PLAN WYKŁADÓW

1. Podstawy kinematyki 2. Ruch postępowy i obrotowy bryły 3. Podstawy dynamiki punktu materialnego 4. Ruch harmoniczny 5. Praca, moc, sprawność, zasady zachowania 6. Dynamika układu punktów materialnych 7. Masowe momenty bezwładności 8. Pojęcia podstawowe, rozciąganie proste 9. Zginanie proste 10.Naprężenia złożone 11. Ścinanie i skręcanie 12. Obliczenia zbiorników cienkościennych 13. Hipotezy wytężeniowe 14. Pełzanie, relaksacja, zmęczenie materiału

LITERATURA 1.

SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1985.

2. ZAWADZKI JERZY, SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Ogólna, PWN 1970, Warszawa 1985 .

3. MISIAK JAN, Mechanika Ogólna, WNT, Warszawa 1998 .

4. HUBER M. T. Mechanika Ogólna i Techniczna. PAN Warszawa 1956.

5. ŻUCHOWSKI R., Wytrzymałość materiałów, Oficyna Wydawnicza PWr., Wrocław 1998.

Wykład 1

Podstawy kinematyki

WPROWADZENIE



KINEMATYKA – (kineo z greckiego poruszam) jest to dział mechaniki opisujący ruch punktu lub bryły, bez uwzględniania masy i przyczyn wywołujących zmianę ruchu (geometria ruchu).



RUCH – określamy jako zmianę położenia ciała materialnego względem układu odniesienia (tj.

względem innego ciała lub zbioru ciał uważanych za pozostające w spoczynku) w jednostce czasu.

WPROWADZENIE

 

W związku z tym że ciała rzeczywiste zastępujemy pojęciem punkt materialny lub ciało doskonale sztywne, kinematykę możemy podzielić na:

Kinematykę punktu materialnego Kinematykę ciała sztywnego.

Tor punktu

Jest to linia ciągła l utworzona przez kolejne położenia poruszającego się punktu.

Tor punktu może być linią prostą lub dowolną krzywą.

y

Tor krzywoliniowy

l l

x Rys. 1

Podział ruchu



Ruch prostoliniowy jednostajny



Ruch prostoliniowy zmienny



Ruch krzywoliniowy jednostajny



Ruch krzywoliniowy zmienny

OPIS PORUSZAJĄCEGO SIĘ PUNKTU

Położenie poruszającego się punktu P w przyjętym układzie współrzędnych można określić przez

x, y, z

.

Ponieważ współrzędne te są funkcjami zmiennej

t

(czasu), to otrzymujemy:

Kinematyczne równania ruchu punktu x = f 1 (t), y = f 2 (t), z = f 3 (t).

Rys. 2

Równania ruchu w postaci wektorowej

r



r (t)

Jeżeli początek promienia r pokrywa się z początkiem układu współrzędnych to składowe wektora są równe współrzędnym punktu P Rys. 3 r x = x(t), r y = y(t), r z = z(t) Po uwzględnieniu powyższej zależności promień wektora r możemy zapisać w postaci sumy geometrycznej:

Prędkość punktu materialnego

Rozpatrzmy ruch punktu P w przedziale czasu którym punkt przebył drogę  s = P 1 P 2 .

 t = t 2 - t 1 , w Przyrost wektora promienia wynosi  r zatem”

Rys. 4

Prędkość średnia

 v 

Prędkość średnia punktu jest ilorazem przyrostu wektora



r do czasu



t w którym ten przyrost nastąpił.

Prędkość chwilowa

 v 

Prędkość chwilową określa granica przy



t dążącym do zera

Przyrost



r ma składowe



x,



y,



z stąd

Prędkość chwilowa

Wektor prędkości można zapisać w postaci:



x

 

i



y

 

j



z

 

k

którego moduł wynosi: v



2

 

y 2



z



2

Przyspieszenie punktu materialnego W czasie



t = t 2 - t 1 , wektor prędkości zmienia się z v 1 na v 2 .

Przyrost wektora prędkości wynosi



v, zatem Przyspieszenie średnie punktu Przyspieszenie średnie punktu wyraża się jako iloraz przyrostu prędkości



v przez przyrost czasu



t.

Przyspieszenie chwilowe punktu

a

 Wiedząc, że przyrost prędkości  v ma składowe  v x ,  v y ,  v z, stąd składowe wektora przyśpieszenia mają postać

Przyspieszenie chwilowe punktu Wektor przyśpieszenia można zapisać w postaci : a jego moduł

Ruch prostoliniowy jednostajny Ruchem prostoliniowym jednostajnym

jest ruch punktu po torze prostoliniowym, który odbywa się w taki sposób, że w jednakowych przedziałach czasu t punkt przebywa takie same odcinki drogi.

Równania ruchu prostoliniowego jednostajnego D roga s jest liniową funkcją czasu, zatem czyli Stąd po scałkowaniu otrzymujemy

Wykres ruchu prostoliniowego jednostajnego Rys. 6 czyli

Ruch prostoliniowy zmienny Jest to ruch punktu po torze prostoliniowym, który odbywa się w taki sposób, że w jednakowych przedziałach czasu t punkt przebywa różne odcinki drogi.

Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny Jeżeli prędkość jest liniową funkcją czasu, to ruch punktu jest jednostajnie zmienny.

Równania zmiennego ruchu

Przyśpieszenie

prostoliniowego jednostajnie

Prędkość Droga

a > 0 ruch jednostajnie przyspieszony a < 0 ruch jednostajnie opóźniony

Ruch krzywoliniowy jednostajny

Jest ruch punktu po torze krzywoliniowym l, w którym wektor prędkości w każdej chwili jest styczny do toru, a jego wartość nie zmienia się z czasem (zmienia się tylko jego kierunek).

Ruch krzywoliniowy zmienny

Jest to ruch punktu po torze krzywoliniowym, w którym wektor prędkości ruchomego punktu zmienia wartość i kierunek.

W ruchu krzywoliniowym zmiennym wektor przyspieszenia punktu tworzy z wektorem prędkości tego punktu pewien kąt  (ostry lub rozwarty).

Przyśpieszenie normalne Z rysunku wynika, że wartość przyspieszenia składowego a n prostopadłego do prędkości ma postać: Składowa ta nosi nazwę przyspieszenia normalnego, a związana jest ze zmianą kierunku wektora prędkości.

Przyśpieszenie styczne

Składowa przyspieszenia w kierunku wektora prędkości nazywana jest przyspieszeniem stycznym i związana jest ze zmianą wartości wektora prędkości.

Wartość a t jest określona w postaci:

Wektor przyśpieszenia

jest sumą przyspieszenia normalnego i stycznego a wartość tego wektora obliczamy z zależności

Na podstawie tych wiadomości można ustalić z jakim ruchem punktu materialnego mamy do czynienia: a n



0, a t



0 Przyspieszenie całkowite jest nachylone pod pewnym kątem (ostrym lub rozwartym) do prędkości. Rozważany ruch jest ruchem krzywoliniowym zmiennym, zmienia się wartość i kierunek prędkości. a n =0, a t



0 Całkowite przyspieszenie jest styczne do toru. Prędkość w takim ruchu może zmienić swoją wartość ale jej kierunek pozostaje bez zmian. Jest to ruch prostoliniowy zmienny.

a n



0, a t =0 Całkowite przyspieszenie ma kierunek prostopadły do toru. Prędkość w tym ruchu może zmieniać jedynie swój kierunek, a wartość pozostaje stała. Rozważany ruch będzie ruchem jednostajnym krzywoliniowym.

a n =0, a t =0 Całkowite przyspieszenie jest równe zeru. Wektor prędkości w takim ruchu nie może zmienić ani swojego kierunku ani wartości. Jest to więc ruch jednostajnie prostoliniowy.

Ruch jednostajny po okręgu

W ruchu jednostajnym punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okręgu o promieniu r, przebywając w równych odstępach czasu t równe odcinki drogi (łuki P 1 P 2 , P 2 P 3 , P 3 P 4 ,). a n P 1 P 1 v r  r P P 2 2 v P 3 v P 3 v P 4 P 4 Prędkość średnia punktu wyraża się jako Jednak w tym przypadku droga jest łukiem, więc jak wiadomo z geometrii

czyli Rys. 13

Prędkość kątowa Stosunek kąta



wyrażonego w radianach do czasu t, w którym ten kąt został zatoczony, nazywamy prędkością kątową.

Tak więc wartość prędkości liniowej otrzymamy z wyrażenia

Prędkość obrotowa

Prędkością obrotową punktu po okręgu nazywamy liczbę pełnych obiegów w ciągu jednej minuty Pomiędzy prędkością kątową [rad/s] i prędkością obrotową [obr/min] zachodzi zależność

Przyśpieszenie

Przyśpieszenie kątowe (składowa styczna a t oznaczana przez

e

) określa zmianę wektora prędkości kątowej.

W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu składowa styczna przyśpieszenia kątowego jest równa zeru.

Występuje tylko składowa normalna, której wartość określona jest wzorem:

Przykład 1.

Tarcza o średnicy d=2r=20cm zaczyna obracać się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem kątowym e =5 rad/s 2 . Obliczyć przyspieszenie styczne i normalne punktów leżących na obwodzie tarczy w dziesiątej sekundzie ruchu.

a n a a t w r v

Rozwiązanie: Dane:

e

=5 rad/s 2 ; r=0,1m Obliczyć : a t i a n po 10 sek. ruchu

Prędkość kątowa po 10 s ruchu wynosi: Przyśpieszenie normalne i styczne

Przykład 2. Ruch punktu po płaszczyźnie określony jest równaniami: x=40t, y=5t 2 . Obliczyć wartości przyspieszenia stycznego i normalnego w chwili t=3s.

Rozwiązanie:

Składowe prędkości: Składowe przyśpieszenia Moduł wektora prędkości wynosi:

dla t=3s

Moduł wektora przyśpieszenia:

Pierwsza pochodna prędkości określa przyspieszenie styczne dla t=3s Przyspieszenie normalne obliczamy z zależności dla t=3s