Transcript bronk

Równanie różniczkowe zupełne i
równania do niego
sprowadzalne
Bronk Przemysław
Definicja:
Niech dane funkcję M i N będą funkcjami klasy C 1
W pewnym płaskim obszarze jednospójnym D. Równanie
różniczkowe pierwszego rzędu postaci:
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 (1)
1
nazywamy równanie różniczkowym zupełnym, gdy
istnieje taka różniczkowalna funkcja u=u(x,y) klasy C 2
że:
u
u
 N ( x, y ) ( x, y)  D
 M ( x, y )
y
x
Wiadomo, że taka funkcja istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy
zachodzi warunek :
M
N

y
x
( x, y)  D
(2)
Gdy warunek (2)jest spełniony to równanie (1) można zapisać
w postaci:
du( x, y)  0
a stąd wynik, że u( x, y)  C jest rozwiązanie ogólnym równania
(1).
Załóżmy że równanie (1) nie jest rownaniem zupełnym.
W pewnych przypadkach możemy wyznaczyć taka
funkcję µ klasy C1 w obszarze D, że równanie:
 ( x, y)M ( x, y)dx   ( x, y) N ( x, y)dy  0
będzie równaniem zupełnym. Funkcje µ nazywamy
czynnikiem całkującym równania (1). Funkcja µ jest
czynnikiem całkującym wtedy i tylko wtedy gdy w
obszarze D jest spełniony warunek:
( M )  ( N )

y
x
Co prowadzi do następującego związku:

M

N
M

N

y
y
x
x
co dalej po uporządkowaniu:
 N M 



M
N
  

y
x
 x y 
(3)
Funkcja µ jest czynnikiem całkującym równania (1), gdy
spełniona jest równość (3).Dodamy tutaj założenie, że
funkcja µ jest funkcją tylko jednej zmiennej tzn. zmiennej x
lub y , gdyż w przeciwnym przypadku rozwiązanie jest
trudne do wyznaczenia.
(A) Załóżmy że µ=µ(x). To oznacza, że  y  0 i równanie
(3) przyjmuje postać:
1 
1  M N 





 x
N  y
x 

(4)
Jeżeli wyrażenie po prawej stronie równania (4) jest
funkcją tylko jednej zmiennej x, to czynnik całkujący
ma postać:
A ( x ) dx

 ( x)  e
, gdzie
A( x) 
1  M N 

.

N  y
x 
(B) Załóżmy że µ=µ(y). To oznacza, że  x  0 i równanie
(3) przyjmuje postać:
1 
1

 y
M
 M N 

 y  x 



(5)
Jeżeli wyrażenie po prawej stronie równania (5) jest
funkcją tylko jednej zmiennej y, to czynnik całkujący
ma postać:
B ( y ) dy

 ( y)  e
, gdzie
B( y )  
1
M
 M N 

.

x 
 y
Można też szukać czynnika całkującego w postaci
 ( x, y)  x p y q , gdzie stałe p i q należy wyznaczyć. W
tym przypadku nie będę wypisywać ogólnego wzoru,
tylko pokaże praktycznie, jak postępować, aby taki
czynnik całkujący wyznaczyć. Może się okazać, że
równanie różniczkowe może mieć wiele czynników
całkujących.
Przykład 1: Wyznaczyć całkę ogólną równania różniczkowego
( y cos x  x )dx  ( y  sin x)dy  0
2
Sprawdzam warunek (2)
N
M
 cos x
 cos x
x
y
M N

y
x
w całej płaszczyźnie, wiec jest to równanie zupełne. Ponadto
wiemy, że
u
 y cos x  x 2 ,
x
u
 y  sin x
y
Całkując drugie równanie względem y, otrzymujemy:
y2
u
 y sin x   ( x)
2
Aby wyznaczyć funkcję  , obliczamy ux i
porównujemy ją z funkcją M, więc
u
 y cos x   '  y cos x  x 2
x
czyli:
x3
2
 ' ( x)   x i stąd  ( x)    C1.
3
zatem rozwiązanie ogólne określa wyrażenie:
y2
x3
 y sin x   C
2
3
Przykład 2: Wyznaczyć całkę ogólną równania różniczkowego
( y 2 x  y 3 )dx  (1  y 2 x)dy  0
Łatwo sprawdzić, że nie jest to równanie zupełne, gdyż
M y  2 yx  3y 2 , N x   y 2 a więc M y  N x
Szukamy czynnika całkującego. Zauważmy, że wyrażenie
M y  Nx
N

2 y( x  y)
1 y2 x
nie jest funkcją tylko zmiennej x, więc nie istnieje czynnik
całkujący µ=µ(x). Ponieważ wyrażenie:

M y  Nx
M

2 y ( y  x)
2


 B( y )
y 2 ( x  y)
y
jest funkcją tylko zmiennej y więc czynnik całkujący istnieje i
 2
ma postać:
   dy
 ( y)  e

y

1
y2
Mnożymy obie strony równania wyjściowego przez czynnik
całkujący, wiec: ( x  y)dx  ( y 2  x)dy  0
Otrzymane równanie jest równaniem zupełnym, zatem:
u y  x  y więc u  1 x 2  xy   ( y)
2
Stąd
2
u y   x   ' ( y)  y 2  x, czyli  ' ( y)  y
całkując  ' ( y) względem y, mamy  ( y)   y 1  C1
a więc całka ogólna jest opisana wzorem:
1 2
1
x  yx   C
2
y
Przykład 3: Wyznaczyć całkę ogólną równania różniczkowego
ydx  x( x 2 y 1)dy  0
Łatwo sprawdzić, że nie istnieją czynniki całkujące zależne
tylko od jednej zmiennej x lub y. Szukamy czynnika
p q
całkującego w postaci  ( x, y)  x y . Mnożąc równanie
przez funkcję  , otrzymujemy
x p y q1dx  ( x p3 y q1  x p1 y q )dy  0 (6)
Przyjmujemy oznaczenie
M * ( x, y)  x p y q1 N * ( x, y)  x p3 y q1  x p1 y q
i wyznaczamy
M  (q 1) x y
*
y
p
q
N x*  ( p  3) x p2 y q1  ( p 1) x p y q
Łatwo zauważyć, że otrzymane równanie będzie równaniem
zupełnym wtedy i tylko wtedy, gdy M *y  N x* . Stąd,
p q
x
porównując współczynniki przy wyrażeniach: y i x p2 y q1
otrzymamy następujący układ równań
x p yq
q  1  ( p  1)
x p2 y q1
0  p3
Oczywiście q=1, p= -3 jest rozwiązaniem tego układu
3

(
x
,
y
)

x
y
równań, a więc
jest szukanym czynnikiem całkującym i równanie zupełne
(6) ma postać:
x 3 y 2dx  ( y 2  x 2 y)dy  0
Rozwiązując to równanie, mamy :
ux  x 3 y 2 czyli u   1 x 2 y 2   ( y ) więc
2
u y  x2 y  ' ( y)  y 2  x2 y oraz
 ' ( y)  y
2
 ( y) 
1 3
y  C1
3
Stąd wynika, że całka ogólna jest dana wzorem
1 2 2 1 3
 x y  y C
2
3
Literatura:
• Jankowska K., Jankowski T.: Zadania z matematyki
wyższej, Wydawnictwo PG: Gdańsk 1999