Transcript Uogólnione równanie Bernoulliego

UOGÓLNIONE RÓWNANIE BERNOULLIEGO
Przypomnijmy, dla
równanie Bernoulliego.
Dla dowolnie wybranego przekroju poprzecznego strugi zachodzi równanie
(1a)
lub
(1b)
Podczas przepływu
równanie (1a,b) jest nieprawdziwe ze
względu na istnienie strat energii. Energia rozporządzalna strugi w przekroju
początkowym przedstawia się równaniem
1śr
p1
e1 
 1
 z1 ,
g
2g
2
(2a)
a w przekroju końcowym
2 śr
p
e2  2   2
 z2 ,
g
2g
2
(2b)
Wskutek istnienia strat hydraulicznych
(3)
stąd po uwzględnieniu strat energii otrzymujemy równanie
(4)
Dhs jest
na drodze pomiędzy przekrojami 1-2.
Podstawiając równania (2a,b) do (4) otrzymamy
(5)
Mnożąc równanie (5) stronami przez g otrzymamy inną postać uogólnionego
równania Bernoulliego
(6)
Nazwy członów / wielkości i jednostki
Człon / Wielkość
Nazwa

współczynnik Coriolisa
Dh s
wysokość strat ciśnienia
Dp s
strata ciśnienia
Jednostka
-
Rys.1. Interpretacja graficzna uogólnionego równania Bernoulliego
Współczynnik Coriolisa
Występujące we wzorze (6) współczynniki 1 i 2, nazywane współczynnikami
Coriolisa, korygują sposób wyznaczania energii kinetycznej cieczy za pomocą
średnich prędkości przepływu
(7)
Współczynnik Coriolisa zdefiniowany jest wzorem
(8)
Energia kinetyczna obliczona za pomocą średniej prędkości przepływu wynosi
E  qm
śr
k
śr2
2
Dt   Aśr
śr2
2
Dt   A
śr3
2
Dt ,
(9)
Energia kinetyczna rzeczywista strugi elementarnej
dE   dADt
rz
k
2
2

czyli:
Ekrz  Dt  
3
2
3
2
dADt
dA,
(10)
(10a)
Podstawiając (9) i (10a) do (8) współczynnik Coriolisa wyraża się wzorem
3

 dA
1 A

A  śr3
.
(11)
Dla przepływu laminarnego osiowo-symetrycznego rozkład prędkości ma postać
2
  r 2 
Dp 2 2
Dp 2   r  

R r  
R 1      2śr 1     .

 R 
4l
4l   R  


(12)
Po podstawieniu (12) do (11) otrzymamy
3

  r 2  
3
 2 śr 1      2 rdr

dA

  R  

1 A
1 0 
16





A  śr3
 R2
 śr3
R2
R
3
  r 2 
0 1   R   rdr 


R
(13)
Dla przepływów turbulentnych
Rzeczywistą energię kinetyczną strugi można wyznaczyć jako
(13a)
Czyli w przypadku przepływu laminarnego rzeczywista energia kinetyczna strugi jest
dwa razy większa od energii wyznaczonej na podstawie prędkości średniej, natomiast
dla przepływów turbulentnych rzeczywista energia kinetyczna zbliżona do
wyznaczonej na podstawie prędkości średniej.
Rodzaje strat hydraulicznych:
1.
- straty liniowe powstające na prostych
odcinkach przewodów o stałej średnicy d i długości l.
2.
- straty miejscowe powstające na
przeszkodach lokalnych typu zawory, kolanka, nagła
zmiana pola przekroju, itp.
Liniowe straty hydrauliczne
Wysokość strat liniowych obliczamy ze wzoru Darcy-Weisbacha
(14)
lub liniowa strata ciśnienia:
(14a)
(14b)
l - współczynnik strat liniowych (bezwymiarowy).
W
ogólnym
przypadku
współczynnik
i chropowatości przewodu e = k/d
=>
l
jest
funkcją
liczby
Reynoldsa
Przepływ laminarny
Z prawa Hagena-Poiseuille’a strata ciśnienia w rurze o wymiarach l, d
32l
32v  l
Dp  2  
,
2
d
d
sl
32vl
Dh 
.
2
gd
sl
(15)
Po porównaniu wzorów Darcy-Weisbacha (14) i (15) otrzymamy
2
32
vl
l

Dhsl 
 l
2
gd
d 2g
 l
(16)
(17)
Dla przepływu laminarnego
Przepływ turbulentny
W ruchu turbulentnym l=f(Re, e).
Chropowatość bezwzględna:
a) naturalna,
b) sztuczna
Bezwzględny współczynnik chropowatości dla wybranych materiałów:
Materiał
Stan powierzchni
k, mm
Rury walcowane:
miedź, mosiądz, brąz
gładkie
0,0015÷0,100
Rury walcowane:
aluminium
gładkie
0,015÷0,06
nowe
0,02÷0,10
Rury stalowe
walcowane
nieznacznie skorodowane
z większymi osadami kamienia
Rury żeliwne
Rury betonowe
0,4
~ 3,0
nowe
0,25÷1,0
z osadami
1,0÷1,5
średnia gładkość
2,5
Współczynnik chropowatości bezwzględnej może przyjmować
wartości od k=0,005 mm dla przewodów szklanych do k=9mm
dla przewodów betonowych chropowatych.
k<dlam
d lam  
e
d
d

k>dlam
v
*

25
Re
7
8
v

8
2 2d

l
Re l
Formuła Blasiusa
Rekr<Re < 105
(18)
Formuła Schillera
l  0,054  0,396  Re0,3
Formuła Altsula
Rekr<Re < 106
(19)
Wykres Colebrooka-White’a
Formuła Colebrooka-Whita (w strefie kwadratowej zależności oporów)

k 
 2,51


3,
72
d
Re
l


2
l   2 lg 

(20)
Formuła Nikuradsego (w strefie kwadratowej zależności oporów)
1
r
 2 lg  1,74
k
l
Re > Regr
(21)
Wykres Nikuradsego
Strefy przepływu:
Liniowe straty hydrauliczne w poszczególnych zakresach liczby Re.
- w przepływie laminarnym Re < Rekr
l
Dhsl 
2
2
64
l

64

l

32 l
Dhsl 

 2 ,
Re d 2 g  d d 2 g
d g
4qv
32 l
2
128 l
sl

d
Dh 

qv ,
2
4
d g
d g
i
Straty hydrauliczne w poszczególnych zakresach liczby Re.
- w strefie kwadratowej zależności oporów Re>Regr
l
Dhsl 
2
l

Dhsl  f (k )
,
d 2g
2
 4qv 
l   d 2 
8l
sl
Dh  f (k )
 f (k ) 5 qv 2 ,
d 2g
d g
i
MIEJSCOWE STRATY HYDRAULICZNE
Wysokość miejscowych strat hydraulicznych / miejscową stratę ciśnienia obliczamy
ze wzoru:
(22a)
(22b)
w którym:
υ – średnia prędkość przepływu
, z wyjątkiem szczególnych
przypadków, wyraźnie zaznaczonych np. wlot do zbiornika;
ς – współczynnik oporu miejscowego zależny od geometrii oporu miejscowego
i liczby Reynoldsa.
Przy dużych liczbach Re, zwykle dla Re>104, współczynnik ς nie zależy od Re.
Nagłe rozszerzenie przewodu
 d  2 
Re  3500     2   1
 d1 

2

d 
10  Re  3500   f  Re, 2 
d1 

Re  10   
30
Re
gdzie:
Re 
1  d1

Wylot ze zbiornika
a) o ostrych krawędziach
  0,5 dla Re  104
b) o zaokrąglonych krawędziach
Wlot do zbiornika
Nagłe zmniejszenie średnicy przewodu
  d 2 
  0,5 1   2  
  d1  
Kolano gięte
Zasuwa
S

 D
 
S
D
0,25
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,0
ς
30
22
12
5,3
2,8
1,5
0,8
0,3
0,1
Zawór motylkowy
    


°
10
20
30
40
50
60
70
80
90
rad
1

18
1

9
1

6
2

9
5

18
1

3
7

18
1

2
0,52
1,54
3,91
10,8
32,6
118
751
∞
Kurek gazowy
    

°
10
20
30
40
50
55
67
rad
1

18
1

9
1

6
2

9
5

10
0,96
1,17
0,31
1,84
6,15
20,7
95
275
∞
Zawór grzybkowy normalny
   D
D, mm
20
40
80
100
150
200
250
300

8,0
4,9
4,0
4,1
4,4
4,7
5,1
5,4
Wzór Bordy-Carnota
Na podstawie równania ilości ruchu otrzymamy:
 qV 2 1    p1  p2  A2
skąd po przekształceniu:
 p1  p2       
2
2
1

Z równania Bernoulliego dla przekrojów 1 – 1 i 2 – 2 otrzymamy:
 p1  p2   1  2   2   g Dh s

2
2
1
Po porównaniu obu powyższych równań:
2 2  1  


1 2
2  12  gDh s
2
stąd:
Dh
s



2
2

2 2
1

2g
Wzór ten nosi nazwę wzoru Bordy-Carnota.
Z równania ciągłości A11=A22 wyznaczamy 1 i po podstawieniu

22
  1  
Dh 
2 g  A1
2g

A

   2  1
 A1

s
22  A2