Transcript Prezentacja_kwadratura_kola

Kwadratura koła
Trysekcja kąta
Podwojenie sześcianu
Paweł Karlicki
Kl. IIa
Gimnazjum nr 2 w Błoniu
Kwadratura koła
Problemy te miały być rozstrzygnięte wyłącznie sposobem
geometrycznym i tylko przy użyciu cyrkla i linijki, na której nie
ma żadnej podziałki. Pierwsi tymi problemami zajmowali się
Pitagorejczycy, nie osiągnęli jednak sukcesu w ich
rozwiązaniu.
Właściwe ich postawienie zawdzięczamy Platonowi i jego
szkole, w której mimo wielu wysiłków również nie osiągnięto
istotnych rezultatów. Na przestrzeni wieków powstawały
rozmaite konstrukcje przybliżone lub dokładne - oparte jednak
na dodatkowych środkach pomocniczych.
Długie stulecia zajmowano się tymi zagadnieniami, ani nie
mogąc podać prawidłowego ich rozwiązania, ani też nie
mogąc dowieść, że są one nierozwiązalne.
Dopiero w wieku XVIII, niemiecki matematyk Carl Friedrich
Gauss rozwiązał szereg skomplikowanych zagadnień
algebraicznych, nad którymi głowiły się dotychczas
bezowocnie całe pokolenia matematyków, a na początku XIX
wieku Gauss wykazał niemożliwość rozwiązania problemu
delijskiego i trysekcji kąta za pomocą cyrkla i linijki.
Kilkadziesiąt lat później udowodniono to samo w stosunku do
kwadratury koła.
Kwadratura koła
Problem polegający na skonstruowaniu kwadratu, którego
pole równe jest polu danego koła, przy użyciu wyłącznie
cyrkla i linijki bez podziałki.
Jest to jeden z trzech wielkich problemów starożytnej
matematyki greckiej (obok trysekcji kąta i podwojenia
sześcianu), sformułowany przez szkołę pitagorejską.
Konstrukcja taka jest niewykonalna, co wynika z twierdzenia
udowodnionego w roku 1837 przez Pierre Wantzela oraz
faktu udowodnionego w 1882 roku przez Lindemanna, iż π
jest liczbą przestępną.
Kwadratura koła
Kwadratura koła jest bezpośrednio związana z rektyfikacją
okręgu; gdyby jedna z tych konstrukcji była wykonalna,
wykonalna byłaby i druga.
Określenie kwadratura koła funkcjonuje również w języku
potocznym; oznacza coś niewykonalnego, z góry skazanego
na niepowodzenie.
Kwadratura koła
Tak jak niełatwo było udowodnić, że stosunek między bokiem
kwadratu i jego przekątną nie może być wyrażony przez liczbę
wymierną, tak samo trudno było wykazać, że podobnie rzecz
ma się z kołem. Przez setki lat problemem kwadratury koła
zajmowali się matematycy, nie mogąc problem rozwiązać, ani
też nie mogąc dowieść, że jest to niewykonalne.
Niezliczone próby przedstawienia takiej konstrukcji bez
wyjątku kończyły się fiaskiem.
Kwadratura koła
Dopiero w drugiej połowie XVIII wieku matematyk Johan
Heinrich Lambert ustalił niewymierność liczby π, co oznaczało,
że liczby tej nie da się przedstawić pod postacią ułamka. Sto
lat póżniej, w 1882 roku, Ferdinand von Lindemann udowodnił,
że liczba π jest liczbą przestępną.
A żadna liczba przestępna nie może powstać za pomocą linijki
i cyrkla.
Kwadratura koła
W ten sposób udowodniono, że jeden z najstarszych
problemów matematycznych - kwadratura koła jest niemożliwa.
Kwadratura koła stała się synonimem nierozwiązywalnego
zadania. Wyrażenie to weszło do języka potocznego dla
określenia skazanych na niepowodzenie prób podejmowanych
przez kogoś, kto upiera się, by zrealizować coś niemożliwego.
Trysekcja kąta
Trysekcja kąta
Jeden z trzech (obok podwojenia sześcianu i kwadratury koła)
wielkich problemów matematyki greckiej.
Polega on na podziale kąta na trzy równe części jedynie przy
użyciu cyrkla i linijki. W roku 1837 Pierre Wantzel udowodnił,
że konstrukcja taka w ogólnym przypadku jest niewykonalna.
Trysekcja kąta
Problem ten sięga swoją historią do pitagorejczyków.
W związku z konstrukcją wielokątów foremnych interesowali
się oni podziałem okręgu na równe części.
Podział na 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 równych części udało się
im przeprowadzić za pomocą linijki i cyrkla.
Natomiast podział okręgu na 7, 9, 11, 13 równych części
stwarzał niepokonane trudności.
Szczególnie intrygował pitagorejczyków podział na 9 równych
części prowadzący do konstrukcji dziewięciokąta foremnego.
Aby otrzymać dziewięciokąt foremny, wystarczyłoby tylko
odpowiedni kąt środkowy mający 120° podzielić na trzy
równe części. Tu więc spotykamy problem trysekcji kąta.
Trysekcja kąta
Podział tego kąta na 3 równe części nastręczał
rozwiązującym niepokonane trudności.
Niemożliwe jest podanie metody podzielenia cyrklem i linijka
dowolnego kąta na trzy równe części.
Kąty dzielą się na takie, które da się podzielić na trzy części
cyrklem i linijką (np. 90°), oraz na takie, których cyrklem i
linijką nie da się podzielić na trzy równe części (np. 120°).
Oczywiście, jeśli użyć odpowiednich narzędzi, to za ich
pomocą można dokonać trysekcji dowolnego kąta ( tzw.
konstrukcja neusis - tak Dinostarates dokonał trysekcji za
pomocą kwadratrysy.
Trysekcja kąta
Posługując się narzędziami teorii Galois można wykazać, że dla
danego kąta
kąt o mierze
jest konstruowalny wtedy i
tylko wtedy, gdy wielomian
jest rozkładalny w ciele
Konstrukcja Archimedesa
By dokonać trysekcji kąta ostrego można wykorzystać mniej dokładną konstrukcję
Archimedesa. Używa się do niej cyrkla i linijki z zaznaczonymi dwoma punktami X
i Y. Najpierw należy nakreślić okrąg o środku O (gdzie O - wierzchołek kąta) i
promieniu r = | XY | . Punkty przecięcięcia okręgu z ramionami kąta oznaczyć jako
A i B. Następnie poprowadzić prostą OA oraz prostą l za pomocą linijki tak, aby
jeden z zaznaczonych na niej punktów X należał do prostej OA, zaś drugi - punkt
Y do okręgu i tak by prosta l przechodziła przez punkt B. Wówczas proste OA i l
przetną się pod kątem
Podwojenie sześcianu
Podwojenie sześcianu
Podwojenie sześcianu (inaczej nazywany problemem
delijskim) – jedno z trzech, obok trysekcji kąta i kwadratury
koła, wielkich zagadnień starożytnej matematyki greckiej,
polegające na zbudowaniu sześcianu o objętości dwa razy
większej niż dany.
Legenda mówi, że w czasie zarazy na Delos wyrocznia
delfijska przekazała proroctwo Apolla, że choroba ustanie,
gdy jego ołtarz w świątyni w Delfach zostanie powiększony
dwukrotnie. Zrozumiano to w ten sposób, że należy
dwukrotnie powiększyć objętość ołtarza, zachowując jego
kształt sześcianu.
Podwojenie sześcianu
Ateńczycy nie mogli zrozumieć, dlaczego nie mogą
rozwiązać problemu, który wydawał się tak łatwy. Okazało
się, że są bezsilni. Zrozpaczeni postanowili zwrócić się do
największych matematyków tych czasów.
Archytas z Tarentu zaproponował przecięcie trzech
płaszczyzn - stożka, walca i torusa. Menechem posłużył się
dwiema stożkowymi: hiperbolą i parabolą.
Podwojenie sześcianu
Hippiasz z Elis rozwiązał problem technicznie.
Wszystkie te krzywe, wymyślone przez matematyków, były
krzywymi mechanicznymi, nie były krzywymi geometrycznymi.
Zastosowane sposoby były podlejszej natury i w dodatku
posługiwały się ruchem i szybkością. Nie można było jednak
za pomocą ruchomych konstrukcji zbudować świątyni w Delos.
Dżuma trwała dalej.
Jeśli Apollon domaga się tej konstrukcji ustami wyroczni, to
przecież nie dlatego, że potrzebuje podwójnego ołtarza.
To dlatego, że ma za złe Grekom lekceważenie matematyki i
ich niechęć do geometrii.
Podwojenie sześcianu
Klasyczne rozwiązanie problemu, przy pomocy cyrkla i linijki
nie jest możliwe; problem może jednak być rozwiązany przy
pomocy metod nieklasycznych, na przykład konchoidografu
i konchoidy Nikomedesa lub cysoidy Dioklesa.
Podwojenie sześcianu
W języku algebry problem podwojenia sześcianu sprowadza
się do zbudowania odcinka x spełniającego równanie x3 = 2a3,
gdzie a jest dane. Przyjmując a za jednostkę, problem
sprowadza się do zbudowania pierwiastka 3 stopnia z liczby 2.
Nie jest to jednak możliwe:
jest liczbą algebraiczną stopnia 3, podczas gdy teoria
mówi, że dana liczba daje się skonstruować za pomocą cyrkla
i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy jej stopień nad ciałem liczb
wymiernych jest naturalną potęgą liczby 2.
Wygląda na to, że Apollo zadowoliłby się dopiero sześcianem o
boku długości
3
2
Greccy geometrzy potrafili skonstruować za pomocą cyrkla i
linijki odcinki długości 2 i 3 ale żaden z nich nie był w stanie
przeprowadzić konstrukcji odcinka o długości 3 2.
Liczbę tą nazywa się liczbą delijską.
Udowodnienie nierozwiązalności problemu sprowadza się mniej
więcej do takiego rozumowania:
Aby podwoić sześcian o krawędzi a, trzeba znaleźć odcinek
długości x, który odpowiada równaniu x3 = 2a3.
Mamy tu do czynienia z równaniem stopnia trzeciego. Jednak
geometria koła i linii prostej nie doprowadza do rozwiązania
równań stopnia trzeciego.
Zadanie to więc z ograniczeniem, iż ma być wykonane za
pomocą cyrkla i linijki jest nierozwiązalne.