Transcript A, B - INF-WLF

ODKRYWANIE GEOMETRII KÓŁ
Agnieszka Rogalska
ODKRYWANIE
GEOMETRII KÓŁ
Bronisław Pabich
Agnieszka Rogalska
2
LEKCJA 1
KĄTY W KOLE
3
Koło i kąty w kole
Koło jest jednym z ważniejszych wynalazków w historii ludzkości. Poza
jego fizycznymi i mechanicznymi zastosowaniami jest niezwykle ważny
również w matematyce. Jest to figura, która przy minimalnym obwodzie
ma 44 największą objętość, ale nie można nią wypełnić płaszczyzny,
tak jak np. sześciokątami foremnymi. Punkt koła toczącego się po
prostej zatacza pewną krzywą zwaną cykloidą. Ale aby badać takie
problemy z kołem, trzeba wcześniej poznać kilka podstawowych
własności koła i okręgu.
Kilka najbliższych slajdów wprowadzi Cię w krainę twierdzeń, z których
niektóre poznałeś już w gimnazjum, inne będą ich dalszą kontynuacją.
Opis ruchu koła, a jest nim najczęściej obrót, związany jest ze zmianą
kąta, jaki zatacza wokół środka okręgu dowolny punkt tego okręgu.
Dlatego też ważnymi pojęciami są dwa kąty w kole: kąt środkowy i kąt
wpisany.
Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku koła,
zaś kąt wpisany, to ten którego wierzchołek leży na okręgu tego koła.
4
Kąty wpisane w kole
Zajmijmy się na chwilę kątami wpisanymi. Ramiona kąta wpisanego
wraz z obszarem kąta ma z okręgiem część wspólną w postaci
pewnego łuku okręgu. Mówimy wówczas, że kąt wpisany oparty jest na
tym łuku. Można zauważyć, że gdy kąt wpisany wzrasta, wówczas
długość tego łuku również wzrasta.
Na dowolnym okręgu o(O,r) zaznacz cztery punkty A, B, K i L.
Zaznacz kąt KAL. Kąt ten jest kątem wpisanym w koło k(O,r) opartym
na łuku KL.
Zaznacz kąt KBL. Jak nazwiesz ten kąt?
Odczytaj miary kątów KAL i KBL.
Zmieniaj położenie jednego z punktów
A lub B na okręgu i obserwuj miary
zaznaczonych kątów.
Jakie są te miary?
5
Kąty wpisane w kole
Wykonany eksperyment pozwolił Ci zauważyć to, co już pewnie wiesz:
miary kątów wpisanych opartych na tym samym łuku są takie same.
Wykonajmy kolejny eksperyment w programie GeoGebra.
Na dowolnym okręgu o(O,r) zaznacz sześć punktów A, B, C, K, L, i M.
Zaznacz kąt BAC. Kąt ten jest oczywiście kątem wpisanym w koło k(O,r)
opartym na łuku BC.
Zaznacz kąt LKM. Jak nazwiesz ten kąt?
Znajdź miary kątów BAC i LKM, oraz długości łuków BC i LM.
Zmieniaj położenie jednego z punktów B, C, L lub M tak,
by długości łuków BC i LM stały się równe.
Jakie są wówczas miary kątów BAC i LKM?
Chwyć myszą za wierzchołki K i A kątów i zmieniaj ich położenie na
okręgu.
Czy długości łuków: BC i ML zmieniają się?
6
Miary kątów wpisanych, opartych na tym samym łuku są takie
same.
Miary kątów opartych na łukach o tej samej długości są również
sobie równe.
7
Kąty wpisane i środkowe w kole
Teraz poszukajmy związku pomiędzy kątami wpisanymi
i środkowymi.
Poniższy rysunek ilustruje dwa kąty w kole k(O.r): BAC oraz BOC.
Który z nich jest wpisany, a który środkowy?
Na jakich łukach oparte są te kąty?
Zmieniaj położenie jednego z punktów: A, B lub C tak,
aby kąt wpisany był ostry lub rozwarty.
8
Kąty wpisane i środkowe w kole
Teraz zmieniaj wyłącznie
położenie punktu A i odczytuj za
każdym razem miarę kąta
wpisanego.
Ustal zależność między miarami
kątów wpisanego
i środkowego opartych na tym
samym łuku.
Sformułuj dostrzeżoną własność.
Jaka jest miara kąta wpisanego
opartego na półokręgu?
Czy wiesz dlaczego?
Sformułuj i uzasadnij odkrytą
przez Ciebie własność.
9
Miara kąta środkowego opartego na danym łuku jest
dwukrotnością miary kąta wpisanego, opartego na tym samym
łuku, jak również na łuku o tej samej długości.
Miara kąta wpisanego, opartego na półokręgu wynosi 90º.
10
Kąt widzenia
Poznana wiedza jest bardzo przydatna w praktyce. Wykorzystywano ją
w Starożytności przy konstruowaniu amfiteatrów.
Z poprzedniego problemu wiesz już, że miary kątów wpisanych w koło,
opartych na tym samym łuku są równe.
Wyobraź sobie salę teatralną w kształcie półkola i scenę, traktowaną
geometrycznie jako cięciwę tego koła. W optyce stosuje się pojęcie tzw.
kąta widzenia. Jest to kąt, którego wierzchołek zajmuje położenie
obserwatora, a ramiona przechodzą przez końce oglądanego obiektu.
Można powiedzieć też, że obiekt jest wpisany w kąt widzenia.
11
Kąt widzenia
Poniższy rysunek ilustruje cięciwę koła sceny na arenie, którą widać z
punktu leżącego na okręgu koła tej areny pod kątem 34 .
Pod jakim kątem scenę tę będzie oglądał widz siedzący w innym
miejscu na okręgu tej areny?
Pod jakim kątem widać tę scenę ze środka areny?
12
Łuk Talesa
Okazuje się, że widzowie znajdujący się
w dowolnym punkcie P blisko ściany sali
teatralnej widzą scenę pod tym samym
kątem – np. 62.15º.
Zbiór punktów P, z których dany odcinek
widać pod stałym kątem, tworzy łuk,
nazywany łukiem Talesa.
Widzowie znajdujący się bliżej środka sali
widzą tę samą scenę pod kątem...
no właśnie, pod jakim? Większym czy
mniejszym?
A gdzie znajdują się widzowie, którzy widzą
scenę pod kątem o mierze 25º.
Czy znajdują się oni na sali, czy muszą ją
opuścić i wyjść na zewnątrz?
13
Łuk Talesa
Zmatematyzujmy ten problem. Wywołaj poniższą konstrukcję GeoGebry.
Możesz w niej zmieniać położenie punktu P i obserwować zmianę miary
kąta APB.
Czy miara tego kąta może przekroczyć miarę kąta ACB?
Kiedy?
Dlaczego?
Spróbuj znaleźć ślad jaki pozostawia punkt P w sytuacji stałej miary kąta
ACB równej np. 56º. W tym celu kliknij prawym przyciskiem myszy w punkt
P i uaktywnij narzędzie Ślad. Następnie poruszaj tak punktem P, by miara
kąta ACB przyjmowała stałą wartość 56º.
Czy dziwi Cię wynik tego eksperymentu?
14
Konstrukcja łuku Talesa
Jak skonstruować cyrklem miejsce geometryczne wszystkich punktów P,
aby |APB| = const = 56º?
Poniższa animacja ilustruje kolejne kroki konstrukcyjne łuku Talesa
o mierze 56º.
15
Dowód poprawności konstrukcji łuku Talesa
Oto uzasadnienie poprawności opisanej konstrukcji:
Ponieważ kąt APB ma mieć miarę 56º, więc kąt środkowy ASB musi mieć
miarę dwukrotne większą, czyli 112º. Trójkąt ABS jest równoramienny, zaś
trójkąt CBS jest prostokątny, więc miara kąta CBS wynosi 34º.
Zatem konstrukcje tę należy rozpocząć od konstrukcji tego kąta.
16
Kąt widzenia obrazu
Spróbujmy teraz odpowiedzieć na pytanie, dlaczego niektórzy,
szczególnie starsi ludzie zwiedzający muzeum, oglądając wiszący
na ścianie obraz poszukują pewnego miejsca na sali i dopiero wtedy
z tego miejsca podziwiają to dzieło.
Czy wiedzą, że obraz ten z pewnego punktu będzie widać pod
największym kątem? Dlaczego?
Zbadajmy ten problem.
17
Kąt widzenia obrazu
Obejrzyj poniższą animację i zwróć uwagę na miarę kąta widzenia ekranu
przez obserwatora w trakcie jego zbliżania się do obrazu. Zmiana miary
kąta widoczna jest na wykresie.
18
Kąt widzenia obrazu
Zbliżając się do obrazu zauważamy, że jest taki moment, w którym jego kąt
widzenia przyjmuje największą wartość. Pojawia się pytanie, kiedy tak jest?
19
Kąt widzenia obrazu
Przeprowadźmy przez oko obserwatora, dolny i górny punkt obrazu okrąg.
Jak go skonstruować? Zauważmy, że jego środek musi leżeć w punkcie
przecięcia symetralnej odcinka AB oraz symetralnej punktu A i punktu oka
obserwatora. Oczywiście w trakcie przybliżania się obserwatora do obrazu
okrąg ten będzie zmieniał swoje wymiary, ale jego środek nadal będzie
leżał na symetralnej odcinka AB.
20
Kąt widzenia obrazu
Przyjrzyj się uważnie poniższej animacji i zobacz, jak zachowuje się ten
okrąg w momencie, gdy kąt widzenia jest największy?
21
Kąt widzenia obrazu
Zauważmy że kąt widzenia obrazu to nic innego jak kąt wpisany w kole,
oparty na cięciwie AB. Cięciwa wprawdzie nie zmienia swej wielkości, ale
łuk zbudowany na tej cięciwie przybiera różne wielkości. Kiedy zatem kąt
wpisany APB jest największy?
Popatrzmy na trzy różne położenia obserwatora względem obrazu.
22
Kąt widzenia obrazu
Drugie położenie na poniższych rysunkach ilustruje sytuację, w której kąt
widzenia jest największy. Wówczas okrąg opisany na trójkącie ABP jest
styczny do prostej poziomej przechodzącej przez oko obserwatora.
23
Zauważmy, że kąt BPA jest wtedy największy, gdy jest kątem wpisanym
w czerwone koło. Gdy P leży poza tym kołem kąt widzenia jest większy, niż
kąt wpisany.
24
Kąt widzenia obrazu
W ten sposób zastosowaliśmy nieznane w matematyce szkolnej ciekawe
twierdzenie:
Jeżeli na okręgu leżą dwa punkty A i B to miara kąta APB jest zawsze
mniejsza dla punktu P leżącego poza kołem, do którego należą punkty
A i B, zaś największa, gdy punkt P leży na okręgu.
25
Kąt wpisany a kąt między styczną i cięciwą
Wykreśl okrąg o środku S i jego cięciwę
BC.
Skonstruuj styczną do okręgu w punkcie
C (prostopadłą do promienia SC).
Narysuj dowolny kąt wpisany BAC oparty
na łuku BC.
Czy kąt ten jest zawsze ostry?
Styczna i cięciwa BC tworzą ze sobą dwa
kąty. Zmierz jeden z nich.
Dla ustalonego położenia punktów B i C
zmieniaj położenie punktu A na okręgu.
Odczytuj za każdym razem miarę kątów
między cięciwą a styczną oraz miarę kąta
BAC.
Co dostrzegasz?
26
Kąt wpisany a kąt między styczną i cięciwą
Zbliżaj punkt B do punktu A. Czy coś się zmienia?
Umieść punkt B w punkcie A zaś C tak, by cięciwa BC była średnicą okręgu.
Co zauważasz tym razem? Czy coś się zmieni, gdy poruszasz punktem A?
Powtórz ponownie czynność w sytuacji, gdy punkt A znajdzie się na tym
łuku BC, na którym oparty jest wypukły kąt środkowy BSC.
27
Kąt wpisany a kąt między styczną i cięciwą
Narysuj styczną k w punkcie C i zmierz tym razem drugi kąt, jaki tworzy
ona z cięciwą BC. Co dostrzegasz?
Podsumuj jeszcze raz wszystkie dostrzeżone fakty, sformułuj w postaci
twierdzenia i udowodnij je.
W dowodzie skorzystaj z twierdzenia o kącie środkowym
i wpisanym opartych na tym samym łuku.
Zauważ też, że kąt między styczną i cięciwą to
albo różnica kąta prostego i kąta SBC (lub SCB), albo ich suma.
28
Miara kąta zawartego pomiędzy styczną do okręgu,
poprowadzoną przez wierzchołek trójkąta wpisanego
w koło, a bokiem tego trójkąta jest równa mierze kąta
wewnętrznego trójkąta, leżącego naprzeciw tego boku.
29
Kwadrat odległości dowolnego punktu okręgu od jego cięciwy
jest równy iloczynowi jego odległości od stycznych do okręgu
w punktach będących końcami wybranej cięciwy.
30
LEKCJA 2
CZTERY KONSTRUKCJE
STYCZNEJ DO OKRĘGU
31
KONSTRUKCJA STYCZNEJ DO OKRĘGU - I
Wiesz już z gimnazjum, że styczna do
okręgu tworzy z promieniem tego
okręgu poprowadzonym do punktu
styczności kąt prosty.
Narysuj okrąg o(O,r) i punkt P na
zewnątrz niego.
Wiesz już, że przez punkt leżący poza
okręgiem można poprowadzić
dwie styczne.
Niech jednym z poszukiwanych
punktów styczności będzie punkt Q.
Skoro kąt OQP ma być kątem prostym,
to Twoje zadanie polega na
skonstruowaniu trójkąta prostokątnego
OPQ.
Jak to zrobić?
32
Konstrukcja stycznej do okręgu (I)
Wiemy, że odcinek OP ma być przeciwprostokątną tego trójkąta.
Przypomnijmy sobie, gdzie leży trzeci wierzchołek trójkąta prostokątnego
w którym OP jest przeciwprostokątną?
Oczywiście, jeśli pamiętamy twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym
w kole, to wiemy, że jeśli średnica koła jest podstawą trójkąta, a trzeci
wierzchołek należy do okręgu, to taki trójkąt jest zawsze prostokątny, a kąt
prosty leży przy tym wierzchołku.
Utwórz więc okrąg o średnicy OP.
Gdzie jest poszukiwany punkt Q?
Opisz dokładnie całą konstrukcję.
33
KONSTRUKCJA STYCZNEJ DO OKRĘGU - II
Narysuj dowolny okrąg o(O,r) i punkt P leżący na zewnątrz niego.
Twoim zadaniem jest skonstruowanie prostej stycznej do okręgu
przechodzącej przez punkt P.
Zacznij nietypowo: narysuj odcinek OP.
Utworzony odcinek przecina okrąg w pewnym punkcie – oznacz go jako M.
Przez punkt M poprowadź prostą m prostopadłą do odcinka OP.
Prosta ta jest styczną do okręgu, a więc częściowo spełnia warunek
zadania.
Nie przechodzi ona jednak przez punkt P.
Zgodzisz się jednak z faktem, że na tej prostej można wskazać taki punkt
P’, że jego odległość od środka okręgu jest równa odległości OP?
Co musisz zrobić, by znaleźć punkt P’?
34
Konstrukcja stycznej do okręgu (II)
Zauważ, że skoro OP’ = OP więc wystarczy wykreślić okrąg o środku
w punkcie O i promieniu OP.
Punkt przecięcia tego okręgu z prostą m to poszukiwany punkt P’.
Co... są dwa takie punkty?
Wybierz jeden z nich.
Zwróć uwagę na trójkąt OP’M. Utwórz go.
Powtórz jeszcze raz całe
rozumowanie, spróbuj opisać
i uzasadnić konstrukcję.
35
Konstrukcja stycznej do okręgu (II)
Jeśli potrafiłbyś obrócić go tak, by P’ znalazł się w punkcie P, wówczas
prosta m zawierająca bok tego trójkąta byłaby poszukiwaną przez Ciebie
styczną do okręgu poprowadzoną przez punkt P.
W jaki sposób to powinieneś zrobić?
Trójkąt OP’M po obrocie zajmie pozycję trójkąta OPQ, gdzie Q jest
poszukiwanym punktem styczności.
Zatem, OP = OP’, OQ = OM = r, zaś PQ=P’M.
Którego z tych odcinków jeszcze nie utworzyłeś?
Narysuj go.
36
KONSTRUKCJA STYCZNEJ DO OKRĘGU - III
Niech jednym z poszukiwanych punktów styczności będzie punkt B
Zauważ, że jeśli trójkąt OPB ma przy wierzchołku B kąt prosty,
to po przekształceniu go w symetrii osiowej względem prostej BP
otrzymasz trójkąt BPR również prostokątny.
Oba trójkąty dają w sumie jeden trójkąt równoramienny BPR.
Czy potrafimy go skonstruować?
37
Konstrukcja stycznej do okręgu (III)
Zauważmy, że trójkąt OPR jest równoramienny,
więc punkt R leży na okręgu o(P,OP).
Ponadto OB = BR, wobec tego punkt R należy również do okręgu
o środku O i promieniu OP. Tworząc więc oba te okręgi znajdziemy
punkt R.A jak znaleźć punkt B? To już chyba jest proste.
Opisz tę konstrukcję:
38
KONSTRUKCJA STEINERA STYCZNEJ DO OKRĘGU - IV
Narysuj dowolny okrąg o(O,r) oraz dowolny punkt P leżący poza nim.
Na okręgu zaznacz dwa różne punkty A i B. Poprowadź proste AP
i BP Sieczna AP przecina okrąg w jeszcze jednym punkcie – oznacz
go jako K. Podobnie literą L oznacz drugi punkt wspólny siecznej BP
z okręgiem.
Utwórz odcinki AL i BK. Czy te odcinki zawsze przecinają się?
Znajdź ich punkt wspólny
i oznacz go literą M.
Czy punkt M może leżeć na
okręgu? Jeżeli tak, to kiedy?
Zmieniaj położenie punktów
A i B na okręgu i obserwuj, jaki
ślad pozostawia punkt M?
39
Konstrukcja stycznej do okręgu (IV)
Poprowadź prostą OP. Jakie jest jej położenie względem śladu punktu
M otrzymanego podczas zmiany położenia punktu A lub B na okręgu?
Poprowadź prostą prostopadłą do prostej OP przechodzącą przez
punkt M.
Niech S1 i S2 będą punktami przecięcia się tej prostej z okręgiem o(O,r).
Czy położenie punktów S1 i S2 zmienia się podczas poruszania punktem A lub B?
Czy zmiana położenia punktu P ma wpływ na położenie punktów S1 i S2?
Czym są punkty S1 i S2?
40
Konstrukcja stycznej do okręgu (IV)
Utwórz proste AB i KL.
Czy przecinają się one ze sobą?
Czy zawsze?
Znajdź punkt przecięcia tych prostych i oznacz go jako W.
Poruszaj punktami A i B po okręgu i obserwuj, jaki ślad pozostawia punkt
W.
Porównaj ślad punktu W ze śladem punktu M.
Co dostrzegasz?
41
Konstrukcja stycznej do okręgu (IV)
Czy potrafisz wyznaczyć krzywą, po której poruszają się punkty
M i W w trakcie zmiany położenia punktów A lub B?
Skonstruuj ją.
W jakich punktach krzywa ta przecina okrąg?
Czy są to istotne dla Ciebie punkty?
Sformułuj odkryte twierdzenie i spróbuj je wykorzystać do
konstrukcji stycznej do okręgu z punktu leżącego poza nim.
Powtórz opisaną konstrukcję zastępując okrąg elipsą.
Jacob Steiner (1796-1863) – matematyk szwajcarski był pierwszym,
który wykazał, że każdą konstrukcję można wykonać za pomocą
jedynie linijki nie używając cyrkla.
Konstrukcja stycznej do okręgu jest przykładem
takiej konstrukcji.
Można sprawdzić, że odnosi się ona również do
elipsy.
42
Jeżeli przez punkt P leżący na zewnątrz okręgu poprowadzimy
dwie sieczne przecinające go w czterech punktach, to przekątne
czworokąta o wierzchołkach będących tymi punktami
przecinają się w punkcie, który w trakcie poruszania jedną
z siecznych wykreśli prostą, przecinającą okrąg w punktach
będących punktami styczności prostych stycznych
poprowadzonych z punktu P.
Tę samą prostą wykreślają również te przedłużenia boków
czworokąta, do których nie należy punkt P.
Punkt P nazywamy biegunem, a prostą - biegunową punktu P dla
danego okręgu.
43
LEKCJA 3
STYCZNE I SIECZNE
44
STYCZNE DO DWÓCH OKRĘGÓW
Dane są dwa okręgi o(A,a)
i o(B,b). Przyjmijmy, że a>b
Jak skonstruować wspólną
styczną do tych okręgów?
Ile jest takich stycznych?
Przeprowadź analizę tej
poszukiwanej konstrukcji.
W tym celu naszkicuj na kartce
dwa okręgi i styczną wspólną do
nich.
Niech punkt P będzie punktem
styczności okręgu o dłuższym
promieniu zaś Q o krótszym.
45
Konstrukcja stycznej do dwóch okręgów
Zauważ, że gdy wykreślisz okrąg o środku w punkcie A i promieniu a-b,
wówczas styczna KB do tego okręgu wystawiona z punktu B będzie
równoległa do poszukiwanej stycznej.
To daje pomysł na konstrukcje stycznej do dwóch okręgów.
46
Konstrukcja stycznej do dwóch okręgów
Oto animacja ilustrująca krok po kroku konstrukcję stycznej do dwóch
okręgów.
47
Konstrukcja stycznej do dwóch okręgów
Jeśli konstrukcja w postaci animacji jest dla Ciebie niezrozumiała,
obejrzyj film opisujący tę konstrukcję.
48
Konstrukcja stycznej do dwóch okręgów
Zauważ, że styczna, którą obejrzałeś na filmie nie jest jedyną
styczną do tych dwóch okręgów. Jest to tzw. styczna zewnętrzna.
Istnieją jeszcze trzy styczne. Jedna z nich, również „zewnętrzna”, ale
Istnieją jeszcze dwie „wewnętrzne”.
Spróbuj samodzielnie skonstruować te dwie styczne wewnętrzne.
Niech wskazówką będzie fakt, że w przypadku stycznej zewnętrznej
do dwóch okręgów w poprzedniej konstrukcji na filmie tworzyłeś
okrąg, którego promień był różnicą dwóch promieni.
Może teraz wymyślisz coś podobnego?
49
Konstrukcja stycznej do dwóch okręgów
Gdyby jednak nie przyszedł Ci żaden pomysł do głowy, spojrzyj na
poniższą konstrukcję. Wykonaj ją samodzielnie w swoim zeszycie.
50
LEKCJA 4
POLA CZĘŚCI KÓŁ
51
POLE FIGURY SERCOWEJ
Niech C będzie jednym z końców średnicy prostopadłej do średnicy AB
okręgu o(S,r).
Na podstawie znanego Ci twierdzenia wiesz, że trójkąt ABC jest
prostokątny.
Narysuj okręgi, których średnicami są przyprostokątne trójkąta ABC.
Niech K i L będą punktami okręgów nie należącymi do trójkąta ABC.
Wykreśl łuk o promieniu AC i środku w punkcie C.
Obszar zawarty między tym łukiem a łukami AKC i BLC ma kształt
przypominający serce.
Oblicz pole tego obszaru i pole koła k(S,r), przyjmując wartość r jako daną.
Co dostrzegasz?
Czy odkryta przez Ciebie własność zmieni się, gdy punkt C nie będzie
końcem średnicy prostopadłej do AB, lecz innym punktem okręgu o(S,r)?
52
Pole figury sercowej
Opisz dokładnie konstrukcję figury
przedstawionej na rysunku obok.
Sprawdź, że pole figury „sercowej”
jest równe
……
2
Pserca
 
1 r 2 1
   r 2
 2    
2  2  4
2
 ......... r 2
53
POLE ARBELOSA
Jeśli średnice koła podzielimy punktem P na dwa odcinki i na ich bazie
jako średnicy utworzymy półkola, to figura ograniczona tymi półkolami
i półkolem o średnicy AB nosi nazwę arbelosa.
54
Pole arbelosa
Arbelos oznaczał kiedyś w Grecji nóż do wycinania skóry do butów
i z uwagi na podobny kształt tego noża, nazwano tę figurę arbelosem.
Uruchom plik GeoGebry o nazwie arbelos.ggb i poruszaj w nim
punktem P.
Otrzymasz różne rodzaje arbelosu. Okazuje się że zawsze jego pole jest
równe polu koła o promieniu PR. Koło to oczywiście zmienia swoje
rozmiary w trakcie poruszania punktem P. Twoim zadaniem będzie
uzasadnienie tego faktu.
55
KSIĘŻYCE HIPOKRATESA
56
Księżyce Hipokratesa
Przypatrz się uważnie rysunkowi z poprzedniej strony i opisz,
w jaki sposób powstała ta konstrukcja.
Oblicz pola trójkąta ABC a następnie pole dwóch księżyców
Hipokratesa.
Co zauważyłeś?
Sformułuj samodzielnie odkryte twierdzenie.
57
LUNULA I JEJ POLE
Ta niecodzienna figura powstała na bazie kwadratu i jego przekątnej.
Podobnie jak w zadaniu poprzednim opisz konstrukcje lunuli i wykonaj
Ja w swoim zeszycie. Oblicz pole połowy kwadratu oraz pole księżyca lunuli.
Co zauważyłeś?
Sformułuj odkryte twierdzenie.
58
Pole lunuli
To jeszcze jedna lunula, tym razem zbudowana na bazie kwadratu,
Opisz sposób, w jaki powstała. Pomyśl, co powinieneś obliczyć, by
dostrzec interesującą zależność.
Sformułuj odkryte twierdzenie.
59
SALINON I JEGO POLE
To już bardziej skomplikowana figura – możesz poeksperymentować
z nią. Wywołując plik GeoGebry. Samodzielnie odkryj sposób jej
konstrukcji i odpowiednie własności rachunkowe.
60
YIN - YANG
Figura zamieszczona na kolejnym slajdzie jest kołem składającym się
z kilkunastu przystających części.
Każda z nich powstała przez utworzenie odpowiednich łuków.
Figura ta nosi nazwę YIN-YANG, co w języku chińskim oznacza
Dwa przeciwstawne bieguny (np., ciepło - zimno, płeć męska - płeć
żeńska).
Korea Południowa przyjęła znak Yin Yang jako symbol Koreańskich Linii
Lotniczych.
Twoim zadaniem będzie uzasadnienie, że przy każdym podziale łukami
tego koła, pola otrzymanych części są równe.
Na kolejnym slajdzie zobaczysz animację tworzącą różne ilości
przystających segmentów koła podzielone tak, jak Yin Yang.
61
Pole Ying-Yang
62
Pole Ying-Yang
Konstrukcja YIN –YANG jest dla Ciebie przygotowana w GeoGebrze pod
taką samą nazwą.
W konstrukcji tej znajduje się suwak, którym możesz zmieniać liczbę
segmentów koła, na które zostało ono podzielone od 1 do 12.
Możesz również zmienić ten zakres.
Wejdź we własności suwaka i zmień wartość początkowa i końcową
według własnego życzenia.
63
ODKRYWANIE GEOMETRII KÓŁ
Agnieszka Rogalska