Transcript odp

Mechanika, Ciepło
Wykład 8
Paweł Staszel
1
Ruch w układzie nieinercjalnym
Poznaliśmy już prawa ruchu i wiemy, jak opisywać ruch punktu w inercjalnym
układzie odniesienia.
Zasady dynamiki obowiązują w każdym inercjalnym układzie odniesienia – nie
ma wyróżnionego układu inercjalnego. Wybór konkretnego układu jest zwykle
kwestią wygody – chcemy, aby rachunki były możliwie najprostsze.
Obecnie zajmiemy się opisem ruchu w układach nieinercjalnych. Układ
nieinercjalny porusza się względem dowolnego układu inercjalnego z
przyspieszeniem różnym od zera. W rozważaniach uwzględnimy zarówno ruch
postępowy (osie układu nie zmieniają kierunku) jak i ruch obrotowy (osie
układu mogą się obracać zmieniając swój kierunek). Oczywiście, oba rodzaje
ruchu mogą występować jednocześnie.
Problem ma duże znaczenie praktyczne. Wiemy, że Ziemia nie jest układem
inercjalnym i dokładniejszy opis pewnych zjawisk wymaga uwzględnienia tego
faktu (np. zjawiska meteorologiczne).
Naszym głównym celem jest sformułowanie zasad dynamiki w dowolnym
nieinercjalnym układzie odniesienia.
2
Ruch postępowy (transwersalny)
Rozważamy dwa układy
odniesienia: inercjalny układ
odniesienia U z układem
współrzędnych x,y,z, o początku
w punkcie O oraz nieinercjalny
układ odniesienia U' z układem
współrzędnych x',y',z', o
początku w punkcie O'.
Chcemy opisać ruch punktu P
w obu tych układach.
P
O'
Z rysunku widzimy, że wektory
i
są związane następującym
równaniem:
O
(1)
Oczywiście wektor
, tzn. zmienia się w czasie co odzwierciedla względny
ruch środków układów. Ze względu na ogólność nie specyfikujemy zależności
żądamy jednak, aby była to funkcja różniczkowalna.
,
3
Ruch obrotowy (rotacyjny)
Notacja:
4
Biorąc pod uwagę kąty między
,
i
możemy napisać:
Jeżeli ostatnie równanie podzielimy
przez dt (skalar) to ostatecznie
otrzymamy:
Ostatnie równanie jest bardzo ważne –
definiuje one prędkość kątową jako
wektor. Wartość tej prędkości jest równa
dα/dt zaś kierunek i zwrot są takie jak
kierunek i zwrot infinitezymalnego
wektora obrotu
5
Łącząc ruch translacyjny z ruchem obrotowym możemy zapisać infinitezymalną
zmianę wektora położenia punktu P w układzie U w następujący sposób:
(2)
zmiana położenia
P w układzie U'
zmiana położenia P na
skutek translacyjnego
ruchu U' względem U
zmiana położenia P na
skutek ruchu obrotowego
układu U' względem U
Teraz już łatwo możemy otrzymać wzór na transformację prędkości, wystarczy
równanie (2) obustronnie podzielić przez dt :
(3)
prędkość P w
układzie
inercjalnym U
prędkość P w
układzie U'
wkład do prędkość P
na skutek względnego
ruchu translacyjnego U
i U'
wkład do prędkość P
na skutek względnego
ruchu obrotowego U'
6
Jesteśmy już gotowi, aby policzyć transformację dla przyspieszenia. W pierwszym
kroku należy pokazać (tak jak zrobiliśmy to dla prędkości), że ze względu na rotacje
mamy:
(4)
Ćwiczenia:
1. Udowodnić relację (4).
Spróbujmy to zrobić dla przypadku ogólnego tzn. uwzględniając ruch translacyjny i
rotacyjny układu U'. Wtedy transformacja prędkości dana jest równaniem (3).
Korzystamy z reguły liczenia pochodnej sumy, pochodnej iloczynu i z (4):
Otrzymaliśmy już, że
Więc ostatecznie mamy:
7
Mamy więc wzór na transformacje przyspieszenia i teraz możemy
przyglądnąć się jego poszczególnym składnikom.
przyspieszenie P
w układzie
nieinercjalnym U'
przyspieszenie
Coriolisa
przyspieszenie na
skutek zmiany
prędkości kątowej
(5)
przyspieszenie P
w układzie
inercjalnym U
przyspieszenie na
skutek ruchu
translacyjnego układu
U' względem U
przyspieszenie
dośrodkowe (w kierunku
osi obrotu)
8
Przyjrzyjmy się poszczególnym wyrażeniom:
Można się o tym przekonać rozkładając wektor r' na część prostopadłą i część
równoległą do wektora prędkości kątowej:
0
0
Gdy kierunek
zakreślanego przez
jest stały to
czyli
jest styczne do okręgu
na skutek obrotu układu U'.
Siła Coriolisa – znika gdy ciało spoczywa w układzie U', tzn:
lub gdy ciało porusza się wzdłuż kierunku prędkości kątowej:
9
Znając wzór na transformację przyspieszenia, możemy podać prawo ruchu w
układzie nieinercjalnym. Pomnóżmy (5) obustronnie przez masę cząstki:
ale w układzie inercjalnym mamy:
Dlatego równanie ruchu w układzie nieinercjalnym otrzymuje następującą postać:
„realna” siła
”pseudo-siła”, siła pozorna,
siła bezwładności
10
Dla ruchu windy z przyspieszeniem
skierowanym w górę mamy:
Jest to przypadek, gdy winda
przyspiesza jadąc w górę lub hamuje,
jadąc w dół. W obu sytuacjach siła
bezwładności -matr działa zgodnie z siłą
grawitacji i powiększa nacisk na
podłogę windy. Aby w układzie
związanym z windą skrzynia była w
spoczynku konieczna jest większa
wartość siły reakcji podłoża.
11
Wróćmy do klocka na obracającej się tarczy.
Klocek może teraz poruszać się
względem tarczy.
Siła odśrodkowa jest taka sama jak
poprzednio:
Ze względu na to, że klocek porusza się
w obracającym się układzie odniesienia,
pojawia się dodatkowa. Już wcześniej
wspominaliśmy że osi ona nazwę: siła
Coriolisa
12
Siła Coriolisa wpływa na kierunki wiatrów stałych na obu półkulach
W szczególności, masy powietrza
znad równika po oddaniu wilgoci
przemieszczają się w kierunku
biegunów. Ulegając działaniu siły
Coriolisa odchylają się na półkuli
północnej na wschód, a na półkuli
południowej na zachód.
13
14
Gdzie jeszcze można zaobserwować na Ziemi działanie siły Coriolisa?
Tory pocisków – strzelając na duże odległości należy brać odpowiednią
poprawkę, np. pocisk wystrzelony na naszej szerokości geograficznej (~50
stopni), lecąc z prędkością 1800 m/s w kierunku połydnikowym, po 20 sekundach
lotu zboczy o 40 m od celu.
●Podmywanie prawych brzegów rzek na półkuli północnej.
●Szybsze ścieranie się prawych szyn kolejowych na półkuli północnej
● I inne, ale najbardziej znane jest
●
Wahadło Foucaulta
„wahadło posiadające możliwość wahań w
dowolnej płaszczyźnie pionowej, Powolna
zmiana płaszczyzny ruchu wahadła
względem Ziemi dowodzi jej obrotu
wokół własnej osi. Nazwa wahadła
upamiętnia jego wynalazcę, Jeana
Bernarda Leona Foucaulta, który
zademonstrował je publicznie w 1851
roku w paryskim Obserwatorium
Astronomicznym, a potem w Panteonie w
Paryżu.”
15
Wahadło Foucaulta w Panteonie (źródło: Wikipedia)
Analiza Wahadła Foucaulta poza biegunem jest nieco bardziej złożona. My postaramy
się określić prędkość obrotu płaszczyzny wahadła rozważając prędkość liniową punków
pierścienia pod wahadłem.
Jak widać punkt pierścienia położony
najdalej na północ porusza się z
prędkością
a punkt położony najdalej na południe
z prędkością
Różnica między każdą z tych prędkości
o prędkością środka pierścienia wynosi:
Jeżeli wahadło jest puszczone w ruch w
płaszczyźnie południkowej przez pchnięcie w
środku pierścienia, to składowa prędkości
wschodnio-zachodnia będzie taka sama jak
prędkość środka pierścienia.
Zakładając, że v jest stałe otrzymamy okres pełnego obrotu płaszczyzny wahań dookoła
pierścienia:
16
Zasady zachowania
Na tym wykładzie zastanowimy się nad własnościami kilku ważnych wielkości.
Pęd
Otrzymujemy pierwszą zasadę zachowania:
Stała może być tylko jedna ze składowych wektora pędu:
Przykłady: rzut w jednorodnym polu grawitacyjnym, wahadło matematyczne
(składowa radialna jest stale równa zero)
17
Moment pędu
{
→ moment siły
Definicje momentu pędu i momentu siły zależą od wyboru początku
układu współrzędnych!
Kolejna zasada zachowania:
Tak jak dla pędu, równanie ma charakter wektorowy i zachowana może być
tylko jedna ze składowych momentu pędu.
18
Praca
Na początek najprostszy przypadek:
stała siła działa na punkt materialny,
który zmienia swe położenie,
przesuwając się po linii prostej:
→ praca jest iloczynem skalarnym siły i wektora
przemieszczenia
Praca jest skalarem!
Praca może być równa zero, chociaż działa siła!
W ogólnym przypadku tor ciała nie musi być prostoliniowy, a siła może
zmieniać się od punktu do punktu. Co wtedy?
Wtedy mamy całkę:
Jednostką pracy w układzie SI jest dżul (J)
19
Moc
Często interesuje nas szybkość wykonywania pracy. Jest to bardzo ważna
wielkość określająca szybkość dostarczania energii, niekoniecznie tylko
mechanicznej.
Moc jest skalarem. Jednostka mocy w układzie Si jest wat (W):
20
Co powoduje praca?
Odpowiedź: praca
powoduje zmianę
energii kinetycznej!
21
Kiedy praca nie zależy od drogi?
Rozważmy dwa kontury (drogi) całkowania jak na rysunku Γ1 i Γ2.
Suma konturów daje kontur zamknięty.
idziemy w
drugą stronę
kontur
zamknięty
22
Jeśli praca znika dla dowolnego konturu zamkniętego, to siłę F
nazywamy zachowawczą. Dla takich siła praca nie zależy od drogi.
Przykład (siła sprężysta)
Praca wykonana
przez sprężynę
23
Jak można scharakteryzować siłę zachowawczą? Wykorzystamy w tym
celu jedną z wersji twierdzenia Stokesa:
kontur
zamknięty
powierzchnia
rozpięta na
konturze
rotacja
Rotacja siły zachowawczej wynosi zero!! Co to jest rotacja?
operator nabla
Zapis rotacji we
współrzędnych
kartezjańskich
24
Rozpiszmy rotację na składowe:
Przykład: siła sprężystości:
→ siła sprężystości jest siłą zachowawczą
25
Wyrażenie
często nazywamy polem wektorowym. Widzimy, że dla pola
wektorowego, każdemu punktowi przestrzeni możemy jednoznacznie
przyporządkować wektor. W naszym przykładzie jest to wektor oznaczający
działającą w tym punkcie siłę. Jest wiele różnych pól wektorowych, np. pole
prędkości wody w nurcie rzeki.
Zerowanie się rotacji danego pola wektorowego w całej przestrzeni oznacza,
że to pole możemy przedstawić jako gradient pewnego pola skalarnego.
Analogicznie do pola wektorowego, pole skalarne określamy jako obszar
przestrzeni, w którym każdemu punktowi możemy przypisać wartość skalarną.
Co to jest gradient? Załóżmy, że mamy dane pole skalarne
wtedy, jego gradient definiujemy w następujący sposób:
Widzimy, ze gradient działa na pole skalarne, i przekształca je na pole
wektorowe. Ponieważ rotacja jest określona na polu wektorowym, dlatego
rotacja z gradientu jest dobrze zdefiniowana operacją. Policzmy więc rotacje z
gradientu pola skalarnego V :
26
Widzimy, że rzeczywiście rotacja z gradientu zawsze znika stąd wcześniej
wypowiedziane twierdzenie, że jeżeli rotacja z pola wektorowego znika to istnieje
pole skalarne którego jest ono gradientem.
Przyjmijmy, że nasze pole wektorowe jest polem siły i policzmy jeszcze raz pracę:
Minus, który pojawił się przed gradientem wynika z przyjętej przez nas konwencji –
przy tym wyborze pole V możemy nazywać polem energii potencjalnej, które z
dokładnością do stałej jest polem potencjału lub po prostu potencjałem.
Wyrażenie pod całką to po prostu różniczka zupełna (z definicji) funkcji skalarnej
V, czyli mamy:
27
Widzimy, że praca wykonywana przez siłę pochodzącą od pola nie zależy od drogi i
jest równa zmianie energii potencjalnej cząstki ze znakiem „-” .
Napiszmy jeszcze raz jawnie to, co już powiedzieliśmy: w klasycznej teorii pola,
pole siły definiujemy jako „minus” gradient ze skalarnego pola energii potencjalnej:
Jeżeli mamy zadane pole siły to pole energii potencjalnej nie jest jednoznacznie
określone. Możemy do wyrażenia na pole energii potencjalnej zawsze dodać
dowolna stałą, a gradient (operacja różniczkowania) się nie zmieni.
W praktyce postępujemy tak, że każdemu punktowy w przestrzeni przypisujemy
wartość energii potencjalnej
28
Widzimy, że praca wykonywana przez siłę pochodzącą od pola nie zależy od drogi i
jest równa zmianie energii potencjalnej cząstki ze znakiem „-” .
Napiszmy jeszcze raz jawnie to, co już powiedzieliśmy: w klasycznej teorii pola,
pole siły definiujemy jako „minus” gradient ze skalarnego pola energii potencjalnej:
Jeżeli mamy zadane pole siły to pole energii potencjalnej nie jest jednoznacznie
określone. Możemy do wyrażenia na pole energii potencjalnej zawsze dodać
dowolna stałą, a gradient (operacja różniczkowania) się nie zmieni.
W praktyce postępujemy tak, że każdemu punktowy w przestrzeni przypisujemy
wartość energii potencjalnej
gdzie
jest dowolna stałą dobieraną najczęściej na podstawie
przyjętej konwencji.
29
Przykłady:
1. Siła wynikająca z newtonowskiego prawa powszechnego ciążenia. Nieruchoma
masa M znajdująca się w początku układu współrzędnych działa na masę m:
2. Siła wynikająca z jednorodnego ziemskiego pola grawitacyjnego przy
powierzchni Ziemi:
3. Siła, jaką działa na masę m nieważka sprężyna o zaniedbywalnej długości, której
drugi koniec zaczepiono w początku układu współrzędnych (przestrzenny oscylator
harmoniczny):
Ćwiczenia:
1. Policzyć gradient funkcji skalarnych
30
V(r) z przykładów 1. do 3.
Energia mechaniczna
Zbierzmy to co wiemy o pracy W12
Jest to kolejna zasada zachowania, tzw. zasada zachowania energii mechanicznej.
W skrócie mówi się o zasadzie zachowania energii.
Zasada ta dotyczy tylko sił zachowawczych, tzn. rotacja z pola sił musi znikać.
Zasada zachowania nie daje informacji o czasie, w którym ciało przemieszcza się z
położenia r1 do położenia r2.
31
Przykład:
Na jaką wysokość doleci kamień wyrzucony z powierzchni Ziemi pionowo w górę z
prędkością początkową v, jeśli zaniedbamy opory ruchu?
32
Nie wszystkie siły są zachowawcze – tarcie poślizgowe jest najlepszym
przykładem. W przypadku występowania tarcia praca zależy od drogi, np.
przesuwamy skrzynie po poziomej podłodze (patrz rysunek). Jest oczywiste, że
praca wykonana na drodze Γ2 będzie znacznie przewyższać pracę wykonana na
drodze Γ2.
33