Transcript Trysekcja Cevy 1/4 Giovanni Ceva (1647-1734) ukończył kolegium jezuickie w Mediolanie, nauczał wPizie, a od roku 1686 był profesorem na Uniwersytecie w.

Trysekcja Cevy 1/4
Giovanni Ceva (1647-1734) ukończył kolegium jezuickie w Mediolanie, nauczał wPizie,
a od roku 1686 był profesorem na Uniwersytecie w Mantui.
Pisał o przepływach wody (Opus hydrostaticum, 1728),
podjął nowatorskie badania w zakresie rachunku nieskończonego (Geometria motus, 1692),
Był prekursorem matematyki finansowej (Re nummeraria, 1711).
Choć najwięcej czasu poświęcał poezji (jego
łaciński poemat Jesus Puer przetłumaczono na
wiele języków), odnotował ważne wyniki w
geometrii. W roku 1678 w pracy De lineis rectis
podał warunek przecinania się prostych
przechodzących przez wierzchołki trójkąta:
Jeżeli na jego prostych AB, BA i CA
lub ich przedłużeniach
zaznaczymy punkty X, Y i Z tak, że AX=t1·XB, BY=t2·BC, i CZ=t3·ZA,
to proste AY, BZ i CX przetną się w jednym punkcie wyłącznie wtedy, gdy t1·t2·t3=1.
Odkrył ponownie twierdzenie Menelausa: punkty X, Y i Z są współliniowe, jeśli t1·t2·t3=-1.
Wynik ten stanowi podstawę prawa relatywistycznego składania prędkości Einsteina.
W roku 1699 zdefiniował krzywą,
która pozwala dokonać podziału kąta na 3 równe części.
Nazywa się ona trysektrysą Cevy.
Krzywa ta stanowi przedmiot naszego zainteresowania.
Równania krzywej Cevy
Trysekcja Cevy 2/4
Krzywą (lub trysektrysą) Cevy nazywamy linię,
którą w układzie Oxy współrzędnych prostokątnych definiuje wzór
x = a·cos(3t)+ 2a·cos(t),
y = a·sin(3t).
Ponieważ cos(3t) =
4·cos3(t) – 3·sin(t),
sin(3t) = – {4·sin3(t) – 3·cos(t)},
więc przedstawieniem wektorowym krzywej Cevy
jest także układ
x = a·sin(t)·{4·cos2(t) – 1},
y = a·cos(t)·{4·cos2(t) – 1}.
Uwzględniając zależności r = {x2+y2}1/2, x = r·sin(θ), y = r·cos(θ)
wiążące współrzędne kartezjańskie (x,y) z biegunowymi (r,θ)
natychmiast uzyskujemy równanie krzywej Cevy w układzie Orθ:
r = a·{4·cos2(θ) – 1},
czyli
r = a·{1 + 2·cos(2θ)}
(i wystarczy zmieniać wartość argumentu θ na przykład od 0 do ).
Korzystając nadal z relacji między współrzędnymi (x,y) a (r, θ)
możemy przedostatnią zależność przepisać w postaci
{x2+y2}1/2 = a·{4·x2/{x2+y2}– 1},
skąd otrzymujemy równanie niejawne trysektrysy Cevy
(słuszne także dla x=y=0): {x2+y2}3 = a2·{3x2–y2}2.
Trysekcja Cevy 3/4
Przeprowadzimy teraz konstrukcję potrojenia kata
poprzez poprowadzenie 3 okręgów o takim samym promieniu.
Uzyskany punkt C leżeć będzie na krzywej Cevy,
za pomocą której można wyznaczyć 1/3 kąta danego.
1) Tak jak na rysunku obok, wierzchołek danego kąta α
umieszczamy w początku układu Oxy współrzędnych prostokątnych
i zakreślamy łuk o dowolnym promieniu a
(na rysunku wynosi on 1).
2) Łuk ten przecina ramię górne kąta w punkcie M.
Oczywiście: M =
(a·cos(α),a·sin(α)),
zaś rzut punktu M na oś Ox to U = (a·cos(α),0).
3) Kreślimy teraz okrąg o środku M i promieniu a.
4) Przecina on oś Ox w punkcie P.
Trójkaty UOM i PUM są przystające,
więc P = (2a·cos(α),0)
5) Raz jeszcze kreślimy okrąg o promieniu a,
tym razem o środku P.
6) Punkt, gdzie przecina on ramię OM kąta α,
oznaczamy literą C.
Kąt, jaki z osią Ox tworzy odcinek PC,
oznaczamy literą φ.
7) Ponieważ β = 180°-(180°-2α) = 2α
i  = 1802 = 1804α, więc φ = 180(α+ )=3α.
Uzasadnienie konstrukcji
Trysekcja Cevy 4/4
Wiemy już, że P = (2a·cos(α),0) oraz φ = 3α.
Niech D oznacza
rzut prostopadły punktu C na oś Ox.
Boki trójkąta PCD mają długości:
|PC|=a, |CD| = a·sin(3α), |DP| = a·cos(3α).
Jeżeli C=(x,y), to y = |CD| = a·sin(3α)
i x = |OP| + |DP| = 2a·cos(α) + a·cos(3α).
Tym samym współrzędne prostokątne punktu C
dane są zależnościami:
x = 2a·cos(α) + a·cos(3α)
y = a·sin(3α).
Tak więc punkt C leży na krzywej Cevy.
Konstrukcja Cevy trzeciej części danego kąta φ:
e1. kreślimy trysektrysę Cevy - dla α (0,30°),
e2. nanosimy kąt φ,
e3. Przez punkt na ukośnym ramieniu kąta odległy
od wierzchołka kąta o a (na rysunkach jest a=1)
prowadzimy prostą równoległą do osi Ox,
e4. punkt, w którym ta równoległa przecina dalej trysektrysę, oznaczamy literą C,
e5. odcinek łączący punkt C z wierzchołkiem kąta φ odcina kąt α = φ/3.