Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta.

©M

Umieszczamy kąt w układzie współrzędnych REGUŁY:



wierzchołek kąta



( 0 0

  

układu współrzędnych, 360 0 ) jest początkiem



pierwsze ramię kąta pokrywa się z dodatnią półosią x



drugie ramię kąta odkładamy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i nazywamy ramieniem wodzącym P(x p ,y p ) .

y



y p rzędna r promień wodzący x p odcięta x

©M

Jeżeli P(x p ,y p ) jest punktem na ramieniu wodzącym kąta, a r jest promieniem wodzącym punktu P, to wyboru punktu P.

x r p , y r p y x p x y p

Jeżeli

P(x p ,y p ), to r



x 2 p



2 y p przykład Ramię wodzące kata



przechodzi przez punkt A(-2,-5), to a wymienione stosunki są równe r



4

 

25 jest



29 x A r

 

2 29 , y A r

 

5 29 , x A y A



2 5 ,

©M

y A x A



5 2

P(x p ,y p ) .

Sinusem kąta



nazywamy stosunek rzędnej dowolnego (różnego od wierzchołka) punktu wybranego na ramieniu wodzącym kąta do promienia wodzącego tego punktu.

r y y p



sin

 

y r p x p x

©M

P(x p ,y p ) .

Cosinusem kąta



nazywamy stosunek odciętej dowolnego (różnego od wierzchołka) punktu wybranego na ramieniu wodzącym kąta do promienia wodzącego tego punktu.

y y p cos

 

x p r x p r



x

©M

Tangensem kąta



nazywamy stosunek rzędnej dowolnego (różnego od wierzchołka) punktu wybranego na ramieniu wodzącym kąta do odciętej tego punktu.

P(x p ,y p ) .

x p r y y p tg

 

y p x p



x założenie: x p



0, więc funkcja tangens nie jest określona dla kątów 90 o i 270 0 .

©M

Cotangensem kąta



nazywamy stosunek odciętej dowolnego (różnego od wierzchołka) punktu wybranego na ramieniu wodzącym kąta do rzędnej tego punktu.

P(x p ,y p ) .

r y y p



x p ctg

 

x y p p x założenie: y p



0, więc funkcja cotangens nie jest określona dla kątów 0 o , 180 0

©M

i 360 0 .

Znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych.

 sin  cos  tg  ctg  I

+ + + +

II

+

   III  

+ +

IV 

+

 

W pierwszej ćwiartce same plusy, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens a w czwartej cosinus.

©M

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów.



sin



cos



tg



ctg



0 0 0 90 1 0 180 0 0 270 -1 0 360 0 0 1 0 nie istnieje 0 nie istnieje 0 -1 0 nie istnieje 0 nie istnieje 0 1 0 nie istnieje

©M

y .

P 1 60 0 A 1 1 x y 1 45 0 .

P 1 x y 1 30 0 .

P 1 x Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych na podstawie rysunków wiedząc, że wysokość trójkąta równobocznego o boku a wynosi 2 3 natomiast przekątna kwadratu

©M

a 2

 sin  cos  tg  ctg  30 0

1 2 2 3 3 3 3

©M 45 0

2 2 2 2

1 1 60 0

1 2 2 3 3 3 3

Skonstruować kąt



, wiedząc, że 1.

sin

 

3 4 przyjmujemy, że y p = 3 i r = 4 y

2.

cos

  

1 3 przyjmujemy, że x p = -1 i r = 3 y x = -1 y = 3



2 1



1 1 x



2 1



1 1 x

©M

3.

tg

 

1 2 przyjmujemy, że y p = 1 i x p = 2 lub y p = -1 i x p = -2 y x = 2 4.

ctg

  

3 przyjmujemy, że x p =3 i y p = -1 lub x p = -3 i y p = 1 y x =3 y =1



2 1 1



1 x y = -1



1 1



2 1 x

©M

©M