourrez ´etablir une relation simple entre
1
cotan 2 (x) et
.
2
sin (x)
Pour tout x ∈]0, π2 [, d´emontrez que 0 < sin(x) ≤ x ≤ tan(x) et d´eduisez-en l’encadrement
1
1
≤
2
x2
sin (x)
cotan 2 (x) ≤
3.
n
X
1
.
D´eduisez de ce qui pr´ec`ede la valeur de L = lim
n→+∞
k2
k=1
EXERCICE 4 : Un calcul de somme
On consid`ere la fraction rationnelle F (X) =
1.
2.
X4
X
.
+ X2 + 1
D´ecomposez F en ´el´ements simples dans R(X).
n
X
k
Soit n ∈ N. Simplifiez
.
4
k + k2 + 1
k=0
Fin du sujet
4