Transcript Wykład13

MECHANIKA 2
Wykład Nr 13
Dynamika ruchu płaskiego
ciała sztywnego
Ruch postępowy ciała sztywnego
Ciało sztywne porusza się ruchem postępowym,



wywołanym działaniem sił zewnętrznych: F , F2 ,..., F .
1
Ruch postępowy - wszystkie
punkty ciała przemieszczają się
z prędkościami o jednakowych:
kierunkach, zwrotach i
wartościach.
n
Dynamiczne równanie ruchu postępowego
ciała sztywnego
Na podstawie twierdzenia o ruchu środka masy, dynamiczne
równanie ruchu można zapisać w postaci:
(1)
gdzie: m – masa ciała sztywnego

a C – przyśpieszenie środka masy
W prostokątnym układzie współrzędnych
(2)
Twierdzenie o pochodnej krętu
Pochodna względem czasu krętu ciała względem jego środka masy
równa jest sumie geometrycznej momentów wszystkich sił
zewnętrznych względem tego środka.
(3)


K. c  0
Kręt ciała sztywnego względem środka masy jest równy zeru
Z równania (3) wynika, że gdy ciało porusza się ruchem postępowym to
suma geometryczna momentów sił zewnętrznych względem środka
masy ciała musi być równa zeru.
(4)
Wniosek: siły zewnętrzne muszą tworzyć układ, który ma

wypadkową W o linii działania przechodzącej przez środek masy C.
Ruch płaski ciała sztywnego
Przyjmijmy iż przedstawiony na rysunku przekrój ciała otrzymano w
wyniku przecięcia płaszczyzny równoległej do płaszczyzny kierującej i
przechodzącej przez środek masy C.
Ruch płaski ciała sztywnego
Położenie rozpatrywanego ciała sztywnego możemy określić za pomocą
współrzędnych xc, yc środka masy C w układzie nieruchomym Oxyz i
kąta obrotu α tego ciała względem układu ruchomego C x’y’z’, którego
początek C jest umieszczony w środku masy.
Ruch postępowy określa ruch punktu C na płaszczyźnie xy, a ruch
obrotowy odbywa się wokół osi centralnej Cz’, przechodzącej przez
środek masy.
Ciało sztywne porusza się ruchem płaskim, jeżeli
obraca się wokół osi nie zmieniającej kierunku i
porusza się ruchem postępowym po płaszczyźnie
prostopadłej do osi obrotu.
Ruch swobodnego ciała sztywnego jest płaski, jeżeli chwilowe
osie obrotu nie zmieniają kierunku (pozostają stale równoległe
do głównej centralnej osi bezwładności tego ciała).
Dynamiczne równania ruchu płaskiego ciała sztywnego
Aby otrzymać dynamiczne równ. r. płaskiego c. sztywnego zastosujemy:

dynamiczne równania ruchu postępowego (2)

zasadę krętu w ruchu obrotowym
I z  M
z
Dynamiczne równania ruchu płaskiego ciała sztywnego mają
postać:
Równanie ruchu postępowego w kierunku x
Równanie ruchu postępowego w kierunku y
Zasada zachowania krętu ruchu obrotowego
(5)
Dynamiczne równania ruchu płaskiego ciała sztywnego
xc , yc − składowe przyspieszenia środka masy C
Iz
− moment bezwładności rozpatrywanego ciała względem osi z

− przyspieszenie kątowe ciała względem osi obrotu (z)
Otrzymane trzy dynamiczne równania ruchu (5)
odpowiadają liczbie stopni swobody ciała
sztywnego poruszającego się ruchem płaskim.
Przypadek a) – toczenie z poślizgiem
Przykład 1. Krążkowi o masie
m i promieniu r nadano
początkową prędkość kątową
ωo, a następnie postawiono go
na płaszczyźnie poziomej.
Obliczyć drogę s, po przebyciu
której krążek zatrzyma się, czas
t oraz funkcje: υ = f1(t), ω =
f2(t), mając także dane: μ −
współczynnik
tarcia
ślizgowego, f – współczynnik
tarcia tocznego.
Przypadek a) – toczenie z poślizgiem
Równanie ruchu środka masy krążka w ruchu postępowym na
kierunkach x i y
Równanie ruchu obrotowego wokół środka
masy (5)
W przypadku tarcia z poślizgiem
Przypadek a) – toczenie z poślizgiem
Po przekształceniu otrzymujemy:
Prędkość liniowa środka masy C:
Równanie drogi środka masy:
 0 , x  0 , x  0
Po wykorzystaniu warunków początkowych t iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
stałe całkowania C1 = C2 = 0
Przypadek a) – toczenie z poślizgiem
Stąd
Prędkość kątowa krążka:
Równanie kąta obrotu krążka:
Po wykorzystaniu warunków początkowych t  0 ,   0 ,    o
stałe całkowania wynoszą:
C3 = ωo , C4 = 0
Przypadek a) – toczenie z poślizgiem
Stąd
  0 , stąd czas t1 wynosi:
W chwili zatrzymania się krążka iiiiiii
Na tej podstawie wyznaczymy drogę s jaką przebędzie krążek do
chwili zatrzymania się po czasie t1:
Przypadek b) – toczenie bez poślizgu
Przypadek b) – toczenie bez poślizgu
Równania ruchu środka masy krążka w ruchu postępowym:
Równanie ruchu obrotowego krążka wokół środka masy
Zależność pomiędzy przyspieszeniem liniowym x i kątowym 
zatem
Przypadek b) – toczenie bez poślizgu
Po podstawieniu:
W rozpatrywanym przypadku toczenia krążka bez poślizgu wartość siły
tarcia tocznego T2 musi być mniejsza od wartości siły tarcia ślizgowego T1 .
gdzie:
Zatem
stąd
Przypadek b) – toczenie bez poślizgu
Po dwukrotnym całkowaniu względem czasu otrzymamy:
 0 , x  0 , x   o r
Po wykorzystaniu warunków początkowych t iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
wyznaczamy stałe całkowania C1 = ωor ; C2 = 0
Stąd:
Prędkość kątowa krążka:
Równanie kąta obrotu krążka ma postać:
Przypadek b) – toczenie bez poślizgu
Po wykorzystaniu warunków początkowych t iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
0 ,   0 ,    o stałe
całkowania C3 = ωo, C4 = 0.
Stąd:
  0 stąd czas t2, po
W chwili zatrzymania się krążka prędkość kątowa iiiiiii,
którym krążek się zatrzyma, wynosi:
Droga s jaką przebędzie krążek do chwili zatrzymania się po czasie t2 wynosi:
Przykład 2
Jednorodny pręt o długości l i masie m zawieszono na
pionowych nitkach w punktach A i B. Znaleźć przebieg siły w
funkcji czasu w nitce zaczepionej w punkcie A po zerwaniu nitki
w punkcie B.
a) nitka doskonale wiotka i doskonale nieodkształcalna
b) nitka doskonale wiotka i doskonale sprężysta o
współczynniku sztywności k
A
B
Dynamiczne równania ruchu pręta
Przypadek I – nitka doskonale wiotka i doskonale nieodkształcalna
Dynamiczne równania ruchu płaskiego pręta mają postać:
Po rozwiązaniu powyższych równań otrzymamy stałą wartość siły
w nitce
Rysunek pręta
Przypadek II – nitka doskonale wiotka i doskonale sprężysta o
współczynniku sztywności k
Dynamiczne równania ruchu pręta
Dynamiczne równania ruchu mają postać:
Po przekształceniu:
Stąd:
Rozwiązanie otrzymanego równania różniczkowego jest wyrażone
funkcją:
gdzie:
Równania ruchu pręta
Stałe całkowanie wyznaczamy z warunków początkowych:
t  0 , x  x o  mg 2 k , x  0
Po podstawieniu:
Stąd
Równanie ruchu pręta możemy ostatecznie zapisać:
Wyrażenie na siłę w nitce ma postać:
Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy dla
ciała sztywnego
Suma prac sił wewnętrznych ciała sztywnego na dowolnym
przesunięciu jest równa zeru, gdyż odległości między punktami
tego ciała nie ulegają zmianie.
Stąd zasada równoważności energii kinetycznej i pracy dla ciała
sztywnego przyjmuje postać:
(6)
Przyrost energii kinetycznej ciała sztywnego na pewnym
przesunięciu jest równy sumie prac sił zewnętrznych
(czynnych i reakcji) na tym przesunięciu.
Przykład 3: Walec o masie m i promieniu r jest owinięty linką.
Obliczyć prędkość v i siłę S po opadnięciu o wysokość h.
V=0
S
x
h

-S
r
ma
v
Na podstawie zasady energii kinetycznej i pracy
Zatem
Siłę w linie
wyznaczymy z
dynamicznych
równań ruchu:
Po rozwiązaniu:
Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy dla
ciała sztywnego
Przykład. Ciężar P wciągany jest do góry za pomocą przekładni zębatej. Stały
moment zewnętrzny M przyłożony jest do koła o promieniu r1. Przy danych M,
r1, m1, r2, m2, r3, m3, P obliczyć przyspieszenie kątowe koła o promieniu r1,
przyspieszenie liniowe ciężaru P oraz moment bezwładności układu
zredukowany do osi O1.
Dane: M, r1, r2, r3,
m1, m2, m3, P
Obliczyć:
1, a, Izred
Rozwiązanie: Na podstawie zasady równoważności energii kinetycznej i pracy
możemy napisać
W chwili początkowej prędkość liniowa ciężaru P i prędkości kątowe kół są równe
zeru. Zatem początkowa energia kinetyczna jest równa zeru (E1=0). Prędkość końcowa
jest równa υ, a prędkości kątowe kół ω1, ω2. Energia kinetyczna końcowa:
Pracę wykonują jedynie siła P i moment M
Zależność między prędkością liniową υ, a prędkościami kątowymi ω1, ω2 oraz
drogą s i kątem obrotu φ1:
Po uwzględnieniu tych zależności we wzorach na końcową energię kinetyczną E2,
pracę W i podstawieniu do równania przedstawiającego zasadę równoważności energii
kinetycznej i pracy otrzymamy:
Po zróżniczkowaniu obu stron tego równania względem czasu otrzymamy:
Stąd
Przyspieszenie liniowe ciężaru P
Moment bezwładności układu zredukowany do osi O1 wynosi
Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy dla
ciała sztywnego
Przykład. Mechanizm obiegowy
porusza się pod działaniem sił
ciężkości. Dane są masy krążków
m1, m2, oraz promienie krążków
r1, r2. W chwili początkowej
mechanizm
pozostawał
w
spoczynku, a oś korby pokrywała
się z kierunkiem pionowym.
Obliczyć
prędkość
kątową,
przyspieszenie
kątowe
koła
poruszającego
się
ruchem
płaskim w funkcji kąta φ.
Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy dla
ciała sztywnego
Rozwiązanie: Energia kinetyczna układu w położeniu początkowym
jest równa zeru E1=0
Energia kinetyczna mechanizmu w położeniu końcowym wynosi:
Praca sił ciężkości na odpowiednich przesunięciach
Zależności między prędkościami kątowymi i liniowymi są następujące:
   3 r1  r2 ;    1 r1 ;  1 2 r1   2 r2
Po uwzględnieniu tych zależności w równaniu określającym zasadę
równoważności energii kinetycznej i pracy otrzymamy:
Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy dla
ciała sztywnego
Wartość prędkości kątowej ω1
Po zróżniczkowaniu względem czasu obu stron równania otrzymamy
wartość przyspieszenia kątowego ε1
Ponieważ
to