Transcript Mechanika w2

Kinematyka punktu materialnego
Punkt materialny – ciało obdarzone masą, ale nie posiadające
objętości. Ruch postępowy każdego rzeczywistego obiektu
można opisać jako ruch punktu materialnego.
Przemieszczenia liniowe wszystkich elementów samochodu są
jednakowe
Przemieszczenie liniowe elementów pręta zależy od odległości od
osi obrotu
B
A
Położenie punktu materialnego określa wektor położenia

r (t )
Jest to promień wodzący poprowadzony z początku układu
współrzędnych do tego punktu.
Wektor przemieszczenia
y
  
r  r2  r1
1

r1
Wektor przemieszczenia

r
2

r2
podzielony przez czas, w którym
to przemieszczenie nastąpiło jest
prędkością średnią punktu
materialnego
x
 


r2  r1 r
vśr 

t2  t1 t
Punkt 2 wybieramy blisko punktu 1

r

r1 
r2
Prędkość punktu materialnego
w danej chwili (t0) jest
Wartość prędkości chwilowej


dr
v (t )  v 
dt
jest zawsze liczbą dodatnią.
Wektor prędkości jest zawsze
styczny do toru poruszającego się
punktu.
prędkością chwilową



r d r
v (t )  lim

t  0 t
dt
v
v
Przyspieszenie określa zmianę
y
wektora prędkości w czasie.

v

v2
Przyspieszenie średnie


v

a śr 
t

v1
Jeśli t  0, przyspieszenie
x
chwilowe


v dv

a (t )  lim

t 0 t
dt
Tor ruchu – krzywa, która jest zbiorem punktów
 

r1, r2 ,...,rn ,...
określających położenie punktu materialnego w dowolnej chwili
y
r1
0
r2
r3
x
s(tP , tK )  s jaką przebyło ciało od chwili początkowej tp
do chwili końcowej tk jest równa długości łuku toru zakreślonego
Droga
przez ciało w zadanym przedziale czasu.
Jeżeli położenie ciała w chwilach t , t  dt było określone przez


r
(
t
),
r
(t  dt) to elementarne przesunięcie
wektory położenia
ciała
 


dr  r (t  dt)  r (t )  v (t )dt
Ciało przebyło w czasie dt drogę
 
ds  dr  v dt  vdt
.
Chwilowa wartość prędkości
ds
v
dt
Sumując wszystkie odcinki dróg ds , które przebywa punkt
materialny poruszając się w przestrzeni od punktu P do punktu K
otrzymamy całkowitą drogę
K
K
tK
tK
P
P
tP
tP

s   ds   dr 

v
 dt   vdt
Droga nigdy nie może być ujemna.
t2
t2
t1
t1
s   vdt  v  dt  vt 2  t1 
s
t1
t2
t
t2
t2
t2
1


s   vdt   v0  at dt  v0t  at 2  
2

 t1
t1
t1

v1
1 2 2
v0 t 2  t1   a t 2  t1
2
vo

s
t1
t2
t
1
t2  t1  v2  v1   t2  t1  v2  v1 
2
2
v  at1  v0  at2
1
 t 2  t1  0
 v0 t2  t1   at2  t1 t2  t1  
2
2
1 2 2
 v0 t2  t1   a t2  t1
2
P  v1 t2  t1  


t2
s   vdt
t1
t1
t2
t
Droga jest równa polu zawartemu pomiędzy osią czasu a krzywą
przedstawiającą zależność
v(t )
Ruch po okręgu - przyspieszenie styczne i
normalne
y


v2

v1
∆θ
0
 
 r , 

θ
– wektory jednostkowe
 1

 2


∆θ


r
x
 
v    v
v = const

v1

v 
v2
2
1
 r
r2 1
Jeśli punkt 2 wybierzemy blisko punktu 1 wektor
skierowany do środka okręgu.

v
będzie
Wektor prędkości w układzie biegunowym


 
v    v
- wektor jednostkowy. Jeżeli

v  const
to obydwie wielkości występujące w powyższym wzorze zmieniają się
w czasie Przyspieszenie punktu materialnego


 dv  dv
d 
a
 
v
dt
dt
dt


∆θ

 1
Wektor


   2   1

 2

w przypadku granicznym, t  0
jest skierowany do środka okręgu.
Oznacza to, że w dowolnym punkcie

 ma kierunek   r a wartość
  



 d
 v
d 

  r lim
  r
  r
t 0 t
dt
dt
r


 dv  dv
d 
a
 
v
dt
dt
dt
 v
r
r
  dv  v 2
a  
r
dt
r
dv
a 
dt
v2
an 
r
Wartość przyspieszenia
stycznego do toru
a
an a
Wartość przyspieszenia
normalnego
a  a  a
2
2
n
Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe
Punkt materialny porusza się po okręgu o promieniu r. W czasie t

wektor jednostkowy  r opisuje mały kąt  

Iloczyn wektorowy wektorów jednostkowych
r2

0

 
 r1   r 2   r1  r 2 sin( )



 r1   r 2  

 r1
Dla małych kątów spełniony jest warunek
sin( )  
 []
0
 [rad]
0
0,0349 0,0873 0,1745 0,2618
sin 
0
0,0349 0,0872 0,1736 0,2588
2
5
10
15
Małą zmianę kąta możemy zapisać w postaci wektora prostopadłego do


 r1 i  r 2

 d
  lim

t 0 t
dt
Prędkość kątowa





v
  
v r

r
Przyspieszenie kątowe


 d
  lim

,
t 0 t
dt

  
a   r