Transcript Twierdzenie o stycznej i siecznej

TWIERDZENIE
O STYCZNEJ
I SIECZNEJ
Prosta, która ma z okręgiem dwa punkty wspólne
nazywamy sieczną.
Prosta, która ma z okręgiem tylko jeden punkt wspólny,
nazywamy styczną. Styczna do okręgu, jest prostopadła
do promienia, łączącego punkt styczności ze środkiem
okręgu.
Niech będzie dany okrąg o (O,r) oraz punkt P taki, że PO > r.
Jeżeli przez punkt P poprowadzimy dwie proste: prostą k styczną
do tego okręgu w punkcie A oraz prostą przecinającą okrąg o
(O,r) w dwóch różnych punktach B i C, to AP²=BP*CP.
· O
DOWÓD
Rozważmy dwa trójkąty: APB i APC.
Mamy: Kąt BCA ma taką samą miarę jak kąt PAB oparty na tym samym
łuku. Natomiast kąt APB to wspólny kąt trójkątów APB i APC.
Zatem na mocy cech kkk podobieństwa trójkątów otrzymujemy: trójkąt
APB jest podobny do trójkąta APC.
2
Zatem: P A P B
PC

PA
czyli
P A  P B  PC
TWIERDZENIE 2
Niech będzie dany okrąg o(O, r) oraz punkt P taki, że
PO > r. Jeżeli przez punkt P poprowadzimy: sieczną k
przecinającą dany okrąg w punktach A i B oraz sieczną
l przecinającą okrąg w punktach C i D, to
PA · PB = PC · PD .
· O
DOWÓD
Poprowadźmy przez punkt P prostą m styczną do danego okręgu w
pewnym punkcie M.
Z twierdzenia 1. zastosowanego do stycznej m i siecznej k otrzymujemy:
PM ²= PA · PB .
Stosując to samo twierdzenie do stycznej m i siecznej l, mamy: PM ² =
PC· PD .
Konsekwencją obu równości jest żądana równość PA · PB = PC· PD .
Udowodnione wyżej twierdzenie pozostaje prawdziwe, jeżeli punkt P
spełnia warunek PO < r.
M
TWIERDZENIE 3
Jest to twierdzenie o związkach miarowych odcinków przecinających
się cięciw w okręgu (kole). Jeżeli cięciwy okręgu przecinają się w
punkcie leżącym wewnątrz okręgu, to iloczyn odcinków każdej
cięciwy, zawartych pomiędzy tym punktem i punktami przecięcia z
okręgiem jest stały.
|AM|∙|BM|=|CM|∙|DM|
Dwie cięciwy przecinają się wewnątrz okręgu tak, że odcinki jednej z nich
mają długość 8 cm i 6 cm, a odcinki drugiej pozostają w stosunku 2:3.
Obliczyć długości odcinków A drugiej cięciwy.
|AP|=6cm
Rozwiązanie:
|PB|=8cm
|AP|∙ |PB|= |PD|∙ |CP|
|CP|:|PD|
=2:3
| CP | 2

| PD | 3
2
=3
|CP|
|PD|
2
|PD|∙ |PD|=6∙ 8
3
3
2
|PD| =48 ∙ 2
|PD|2 = 72
|PD|>0
|PD|=6
|CP|= 2 ∙ 6 = 4
3
Odp: 6
i 4 cm.
i