Wykład02

download report

Transcript Wykład02

MECHANIKA
I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
Wykład Nr 2
RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY
CIAŁA SZTYWNEGO
WSTĘP
z
Ciało sztywne zbiór
punktów
których wzajemne
odległości są stałe.
C(xC,yC,zC)
rC-rB
B(xB,yB,zB)
rC-rA
rC
0
rB
rB-rA
A(xA,yA,zA)
rA
y
x
Ruch ciała sztywnego w przestrzeni jest jednoznacznie
określony przez równania ruchu trzech punktów, nie leżących
na jednej prostej. Aby punkty A,B,C nie leżały na jednej prostej
msi być spełniony warunek:
WSTĘP
Ruch ciała sztywnego może być określony
wektorowymi równaniami trzech punktów A, B, C.
Równania ruchu trzech punktów nie mogą być dobrane dowolnie,
gdyż zgodnie z definicją odległości punktów ciała są niezmienne,
co można zapisać w postaci trzech równań
W postaci skalarnej otrzymujemy trzy równania
zwane równaniami więzów
Wynika stąd, że aby określić położenie ciała w przestrzeni
wystarczy określić sześć niezależnych współrzędnych mówimy że ciało w przestrzeni ma sześć stopni swobody.
Gdy na ciało sztywne nałożymy pewne ograniczenia w ruchu tego ciała
zmniejszamy jego liczbę stopni swobody. Przykładowo ciało o
unieruchomionym 1 punkcie, ma 3 stopnie swobody.
Gdy unieruchomimy 2 punkty A i B, - ciało sztywne ma
tylko jeden stopień swobody (obrót).
Ruch postępowy ciała sztywnego
Najprostszym przypadkiem ruchu ciała sztywnego jest ruch, w którym
wszystkie jego punkty doznają tych samych przesunięć.
Ruch taki nazywamy ruchem postępowym. Ciało w ruchu postępowym ma
trzy stopnie swobody.
Położenie
punktów
poruszającego
się
A,B,C
ruchem
postępowym ciała możemy
określić za pomocą promieni
wektorów
w chwili początkowej to.
Rys. 4
Następnie położenie ciała odpowiada chwili
t = to+t czyli po upływie czasu t, a położenie
punktów oznaczamy przez A’,B’,C’.
Równania ruchu rozpatrywanych punktów mają postać:

u (t) jest przesunięciem jednakowym dla wszystkich punktów ciała.
Różniczkując powyższe równania ruchu względem
czasu otrzymamy wektory prędkości punktów A,B,C
Stąd wynika, że wektory prędkości wszystkich punktów ciała
sztywnego, poruszającego się ruchem postępowym są w danej chwili
jednakowe.
a
v
Pole przyśpieszeń ma postać:
a
v
a
v
Ruch obrotowy bryły dookoła osi stałej
Bryła może obracać się jedynie dookoła osi (przechodzącej
przez dwa punkty), zwanej osią obrotu.
Chwilowe położenia punktu C a więc i
obracającej się bryły określone jest
kątem  zawartym między kolejnymi
położeniami punktu C. Kąt ten
nazywamy kątem obrotu. Punkty leżące
na osi obrotu są w spoczynku. Pozostałe
punkty poruszają się po okręgach o
promieniach r równych odległością tych
punktów od osi obrotu.
Równanie ruchu ma postać
Pierwsza pochodna kąta obrotu  względem czasu określa moduł
wektora prędkości kątowej
Kierunek tego wektora pokrywa się z osią obrotu a zwrot wynika z
reguły śruby prawoskrętnej.
Drugą pochodną kąta obrotu, czyli pierwszą pochodna prędkości
kątowej, nazywamy przyspieszeniem kątowym.
Przyspieszenie kątowe jest wektorem związanym z osią obrotu o
module
Kierunek tego wektora pokrywa się z osią obrotu, a zwrot jest
zgodny ze zwrotem wektora prędkości kątowej gdy obrót jest
przyspieszony, przeciwny gdy obrót jest opóźniony.
Tor punktów w ruchu obrotowym bryły
Tor
każdego
punktu
ciała
sztywnego
poruszającego się ruchem obrotowym jest
okręgiem leżącym w płaszczyźnie prostopadłej
do osi obrotu, o środku leżącym na tej osi, i
promieniu o długości równej odległości punktu
od osi obrotu. Przebyta droga każdego punktu
bryły wynosi:
s=r(t)
Prędkość liniowa w ruchu obrotowym bryły
Prędkość liniowa jest wektorem stycznym do okręgu,
zwróconym w stronę obrotu, o module równym :
Wektor prędkości liniowej dowolnego
punktu bryły w ruchu obrotowym jest
równy iloczynowi wektorowemu prędkości
kątowej przez promień wektor łączący
dowolny punkt na osi z poruszającym się
punktem bryły.
Przyspieszenie w ruchu obrotowym bryły
Przyspieszenie styczne i przyspieszenie normalne dowolnego
punktu ciała sztywnego leżącego w odległości r od osi obrotu
otrzymujemy różniczkując względem czasu wzór na prędkość
liniową otrzymując:
Rys. 8
W zapisie wektorowym prędkość kątową
określa wektor, którego moduł równa się
prędkości
kątowej,
a
kierunek
jest
określony wersorem e leżącym na osi
obrotu, o zwrocie zgodnym z regułą
śruby prawoskrętnej
Rys. 9
Wektor przyspieszenia kątowego zapiszemy jako
pochodną wektora prędkości kątowej względem czasu:
Wektor prędkości liniowej

v
jest prostopadły zarówno do


wektora ω , jak i promienia wektora R (t)
Wektor przyspieszenia liniowego otrzymujemy, różniczkując
wektor prędkości liniowej względem czasu
Pierwszy człon prawej strony równania przyspieszenia liniowego
 
  R jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny utworzonej przez


wektory  i R , jest więc wektorem stycznym do toru.
Moduł tego wektora wynosi
Drugi człon prawej strony równania przyspieszenia

 
liniowego ω  ω  R 
jest wektorem prostopadłym do osi obrotu oraz do kierunku

stycznego do toru oznaczonego wersorem  , jest więc wektorem

działającym w kierunku promienia r opisanego wersorem n .
Zadanie
Koło napędowe o promieniu r1 =1m przekładni ciernej wprawia w
ruch koło o promieniu r2 =0,25m. Przy założeniu, że rozruch koła
napędowego odbywa się ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem
kątowym 1=0,25pt rad/s2 obliczyć, po jakim czasie t prędkość
obrotowa koła napędzanego będzie równa n2=480 obr/min. (Rys. 10)
Rys. 10
Rozwiązanie
Prędkości liniowe punktów leżących na obwodach obydwu kół
wynoszą:
Prędkości liniowe punktów styczności obu kół muszą być sobie
równe
Po podstawieniu
stąd
Prędkość kątowa koła napędowego wynosi
Ponieważ przyspieszenie kątowe 1 =0,2pt, możemy zapisać
stąd
Po scałkowaniu tego równania, przy założeniu, że dla t0 = 0,
czyli
Stąd wyznaczamy czas