Transcript Najważniejsze twierdzenia i zastosowania w

Najważniejsze twierdzenia
i zastosowania w
geometrii
Geometria - podobnie jak arytmetyka należy do
najstarszych nauk. Podobnie jak inne działy
matematyki geometria wyewoluowała od badania
kształtów znanych z codziennego życia do studiów nad
nieskończenie wymiarowymi abstrakcyjnymi
przestrzeniami matematycznymi.
Geometria euklidesowa
Klasyczna odmiana geometrii opisana po raz pierwszy przez
Euklidesa w dziele Elementy (z III w. p.n.e.). Zebrał on całą
ówczesną wiedzę matematyczną znaną Grekom, dziś jego dzieło
przedstawia się jako pierwszą znaną aksjomatyzację w historii
matematyki. Pierwotnie uprawiano ją jedynie na płaszczyźnie i w
przestrzeni trójwymiarowej wiążąc ją jednocześnie ze światem
fizycznym, który miała opisywać, nie dopuszczając tym samym
możliwości badania innych odmian geometrii.
Twierdzenie Ponceleta-Steinera
Mówi, że jeśli dana konstrukcja jest wykonalna za pomocą cyrkla
i linijki, to jest ona wykonalna za pomocą samej linijki, o ile dany
jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem. Jest to
najsilniejszy rezultat tego typu, przy pomocy samej linijki nie da
się wyciągać pierwiastków kwadratowych.
Twierdzenie Mohra-Mascheroniego
Mówi, że jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za
pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego
cyrkla, pod warunkiem, że ograniczymy się do wyznaczania
punktów konstrukcji, a pominiemy rysowanie linii. Wynik ten
został opublikowany w roku 1672 przez Georga Mohra, był
jednak nieznany aż do roku 1928. Niezależnie od Mohra
twierdzenie zostało odkryte przez Lorenzo Mascheroniego w
roku 1797.
Twierdzenie Talesa
Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to
odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta, są
proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu
kąta.
Twierdzenie Pitagorasa
W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej tego trójkąta. Zgodnie z oznaczeniami na
rysunku obok zachodzi tożsamość
Twierdzenie Steinera-Lehmusa
Twierdzenie Lehmusa-Steinera jest twierdzeniem
planimetrii sformułowanym przez C. L. Lehmusa i
udowodnionym przez Jakoba Steinera.
Jeżeli w trójkącie długości dwóch dwusiecznych są
równe, to trójkąt jest równoramienny.
Twierdzenie Sin ,Cos ,Tg ,Ctg
Twierdzenie Erdősa
X+Y+Z≥2(a+b+c)
Dowód Mordella nie był elementarny - pierwszy elementarny
dowód podano dopiero w roku 1956. Od tego czasu pojawiło się
kilka elementarnych dowodów, a sama nierówność została
uogólniona.
Twierdzenie o dwusiecznej kąta
wewnętrznego w trójkącie
Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy
bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.
|AD| \ |DB| = |AC| \ |BC|
Twierdzenie tangensów
Twierdzenie Stewarta
Dziękuje za uwagę
Piotr Peplau Id