Transcript Wyklad 10 (PowerPoint)

Analiza szeregów czasowych
Szereg czasowy: zmierzona zależność danej wielkości od
czasu. Szeregi czasowe przedstawia się w postaci tabeli lub
wykresu.
trend
Sezonowość
lub komponent
stochastyczny
Zależność liczby pasażerów samolotów na miesiąc
(w tysiącach) od czasu w USA w latach 1949-1960
Przykładowe dane kinetyczne
Wykres energii w zależności od czasu w dynamice molekularnej
Przykłady szeregów czasowych w chemii
•
“Surowe” dane z pomiarów spektroskopowych (np. FID w
pomiarach NMR).
•
“Surowe” dane z pomiarów kinetycznych.
•
Dane z monitoringu
•
Wielkości charakteryzujące układ w danej chwili czasu
otrzymane w wyniku symulacji MD lub Monte Carlo
(energia, promień bezwładności itp.).
Przykłady szeregów czasowych w życiu codziennym
• Kursy walut
• Kursy giełdowe
• Wyniki sondaży
Cele analizy szeregów czasowych
• Określenie natury zjawiska reprezentowanego przez
daną sekwencję obserwacji
• Przewidywanie przyszłych wartości zmiennej zależnej
szeregu czasowego.
Metody wyodrębniania trendu
•
•
•
•
Uśrednianie
Metoda średnich ruchomych
Autoregresja
Dopasowywanie form funkcyjnych
– Transformacja Fouriera
• Analiza autokorelacji
Ogólna postać szeregu czasowego
yi  i   i ,
i  1,2,, n
ti  ti 1  t  const
Średnia ruchoma
y(t)
k
1
ui 
yi  j

2k  1 j  k
t
Lepszym estymatorem  w danym przedziale jest
wielomian
t j  ti  jt ,
j  k ,k  1,, k
 j  a1  a2t j    a t

 1 j
 j  x1  x2t j    x 1 j

Współczynniki x1,x2,…,xl+1 wyznaczamy prowadząc regresję
liniową dla j=-k,-k+1,…,k

~
x   ATA

1
ATy
1
k

1  k 1

A 


1
k


 k 2
 k  12

k2




 k 


 k  1 



k 


Pierwszy współczynnik x1 odpowiada wartości trendu o
pośrodku przedziału.
Transformacja Fouriera

F (k )   e  2ikx f ( x)dx


f ( x)   e 2ikx F (k )dk

Wartość współrzędnej
Oryginalny szereg czasowy
Czas
Transformata Fouriera
Intensywność
Częstość
Aproksymacja trygonometryczna
Mamy dane wartości funkcji f(x) w punktach
xi=i/L dla i=0,1,…,2L-1
Przez te punkty chcemy poprowadzić wielomian trygonometryczny o
postaci
ao n
yn x     ak cos kx  bk sin kx
2 k 1
tak aby był najlepiej dopasowany do punktów w sensie
średniokwadratowym:
2 L 1
2






f
x

y
x
 i n i  min
i 0
Wskutek ortogonalności różnych od siebie funkcji składowych
0
dla
m

k

2 L 1

sin m xi sin kxi   L dla m  k  0

i 0
0 dla m  k  0

0 dla m  k
2 L 1

cos m xi cos kxi   L dla m  k  0

i 0
2 L dla m  k  0

2 L 1
 cosm x sin m x  0
i 0
i
i
Układ równań normalnych przyjmuje postać diagonalną co daje analityczne
wzory na współczynniki rozwinięcia Fouriera.
1 2 L 1
1 2 L 1
ij
a j   f ( xi ) cos jxi   f ( xi ) cos
L i 0
L i 0
L
1 2 L 1
1 2 L 1
ij
b j   f ( xi ) sin jxi   f ( xi ) sin
L i 0
L i 0
L
j  1,2,...,n
Funkcja autokorelacji
C   
yt  yt     yt 
yt   yt 
2
2
2