Transcript Zastosowanie równania Bernoulliego

Przykładowe zastosowania równania
Bernoulliego i równania ciągłości przepływu
1. Pomiar ciśnienia
p¥, v¥
S
Oznaczając S - punkt spiętrzenia (stagnacji) strugi v=0, równanie Bernoulliego
ma postać:
(1)
Po obliczeniu ciśnienia w punkcie S
(2)
gdzie:
- ciśnienie statyczne strugi niezakłóconej,
- ciśnienie dynamiczne strugi niezakłóconej,
- ciśnienie całkowite,
zatem:
(3)
Rurka Pitota
Dz
v¥
m
Z równania Bernoulliego:
(4)
Z prawa naczyń połączonych, przy założeniu
otrzymamy
(5)
skąd
 ¥  2gDz
m
.

(6)
h
pb
z
1
1
Z równania Bernoulliego:
(7)
Po podstawieniu:
otrzymamy
pb   gz v2¥ pb   g  z  h


,
g
2g
g
(8)
a po uproszczeniu
 ¥2
2g
 h   ¥  2gh
(9)
Dz
Rurka Prandtla
A
B
pA  pB
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
Zjawisko kontrakcji strugi
1
C
2
v1
vC
C
2
1
(16)
(17)
ponieważ
(18)
Zdefiniujmy współczynnik
(19)
Jeśli AC=A2 to =1
Ciśnienie w przekroju C wynosi
(20)
(21)
(22)
(23)
Ciśnienie w przekroju C jest mniejsze niż ciśnienie w przewężeniu.
Zwężka pomiarowa – pomiar strumienia objętości
A1
Dz
A2
Równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-2
(24)
Z równania ciągłości przepływu otrzymujemy
(25)
definiując
(26)
gdzie:
m – moduł zwężki,
 
d2
- przewężenie
d1
Podstawiając równania (25-27) do (24) otrzymamy
(27)
p1
v22 2 p2
v22

m 

 g 2g
 g 2g
(28)
v22
p1  p2
2
1m 
2g
g
(29)


v2 
2g p1  p2
1  m2  g
(30)
v2 
1
2 Dp

1  4
(31)
Strumień objętości wynosi
(32)
Zależność (32) nie uwzględnia strat oraz innych czynników
wpływających na pomiar strumienia objętości. Stąd wprowadza
się współczynnik korygujący wartość mierzonego strumienia
objętości
(33)
(34)
C – współczynnik przepływu zwężki (prawie stały), zależny od
liczby Reynoldsa, rodzaju zwężki (kryza, dysza, zwężka
Venturiego), modułu zwężki, punktów pomiaru ciśnienia,
zaburzenia profilu prędkości, zjawiska kontrakcji.
- charakterystyka zwężki
dla kryz,
dla dyszy i zwężek
WYPŁYWY PRZEZ OTWÓR I PRZYSTAWKI
Wypływ ustalony przez mały otwór
pn
1
1
h
2
pb
d
v2
2
Równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-2
(35)
stąd
(36)
Dla zbiornika otwartego, gdy pn=0, otrzymujemy wzór
Torricellego w postaci:
(37)
Mały otwór – jest to otwór, którego rozmiary pionowe są
wielokrotnie mniejsze niż głębokość na jakiej się znajduje
h/d>10.
Dla małego otworu v=const w całym jego przekroju
poprzecznym.
Przystawki – ssące działanie strugi
Wypływ cieczy ze zbiornika przez przystawkę walcową
Równanie Bernoulliego dla przekroju 1-1 i 2-2 przybiera postać
(38)
a równanie ciągłości
(39)
Po podstawieniu (9) i (8) i wyznaczeniu p1 otrzymamy
4


  d2 
    1 ,
p1  pb 

2   d1 


2
2
(40)
Wypływ ustalony cieczy przez duży otwór
z
x
dz
A
y
h2
z
h1
0
a
dA
b(z)
dy
y
Duży otwór to jest otwór, którego wymiary pionowe są
porównywalne z głębokością na jakiej się znajduje h/d<10.
Prędkość wypływu cieczy przez duży otwór określa wzór Torricellego
(41)
Przez elementarną powierzchnię
(42)
wypływa ciecz o elementarnym strumieniu objętości
(43)
Strumień objętości wypływającej przez całą powierzchnię A wynosi
(44)
Rzeczywisty strumień objętości wypływającej cieczy wynosi
(45)
Dla otworu prostokątnego w pionowej ścianie
b z  b  const, sina=1, zatem
(46)
Jeśli h1  0, h2  h otrzymamy wzór dla przelewu prostokątnego
(47)
Przelewy wykorzystywane są do pomiaru strumienia objętości w przewodach
(kanałach) otwartych - przelew nazywa się wówczas mierniczym.
Przelew mierniczy musi spełniać następujące warunki:
- ostrobrzeżny (ostre krawędzie przelewu),
- odrywaniem strugi od przegrody (niezatopiony)
- przepływ musi być swobodny i odbywać się nad przegrodą całą jej szerokością,
- kształt przelewu musi być możliwie prosty.
Rys. Charakterystyka przepływu przelewu
Czas wypływu przez mały otwór
Rys. Wypływ przez mały otwór
Chwilowy strumień objętości cieczy wypływającej wynosi
(48)
Z porównania objętości cieczy wypływającej w czasie dt otrzymamy
(49)
skąd
(50)
a czas wypływu
(51)
(52)
W szczególnym przypadku dla całkowitego opróżnienia zbiornika równanie
(52) ma postać
h1  H , h2  0
(53)
Na przykład dla zbiornika w kształcie walca otrzymamy i kołowego otworu
wypływowego otrzymamy czas całkowitego opróżnienia
(54)
 D2
H
t

0

 d
4
2
4
dz 
2gz
2
D
d
2
H

2g
0
1
z
dz 
2
D
 d 2g
2
2z
1
2
H
(55)
0
ostatecznie
(56)
Czas wypływu przez mały otwór z dopływającą cieczą
qv0
Bilans objętości:
ciecz wypływająca ze zbiornika + zmniejszenie się poziomu
cieczy w zbiorniku+ciecz dopływająca do zbiornika=0
(57)
skąd
(58)
a czas wypływu
(59)
(60)
Czas wyrównania poziomu cieczy w dwóch zbiornikach
D2
D1
dz1
dz2
z
h1
d
h2
(61)
- objętość przepływającej cieczy pomiędzy
zbiornikami w czasie dt
- objętość ubywającej i przybywającej
cieczy w zbiornikach
(62)
(63)
(64)
(65)
(66)
(67)
(68)
Porównując wzory (67-68) otrzymamy
(69)
dz
dt 
2
2


 D1   d 
1  
    2gz

 D2    D1 
t
h1  h2

0
dz
2
2


 D1   d 
1  
    2gz

 D2    D1 
(70)
(71)
h1 h2
1
t
2 z
2
2
0

 D1    d 
1  
    2g

 D2    D1 
t
(72)
2 h1  h2

 D1 
1  


 D2 
2
 d 
 
  D1 
(73)
2
2g