Historia trysekcji kąta 1/3

Trzy sławne problemy geometrii starożytnej (zwane delijskimi) to przeprowadzenie, wyłącznie za pomocą cyrkla i linijki (bez podziałki), następujących konstrukcji geometrycznych: 1) kwadratura koła , czyli zbudowanie koła, którego powierzchnia jest równa powierzchni danego kwadratu. 2) podwojenie sześcianu , tzn. jego objętości, 3) trysekcja kąta , czyli jego podział na trzy równe części, Wielu powiększa tę listę o jeszcze jeden problem: 4) zbudowanie siedmiokąta foremnego.

Historia powiada, że zadanie podwojenia objętości sześcianu zostało postawione mieszkańcom Delos w roku 430 p.n.e. przez wyrocznię w Delfach. Oznajmiła ona, iż miasto przestaną wreszcie gnębić najrozmaitsze plagi, gdy wzniosą oni Apollinowi (który, podobnie jak Artemida, urodził się na wyspie Delos) ołtarz dwukrotnie większy niż już zbudowany i zachowujący jego kształt idealnego sześcianu.

Marmurowy posąg ApolloLyceios, przypuszczalnie autorstwa Praxitelesa, znajdujący się w Muzeum Archeologicznym w Delos (archipelag Cyklady)

Nie mogąc uporać się z rozwiązaniem powyższych zadań za pomocą jedynie nieznakowanej linijki i cyrkla Grecy (a za nimi także przedstawiciele innych nacji) wymyślili sposoby odwo łujące się do instrumentarium nieco bogatszego. Na przykład Archimedes dopuścił użycie skali na linijce (stad jego konstrukcja zwana jest odcinkową), a Maclaurin wymyślił krzywą, którą nazywa się jego trysektrysą (czyli dzielącą kąt na trzy równe części).

Historia trysekcji kąta 2/3

W roku 1796 Carl Gauss (1777-1855) przeprowadził delijską konstrukcję 17-kąta regularnego. Co więcej, wykazał on, iż konstrukcje delijskie mają tzw. wielokąty gaussowskie, tzn. N-kąty foremne, w których N jest iloczynem dowolnej potęgi natu ralnej liczby 2 i liczb pierwszych Fermata. Liczbą Fermata nazywamy liczbę F Badał je Pierre de Fermat (1601-65), autor słyn nego twierdzenia o nierozwiązywalności w liczbach całkowitych równania x k +y k =z k n = 2 dla k 22  +1. {3,4,5,...}.

Powyżej: obszar śródziemnomorski, na którym podjęto i rozwijano problemy delijskie. Poniżej: ruiny świątynia Izys w Delos. Stała ona obok świątyni Apollina, w której znajdował się sześcienny ołtarz, podwojenie objętości którego zaleciła wyrocznia delfijska

. Udowodnił je w r.1995 Andrew Willes. Stwierdziwszy, że F n są pierwsze dla n  5, Fermat postawił hipotezę, że wszystkie F n są takie. Obalił ją L.Euler pokazując w r.1732, że F 6 = 4294967297 = 641·6700417.

W r.1801 Gauss stwierdził niedelijskość 9-kąta foremnego. Dowód, że nie ma innych N-kątów foremnych delijsko konstruowalnych niż gaussowskie, przedstawił w r.1732 Pierre Laurent Wantzel (1814-48). W tej samej pracy, i znowu sięgając do równan algebraicznych, pokazał on, że istnieją katy (np. 60º), których nie można delijsko podzielić na 3 równe części.

Niewykonalność delijskiej kwadratury koła jest następstwem tego, że liczba  jest przestępna. Pokazał to, w r.1882, Ferdinand von Lindemann. Wypromował on 60 doktorów, wśród nich Davida Hilberta (1862-1943).

Historia trysekcji kąta 3/3

Wysiłki, przez wieki czynione w celu znalezienia rozwiązań problemów delijskich, a w szczególności trysekcji kąta, zaowocowały szeregiem odkryć, które spożytkowano w innych działach nie tylko matematyki. Krzywe, które użyto do wykonania trysekcji kąta, niekiedy specjalnie w tym celu skonstruowane, znalazły swe miejsce także poza matematyką. Bodaj najznakomitszym przykładem są ślimaki Paskala. Jeden z nich pozwala dokonać trysekcji kąta. Inny opisuje kształt krzywki, której obrót nadaje skojarzonemu z nią popychaczowi ruch harmoniczny. Jeszcze inny ślimak Paskala, zwany kardioidą, pojawia się w sposób naturalny w optyce oraz radiolokacji.

Przykładowe metody trysekcji kąta: 1) spiralna Archimedesa, 2) odcinkowa Archimedesa, 3) Nikomedesa, 4) hiperboliczna, czyli Apolloniusza-Pappusa, 5) Paskala, tzn. wykorzystująca ślimak Paskala, 6) Cevy, 7) Maclaurina, 8) przybliżona Steinhausa.