Transcript CHAPITRE 9 : Exercices Seconde, 2014, L. JAUNATRE

CHAPITRE 9 : Exercices
Seconde, 2014, L. JAUNATRE
Exercice 1.
Dessiner en perspective cavali`ere un cube dont les arˆetes mesurent 4 cm.
1. Avec un angle de fuite α = 30 o et un coefficient de fuite k = 0.85.
2. Avec un angle de fuite α = 45 o et un coefficient de fuite k = 0.7.
3. Avec un angle de fuite α = 60 o et un coefficient de fuite k = 0.5.
Exercice 2.
C
b
b
D
B
On a commenc´e le patron d’un cube, dans quelles cases peuton tracer la face manquante ?
E
b
b
b
b
b
b
b
A
F
b
G
H
J
b
b
I
Exercice 3.
Trois patrons d’un cube sont repr´esent´es ci-dessous.
L
b
C
b
b
B
b
D
b
b
b
b
M
b
H
b
E
B1
b
F
b
A
K
b
G
J
b
b
I
A1
b
O
b
b
R
b
T
b
Q
P
b
N
J1
b
b
b
V
b
S
C1
U
b
b
E1
Z
b
b
W
b
b
F1
I1
b
H1
b
b
G1
D1
L1
b
b
b
N1
b
K1
O1
M1
b
b
P1
R1
b
b
Q1
On replie ces patrons pour former trois cubes.
1. Donner les points qui seront confondus avec le point :
a. D
b. K
c. H
d. P
e. T
f. O
g. E1
h. N1
i. O1
2. Donner le segment qui sera confondu avec le segment :
a. [CB]
h. [T V ]
b. [DC]
i. [QP ]
c. [EN ]
j. [SQ]
d. [GI]
k. [E1 J1 ]
e. [M N ]
l. [K1 G1 ]
f. [RT ]
m. [M1 N1 ]
g. [OP ]
n. [P1 Q1 ]
3. Dessiner d’autres patrons possibles du cube.
1/8
Exercice 4.
Compl´eter les dessins suivants pour obtenir une perspective cavali`ere d’un parall´el´epip`ede
rectangle.
b
b
b
b
b
b
b
b
Exercice 5.
Soit ABCDEF GH un cube de cˆot´e 6 centim`etres. Repr´esenter ce cube en perspective
cavali`ere (α = 45o et k = 0.7), de sorte que :
⋆ La face ABF E du dessous soit cach´ee.
⋆ La face BF GC de droite soit visible.
⋆ Le face ABCD de devant soit dans un plan frontal et visible.
Exercice 6.
b
Une pyramide r´eguli`ere est compos´ee d’un
carr´e ABCD de cˆot´e 6 cm, et de 4 faces
lat´erales qui sont des triangles isoc`eles. La
hauteur EF de la pyramide est de 4 cm.
b
1. Combien mesurent les cˆot´es de mˆeme
longueur des triangles isoc`eles ?
2. Repr´esenter le patron de cette pyramide.
b
D
b
A
b
E
C
F
B
b
Exercice 7.
La figure ci-dessous repr´esente un cube, la face ABF E est dans un plan frontal `a l’observateur.
1. Soient M, N, O, P les centres respectifs des faces ABCD, BCGF , EF GH et EHDA.
a. Soit I le milieu de [AD]. D´eterminer M I et P I. En d´eduire M P .
b. Que dire de M N , N O et OP ? Qu’en d´eduit-on pour M N OP ?
c. Que vaut N P ? En d´eduire que le triangle M N P est rectangle en M .
d. En d´eduire la nature puis la surface du quadrilat`ere M N OP .
2. Soit (S) le solide dont les arˆetes sont les segments joignant les centres des faces cons´ecutives
du cube.
a. Repr´esenter ce solide. (pour les pointill´es, on fera comme si le cube n’existait pas)
2/8
b.
c.
d.
e.
Combien le solide a-t-il de sommets ? d’arˆetes ? de faces ? Quel est son nom ?
De la question 1, que peut-on d´eduire de la longueur de chacune de ses arˆetes ?
De la question 1, que peut-on d´eduire pour les droites (M N ) et (OP ) ?
En d´eduire que deux faces oppos´ees sont parall`eles.
H
b
G
b
b
b
F
E
D
b
b
b
C
b
A
B
Exercice 8.
SABC est un t´etra`edre. I est le milieu de [SA], J est le milieu de [SC] et K est un point de
[SB] distinct du milieu de ce segment. N est le point d’intersection des droites (JK) et (BC).
S
K
J
I
B
C
A
1. Placer sur la figure, le point M intersection de la droite (IK) avec le plan (ABC).
2. Soit d la droite d’intersection des plans (ABC) et (IJK).
a. Montrer que N est un point de la droite d
b. Tracer la droite d sur la figure.
3. Montrer que la droite (IJ) est parall`ele au plan (ABC).
4. Montrer que les droites (AC) et d sont parall`eles.
3/8
Exercice 9.
ABCD est un t´etra`edre. L, M et N sont trois points plac´es respectivement sur les arˆetes
[AB], [AC] et [AD].
1. Placer le point J intersection de la droite (M N ) avec le plan (BCD).
2. Placer le point K intersection de la droite (BD) avec le plan (LM N ).
3. Les droites (BC) et (LM ) sont s´ecantes en I, montrer que les points I, J et K sont
align´es.
A
N
L
M
D
B
C
Exercice 10.
ABCD est un t´etra`edre. Les points I, J, K repr´esent´es appartiennent respectivement aux arˆetes
[AB], [AC] et [BD]. Repr´esenter en vert l’intersection du t´etra`edre et du plan (IJK). Justifier
le trac´e de l’intersection avec chacune des faces.
b
B
I
b
b
K
b
A
D
b
b
J
b
C
4/8
Exercice 11.
H
E
ABCDEF G est un cube. M est un point de l’arˆete [AB].
1. Le plan (GEM ) coupe l’arˆete [BC] en N . Que peut-on
dire des droites (GE) et (M N ) ?
G
F
D
2. Repr´esenter la trace du plan (GEM ) sur les faces du cube.
A
M
C
B
Exercice 12.
Les points M , A et I sont respectivement les points d’intersection d’un plan P avec les
arˆetes [SG], [SE] et [SR] de la pyramide SROGE.
1. Repr´esenter la droite D intersection du plan P avec le plan de base de la pyramide
SROGE.
2. a. Construire le point N intersection du plan P avec l’arˆete [S0].
b. Repr´esenter la trace du plan P sur les faces de la pyramide SROGE.
S
×I
M×
×A
O
G
R
E
5/8
Exercice 13.
R´ealiser la section plane des deux cubes ABCDEF GH par le plan (IJK).
H
G
b
b
b
E
Ib
b
Fb
b
D
K
J
C
b
b
b
b
8
b
A
B
H
E
G
b
b
Fb
b
b
I
J
K
b
b
D
C
b
b
b
b
b
A
B
H
J
E
b
G
b
b
b
b
F
b
I
b
D
b
A
K
b
b
C
b
B
6/8
b
Exercice 14.
D´eterminer dans chacun des cas suivants l’intersection du poly`edre avec le plan (IJK) o`
u
I ∈ (DC) , J ∈ [BF ].
1. K ∈ (EF )
H
E
G
b
b
b
b
b
K
F
b
b
I
J
D
b
b
C
b
b
b
A
B
2. K ∈ (DH)
H
E
G
b
b
b
b
b
K
F
b
b
I
J
D
b
b
C
b
b
b
A
B
3. K ∈ (BCG)
H
E
b
b
G
b
b
b
F
K
b
I
D
b
b
A
J
b
b
C
b
B
7/8
Exercice 15.
D´eterminer les volumes des solides suivants :
1. Un parall´el´epip`ede rectangle avec L = 4 cm , l = 3 cm et h = 2cm.
2. Une pyramide de base un carr´e de cˆot´e 4 cm et de hauteur 3 cm.
3. Un cylindre de rayon 2 cm et de hauteur 8 cm.
4. Un cˆone de rayon 5 cm et de hauteur 10 cm.
5. Une sph`ere de rayon 1 m.
Exercice 16.
La pyramide de KHEOPS poss`ede une base carr´ee de cˆot´e 230 m, sa hauteur est de 137 m. La
masse volumique des pierres de taille est de 2500 kg/m3 . Quelle est la masse de la pyramide
de KHEOPS ?
Exercice 17.
Un pav´e droit a un volume de 36 m3 . Sachant que chacune de ses trois dimensions (longueur,
largeur , hauteur) est un nombre entier de centim`etres, d´eterminerle nombre de pav´es diff´erents
pouvant convenir.
Exercice 18.
Dans un r´ecipient cylindrique de rayon 2 cm et de hauteur 4.5 cm, on verse de l’eau jusqu’`a
atteindre une hauteur de 3 cm.
1. On plonge dans ce r´ecipient une bille m´etallique de 1 cm de rayon. Quelle est la hauteur
de l’eau dans le r´ecipient (arrondie au milli`eme) ?
2. Combien de billes peut-on mettre dans le r´ecipient sans le faire d´eborder ?
Exercice 19.
Dans une caisse cubique, on empile des boules de 6cm de
rayon comme l’indique le dessin ci-contre.
1. Combien de boules contient la caisse ?
2. Quel est le volume de la caisse qui contient exactement cet empilement de boules ?
3. Le pourcentage du volume la caisse occup´e par les
boules est-il inf´erieur `a 52 % ?
Rappel :
Volume d’une sph`ere de rayon r : V =
4
× π × r3
3
Exercice 20.
On consid`ere un cˆone de rayon r et de hauteur h. D´eterminer en fonction de r et de h, le
rayon de la plus grande boule qui peut ˆetre ins´er´ee compl`etement dans le cˆone.
L. JAUNATRE
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