Transcript konstrukcyjny podział odcinka na równe części

TWIERDZENIE
TALESA
Zastosowanie w matematyce i
życiu codziennym
Tales z Miletu
Był on gr. filozofem i matematykiem. Uważany
był za jednego z siedmiu mędrców czasów
starożytnych i za ojca nauki greckiej. Być może
ze względu na jego wielostronne
zainteresowania. Jeden z twórców jońskiej
teorii filozofii przyrody. Zapoczątkował
poszukiwanie pierwszej zasady w filozofii.
Interesował się astronomią i matematyką,
dowodem na to jest np.: przewidzenie przez
Talesa zaćmienia słońca, które miało miejsce w
dn. 18 maja 585 roku.
Tales założył jońską szkołę filozofii przyrody, był
aktywny politycznie i gospodarczo szczególnie
w stosunku do Babilonu, Egiptu i Fenicji. Zasady
geometrii przyswoił sobie będąc w Egipcie, tam
obliczył wysokość piramid za pomocą ich cienia.
Przypisuje mu się następujące
odkrycia:
• o przepołowieniu koła przez średnicę,
• dwa kąty przy podstawie trójkąta
równoramiennego są równe,
• jeżeli dwie linie proste przecinają się,
przeciwległe kąty są równe,
• kąt wpisany w półkole jest kątem prostym
• trójkąt jest określony, jeżeli dana jest jego
podstawa i kąty przy podstawie.
Tales jako filozof
W zakresie filozofii Tales stworzył ogólną zasadę z której powstała
wszelka natura, nosiła ona miano „arche”. Wg niego była to
woda. Woda jest przyczyną wszelkiego życia. Ziemia pływa na
wodach oceanu. Woda w jego kosmologii odgrywała rolę
wiecznej substancji nadającej żywotność wszelkiej materii.
Nie uznawał on bogów mitologicznych. W jego racjonalistycznych
koncepcjach nie było na to miejsca. Interpretacja świata była
świecka: sztormów morskich nie powodował Posejdon, ale
wiatry.
Platon wspomina anegdotę dotyczącą Talesa, który jakoby poszedł
wraz ze służącą obserwować w ciemności gwiazdy. Nie
spostrzegł on dołu, wpadł do niego i potłukł się. Pomocnica zaś
miała mu dogryźć, iż chciał zobaczyć, co się dzieje na niebie, a
nie dostrzegł, co znajduje się pod jego nogami.
proporcje
Proporcja – równość dwóch stosunków postaci
lub
W zapisie tym a i d nazywamy wyrazami
skrajnymi, b i c – środkowymi.
Własności proporcji
• Podstawowa własność
proporcji mówi,
że iloczyn wyrazów
skrajnych jest równy
iloczynowi wyrazów
środkowych.
Treść Twierdzenia
Talesa
Jeżeli
ramiona kąta przecięte
są prostymi
równoległymi,
to odcinki wyznaczone
przez te proste na
jednym ramieniu kąta,
są proporcjonalne do
odpowiednich
odcinków na drugim
ramieniu kąta.
A TAK WYGLĄDA RYSUNEK
OZNACZONY POJEDYNCZYMI
LITERAMI
• Jeżeli k || l,
to: a:b = c:d , a:c = b:d , a:(a+b)=x:y,
c:(c+d)=x:y
KONSTRUKCYJNY PODZIAŁ
ODCINKA NA RÓWNE CZĘŚCI
Zaczynamy od narysowania półprostej
k zaczynającej się w jednym z końców
odcinka AB.
KONSTRUKCYJNY PODZIAŁ
ODCINKA NA RÓWNE CZĘŚCI
Teraz cyrkiel rozstawiamy na dowolną rozwartość.
Stawiamy nóżkę cyrkla na złączeniu odcinka AB i
półprostej k (tutaj punkt A) i zaznaczamy odległość na
półprostej k. Tak powstaje punkt M.
KONSTRUKCYJNY PODZIAŁ
ODCINKA NA RÓWNE CZĘŚCI
Dalej, nie zmieniając rozwartości cyrkla, stawiamy nóżkę w punkcie M i
odmierzamy ponownie odległość na półprostej k. Powstaje punk N. Całość
powtarzamy tyle razy, na ile części musimy podzielić odcinek. Nasz dzielimy
na 3 części. Dwie już mamy odmierzone, więc zaznaczamy jeszcze jedną
stawiając nóżkę cyrkla w punkcie N. Powstaje punkt L.
KONSTRUKCYJNY PODZIAŁ
ODCINKA NA RÓWNE CZĘŚCI
Rysujemy prostą przechodzącą przez
ostatni zaznaczony punkt i drugi koniec
odcinka (tutaj punkty L i B).
KONSTRUKCYJNYPODZIAŁ
ODCINKA NA RÓWNE CZĘŚCI
Rysujemy proste równoległe do tej pierwszej,
przechodzące przez wyznaczone wcześniej punkty
(tutaj N i M)
Twierdzenie odwrotne do
twierdzenia Talesa
Jeżeli ramiona kąta przecięte są
kilkoma prostymi i stosunki długości
odcinków na jednym ramieniu kąta
równe są stosunkom długości
odpowiednich odcinków na drugim
ramieniu kąta, to te proste są
równoległe.
Odcinki
proporcjonalne
Jeżeli narysujemy kąt np.:
ostry i ramiona tego kąta
przetniemy dwoma
prostymi równoległymi to
długości odcinków
wyznaczonych przez te
proste na jednym ramieniu
kata są proporcjonalne do
długości odpowiednich
odcinków na drugim
ramieniu. A co to znaczy
proporcjonalne? To znaczy,
że zachodzi proporcja
pomiędzy ich długościami
( AB do BC, ma się tak jak
AD do DE).
Zastosowanie
twierdzenia Talesa
Twierdzenie (o
odcinku łączącym
środki boków
trójkąta):
W każdym trójkącie
odcinek łączący
środki dwóch
boków jest
równoległy do
trzeciego boku i
równy jego
połowie.
A’
B’
Zastosowanie
twierdzenia
Talesa
Jak zmierzyć wysokość
drzewa nie wchodząc na
nie?
•
Biorąc krótki przedmiot, np. kij o
znanej długości "A", stawiamy go
pionowo i mierzymy jego cień "B",
oraz cień "C" rzucany przez drzewo.
Z twierdzenia szybko ustalimy iż
wysokość drzewa "D" wyliczymy z
proporcji: D:A = C:B
• Możemy też doczekać chwili, w której
cień kija "B" będzie równy jego
wysokości. Zgodnie z twierdzeniem
Talesa w tym samym czasie cień "C"
drzewa będzie równy jego wysokości
"D". Według tego rozumowania
wystarczyło tylko, właśnie w tym
momencie, zmierzyć długość cienia na
odcinku "C" by poznać wysokość
drzewa.
Zastosowanie
twierdzenia
Talesa
Pomiar odległości statku
od brzegu
Nieco inne rozumowanie
pozwala obliczyć odległość
statku znajdującego się na
morzu. Z wniosku z
twierdzenia Talesa mamy:
(|A′A|+x):|B′A′| = x:|BA|
skąd x=|A′A|·|BA|:(|B′A′|
- |BA|).
Mierząc długości odcinków
występujących w tej
równości wyznaczamy x.
Linia brzegu
Wykonała :
Martyna Gawryś
uczennica klasy III
Publicznego Gimnazjum
w Klwowie