Transcript Kinematyka - WordPress.com

WYKŁAD 2
I. WYBRANE ZAGADNIENIA Z KINEMATYKI
1. Ruch jednowymiarowy.
2. Ruch jednostajnie przyspieszony.
3. Porównanie ruchu jednostajnego z ruchem jednostajnie
zmiennym.
4. Wektory.
II. RUCH KRZYWOLINIOWY
1. Kinematyka ruchu punktu materialnego po torze kołowym.
2. Omówienie rodzajów rzutów i wyprowadzenie
odpowiednich wzorów: spadek swobodny, rzut pionowy w
górę.
3. Porównanie ruchu postępowego z ruchem obrotowym;
związki.
III. OSIĄGNIĘCIA WSPÓŁCZESNEJ FIZYKI
UHONOROWANE NAGRODAMI NOBLA
Ruch jednowymiarowy
Zajmiemy się opisem ruchu rozumianym jako zmiany położenia
jednych ciał względem innych, które nazywamy układem odniesienia.
Zwróć uwagę, że to samo ciało może poruszać się względem jednego
układu odniesienia a spoczywać względem innego. Oznacza to, że ruch
jest pojęciem względnym.
Prędkość
Prędkość jest zmianą odległości w jednostce czasu.
Prędkość stała
Jeżeli ciało, które w pewnej chwili t0 znajdowało się w położeniu x0,
porusza się ze stałą prędkością v to po czasie t znajdzie się w
położeniu x danym związkiem
x-x0 = v(t  t0)
czyli
x  x0
8
v 
(1)
6
t  t0
x
4
Interpretacja graficzna: prędkość to
nachylenie prostej x(t)
2
0
2
-2
4
6
t
8
10
Prędkość chwilowa
Jeżeli obiekt przyspiesza lub zwalnia to wskazania szybkościomierza
nie zgadzają się z wyrażeniem (1) chyba, że weźmiemy bardzo małe
wartości x  x0 (x) czyli również bardzo małe t - t0 (t).
Stąd prędkość chwilowa:
x
v  lim
t  0  t
Tak definiuje się pierwszą pochodną, więc
v 
dx
(2)
dt
80
Prędkość chwilowa  przejście od
siecznej do stycznej.
Nachylenie stycznej to prędkość
chwilowa (w chwili t odpowiadającej
punktowi styczności).
60
x
40
20
0
0
2
4
t
6
Wykresy zależności:
a) drogi,
b) prędkości,
c) przyspieszenia
od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym
Przyspieszenie
Przyspieszenie to tempo zmian prędkości.
Przyspieszenie jednostajne i chwilowe
Prędkość zmienia się jednostajnie z czasem czyli przyspieszenie jest
stałe:
a
v v0
t
(3)
Gdy przyspieszenie zmienia się z czasem musimy wtedy ograniczyć się
do pomiaru zmian prędkości v w bardzo krótkim czasie t
(analogicznie do prędkości chwilowej). Odpowiada to pierwszej
pochodnej v względem t.
a 
dv
(4)
dt
Ruch jednostajnie zmienny
Często chcemy znać zarówno położenie ciała jak i
jego prędkość. Ze wzoru (3) mamy v = v0 + at.
Natomiast do policzenia położenia skorzystamy ze
wzoru: x = x0 + vśrt
Ponieważ w ruchu jednostajnie przyspieszonym
prędkość rośnie jednostajnie od v0 do v więc
prędkość średnia wynosi:
vśr = (v0 + v)/2
Łącząc otrzymujemy:
x = x0 + (1/2) (v0 + v)t
gdzie za v możemy podstawić v0 + at. Wtedy
x = x0 + (1/2) [v0 + (v0 +at)] t
więc ostatecznie
x  x0  v 0t 
at
2
2
(5)
Wykresy: a) drogi, b) prędkości, c) przyspieszenia w funkcji
czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym (górne rysunki
a>0) i jednostajnie opóźnionym (dolne rysunki a<0)
Ruch na płaszczyźnie
Ruch w dwóch wymiarach będziemy opisywać w układzie
współrzędnych x i y. Np. y - wysokość, x - odległość w kierunku
poziomym. Taki ruch można traktować jak dwa niezależne ruchy
jednowymiarowe.
Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie.
Położenie punktu w chwili t przedstawia wektor r; prędkość wektor v;
przyspieszenie wektor a. Wektory r, v, a są wzajemnie zależne od
siebie i dadzą się przedstawić (za pomocą wersorów i, j, k czyli
wektorów jednostkowych) w postaci:
r  ix  jy
v 
a
dr
i
dx
j
dt
dt
dv
d vx
dt
i
dt
d y
dt
j
 iv x  jv y
d vy
dt
 ia x  ja y
RUCHY PROSTOLINIOWE
Porównanie ruchu jednostajnego z ruchem jednostajnie zmiennym
Ruch jednostajnie zmienny
Ruch jednostajny
Przyspieszenie
Def.:
a=const.; a≠0
a>0 ruch przysp.
a<0 ruch opóźn.
a
vk  v0
t

dv
dt
a=0
2

d s
dt
2
Prędkość chwilowa
v  v 0  at
v
ds
dt
Prędkość jest liniową funkcją czasu
Def.:
v=v0=const.≠0
RUCHY PROSTOLINIOWE
Porównanie ruchu jednostajnego z ruchem jednostajnie zmiennym
- ciąg dalszy
Ruch jednostajnie zmienny
Ruch jednostajny
Prędkość średnia
v śr 
v1t1  v 2 t 2  ...  v n t n
v śr  v
t1  t 2  ...  t n
Droga
s  v0t 
at
2
2
Droga jest kwadratową funkcją czasu
s  vt
Równanie ruchu
Skalary i wektory
Wektor jest wielkością matematyczną, która ma zarówno
wartość bezwzględną jak i kierunek.
Dodawanie wektorów
– metoda geometryczna (reguła wieloboku)
Skalary i wektory
Dodawanie wektorów
– metoda analityczna
składowe: ax = a cos; ay = a sin
długość:
a 
ax  ay
wektor:
a  ia x  ja y
2
y
ay
a
2
analogicznie: b  i b x  j b y
j

i
ax
x
c  ic x  jc y
c=a+b
dodawanie wektorów:
cx = ax + bx
cy = ay + by
Każda składowa sumy dwóch wektorów jest równa sumie
odpowiednich składowych tych dwóch wektorów.
Skalary i wektory
Mnożenie wektorów
- skalarne: iloczyn dwóch wektorów jest skalarem
(liczbą)
a  b  ab cos   a x b x  a y b y
gdzie  jest kątem pomiędzy wektorami a,
b.
- wektorowe:
c  ab
długość wektora c:
c = ab sin
gdzie  jest kątem pomiędzy wektorami a, b
Skalary i wektory
Mnożenie wektorów
- wektorowe:
c  ab
długość wektora c: c = ab sin
gdzie  jest kątem pomiędzy wektorami a, b
Kierunek wektora c jest prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez wektory a i b, tzn. prostopadły do tych wektorów.
Zwrot wektora c wyznacza reguła śruby prawoskrętnej
k ie ru n e k k c iu k a
k ie ru n e k p a lc ó w
Skalary i wektory
Wektorami są np.: przemieszczenie, prędkość,
przyspieszenie, siła, pęd, moment pędu, pole
elektryczne, pole magnetyczne, gęstość prądu.
Wielkości skalarne np.: odległość, pole, objętość,
gęstość, energia, czas, temperatura, ładunek
elektryczny, moc, masa, praca, potencjał pola
elektrostatycznego lub grawitacyjnego.
Między wektorami a wielkościami skalarnymi jest
wyraźna różnica: wielkości skalarne są w pełni
scharakteryzowane przez swoją wartość.
Kinematyka ruchu punktu materialnego
po torze kołowym
Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem ruchu
krzywoliniowego płaskiego. Obierzmy układ współrzędnych tak, by początek układu znajdował się w środku koła
o promieniu r.
Położenie punktu P na okręgu
można jednoznacznie określić za
pomocą kąta φ. Kąt φ nosi nazwę
drogi kątowej i wyraża się w
radianach.
Drogę liniową s przebytą przez
ciało po łuku można wyrazić za
pomocą drogi kątowej φ
następująco:
s  r
Kinematyka ruchu punktu materialnego
po torze kołowym
s  r
Ruch po okręgu
Różniczkując względem czasu obie
strony równania, otrzymujemy:
ds
dt
ale:
ds
dt
więc:
v  r
v

d
r
dt
d

dt
prędkość kątowa
prędkość liniowa
Jednostką prędkości kątowej jest rad s-1
Jeśli prędkość kątowa w ruchu po okręgu jest stała, to taki
ruch nazywamy ruchem jednostajnym po okręgu.
Kinematyka ruchu punktu materialnego
po torze kołowym
Ruch po okręgu
Mimo, że v jest stałe, to wektor v
nie jest stały, ponieważ ciągle
zmienia kierunek (rys. a).
Zmianą wektora v jest wektor Δv,
który nie równa się zeru, a zatem
przyspieszenie wektorowe, dv/dt,
musi być różne od zera (rys. b).
To przyspieszenie związane ze zmianą kierunku prędkości,
nazywa się przyspieszeniem dośrodkowym an.
an 
v
2
r
ale:
v
2  r więc, po podstawieniu:
T
4 r
2
an 
T
2
Przyspieszenie dośrodkowe jest zawsze skierowane do
środka okręgu (ogólniej – do środka toru ruchu).
Kinematyka ruchu punktu materialnego
po torze kołowym
Ruch po okręgu
Znane jest również pojęcie siła odśrodkowa i
przyspieszenie odśrodkowe. Taka siła lub
przyspieszenie występują tylko wtedy, gdy
obserwator znajduje się w obracającym się
układzie
odniesienia
(obserwator
podlega
przyspieszeniu).
Ograniczając nasze rozważania do inercjalnych
układów odniesienia (obserwator jest w
spoczynku lub porusza się ze stałą prędkością
po linii prostej) nie będziemy nigdy mieć do
czynienia z przyspieszeniem odśrodkowym.
Kinematyka ruchu punktu materialnego
po torze kołowym
Ruch po okręgu
W ruchu po okręgu wektor przyspieszenia a jest
sumą dwóch wektorów:
2
-wektora przyspieszenia
v
dośrodkowego (normalnego): a n    2 r
r
-wektora przyspieszenia
stycznego (równoległego):
at 


v  r
Kinematyka ruchu punktu materialnego
po torze kołowym
Ruch jednostajny po okręgu
W ruchu jednostajnym po okręgu mamy:
  const ,
 0
więc
at  0
W tym przypadku występuje tylko przyspieszenie
normalne. Jego występowanie wiąże się z tym, że
podczas tego ruchu zmienia się kierunek
prędkości, chociaż jej wartość bezwzględna
pozostaje stała.
W ruchu niejednostajnym po okręgu zmienia sie
zarówno wartość, jaki kierunek prędkości.
Kinematyka ruchu punktu materialnego
po torze kołowym
Ruch jednostajny po okręgu
Okres ruchu
Czas T potrzebny na przebycie drogi kątowej φ =
2π nazywamy okresem. Dla ω = const i φ = 0,
gdy t = 0 otrzymujemy:
  t
stąd dla φ = 2π i t = T mamy:
T 
2

Częstotliwość
Częstotliwością f ruchu po okręgu nazywamy
liczbę obiegów punktu po okręgu na jednostkę
czasu, zatem:
f 
1
T
Jednostką jest s-1, zwana
hercem (Hz).
Ruch prostoliniowy i obrotowy
Ruch prostoliniowy
Ruch obrotowy
Droga liniowa
s
Droga kątowa

Prędkość
liniowa
v = ds/dt
Prędkość
kątowa
  d/dt
Przyspieszeni
e liniowe
a = dv/dt =
d2s/dt2
Przyspieszeni
e kątowe
 = d/dt =
d2/dt2
Masa [kg]
m
Moment
bezwładności
[kg m2]
I
1. pktu:
2. ciała:
Moment pędu
(kręt) [kg
m2/s]
L
1. pktu: k = rmv =
=  mr2
2. ciała: L =Σk=
= Σi = I
Pęd [kg m/s]
p=mv
i =mr2
I =Σi =
= Σmr2
Ruch prostoliniowy i obrotowy
Ruch prostoliniowy
Ruch obrotowy
Siła [N]
F
Moment siły
M = ± rF
Zasada
zachowania pędu
ΣFzewn=0 =>
p=const.
Zasada
zachowania
momentu pędu
ΣMzewn=0 =>
L=const.
II zasada
dynamiki
F = ma
F = dp/dt
II zasada
dynamiki
M = I
M  dL/dt
Praca [J]
W=Fs
Praca [J]
W=M
Energia
kinetyczna [J]
Ek = = ½mv2
Energia
kinetyczna [J]
Ek = ½I2