Transcript (1) do

Wykład 5
RÓWNOWAGA
WZGLĘDNA PŁYNU
1. Równowaga względna płynu w ruchu postępowym,
prostoliniowym, jednostajnie przyśpieszonym.
z
a
x
a
q
a
a
g
Wyznaczamy powierzchnię jednakowego ciśnienia. Ogólnie równanie ma postać:
(1)
Składowa jednostkowe siły masowej wynoszą:
(2)
Po podstawieniu (1) do (2) otrzymamy:
(3)
a po scałkowaniu
(4)
Po przekształceniu otrzymamy kierunkowe równanie płaszczyzny nachylonej
do poziomu pod kątem a , oznaczonym na rys. 1.
(5)
zatem
(6)
Widać zatem, że w rozpatrywanym przypadku powierzchnie jednakowego
ciśnienia są płaszczyznami nachylonymi do poziomu pod kątem a .
z
a
x
a
Rozkład ciśnienia wyznaczamy z zależności
(7)
Która po podstawieniu wartości składowych jednostkowej siły masowej,
określonym równaniem (2) przybiera postać.
(8)
Po scałkowaniu
(9)
Stałą c wyznaczamy z warunku, że gdy x=0 i z=0, to p  pb , zatem c  pb .
Równanie (9) przybiera więc postać:
(10)
2. Równowaga względna cieczy w ruchu jednostajnie obrotowym
wokół pionowej osi.
z
w
H
h
w 2x
z0
g
q
x
x
R
r
w 2x
2
w
y
r
w2y
Składowe jednostkowe siły masowej wynoszą:
X
Y
Z
(11)
Po podstawieniu do równani (1) otrzymamy:
(12)
Po scałkowaniu
(13)
Ponieważ x2  y2  r2 , to równanie (13) przybiera postać
(14)
z
w
H
h
z0
x
Równanie swobodnej powierzchni cieczy wyznaczamy dobierając stałą c tak,
aby dla r=0 współrzędna z  z0 (wierzchołek paraboli). Stała c  gz0 .
Po podstawieniu do (14) otrzymujemy równanie swobodnej powierzchni
cieczy w postaci
(15)
lub
(15a)
z0 - współrzędna z wierzchołka paraboli
Jeśli naczynie w stanie spoczynku było wypełnione do wysokości h, to z0
wyznaczamy z porównania objętości
z
H
h
z0
x
(16)
(16a)
Dla r  R, z  H  z0 z równania (15) otrzymujemy
Po podstawieniu do (16) i uproszczeniu
(17)
skąd współrzędna
.
Po podstawieniu do równania powierzchni (15) otrzymamy
(18)
ROZKŁAD CIŚNIEŃ
Po podstawieniu (11) do (7) otrzymamy;
(19)
Po scałkowaniu
(20)
a po przekształceniu
(21)
Stałą c wyznaczamy z warunku: r  0, z  z0, p=p0 to c=p0  gz0
i po podstawieniu jej do równania (21) otrzymamy równanie na rozkład
ciśnienia w postaci:
(22)
Gdzie występuje największe ciśnienie?
3. Równowaga względna płynu w ruchu jednostajnie obrotowym
wokół poziomej osi.
a) w naczyniu całkowicie wypełnionym cieczą
z
w
w2
r
OO1M
M
r
g
2
O1
x
O
q
g
B
A
MAB
Składowe jednostkowe siły masowej wynoszą:
(23)
Po podstawieniu do równania jednakowej powierzchni ciśnienia
Xdx+Ydy+Zdz=0 otrzymamy:
(24)
Po scałkowaniu
(25)
a po przekształceniu
(26)
Jest to równanie powierzchni walcowych o osi przesuniętej w górę względem
osi obrotu o odległość OO1. Odległość tę wyznaczamy z podobieństwa
trójkątów O1OM i MAB:  OO1 / r  g / rw2 , zatem OO1  g /. w2
Po podstawieniu składowych siły masowej (23) do równania na rozkład
ciśnienia otrzymamy:
(27)
które po scałkowaniu przybiera postać
(28)
lub
(29)
Gdy w   to OO1  0 i powierzchnie ekwipotencjalne stają się walcami o
osi pokrywającej się z osią obrotu (warunek brzegowy r=0, z=0 to p=pb).
Wzór na rozkład ciśnienia przybiera postać
(30)
b) w naczyniu nie wypełnionym całkowicie cieczą
W naczyniu nie wypełnionym całkowicie cieczą równowaga względna zachodzi
dopiero przy dostatecznie dużej prędkości kątowej. Gdy
, w 
to OO1  0, a wzór na ciśnienie przybiera postać:
(31)
w
a

r
2
z
r
M
x
O=O1
pb
r0
Przykład 1: Naczynie wypełnione wodą o gęstości ρ=1000kg/m3 obraca się
jednostajnie wokół osi pionowej. Średnica naczynia wynosi D=2R=2m. Obliczyć
prędkość kątową przy której zwierciadło wody dotknie dna naczynia. Poziom cieczy
w stanie spoczynku wynosi H=10m.
z
ω
D
V’
h
H
x
Objętość paraboloidy obrotowej
1
V '   D2h
8
Z bilansu objętości wynika, że
 D2
 D2
1
H
h   D2h
4
4
8
h  2H
(32)
(33)
(34)
Równanie powierzchni ekwipotencjalnej (15a) ma postać
z
1 2 2
wr
2g
(35)
Dla punktu z=h i r=R i podstawieniu (34)
h
skąd
w
1 2 2
w R  2H
2g
4gH

2
R
4g  10
rad

19,8
s
12
(36)
(37)
Przykład 2: Naczynie cylindryczne o średnicy D i wysokości H wypełniono
całkowicie cieczą. Jaka objętość cieczy przeleje się przez obrzeże naczynia jeśli
wiruje ono z prędkością kątową ω.
z
1
V   D2h
8
ω
z(R)  H 
1 2 2
w R  z0
2g
h
V
h  H  z0 
1 2 2
wR
2g
H
z0
D
x
1
2 1
V  D
w 2 R2 
8
2g

 D 4w 2
64 g
Przykład 3
Zbiornik stożkowy o wymiarach R i H, napełniony całkowicie cieczą,
wprowadzono w ruch jednostajnie obrotowy wokół pionowej osi. Przy jakiej
prędkości kątowej powierzchnia swobodna cieczy będzie styczna do ściany
zbiornika ?
Równanie swobodnej powierzchni cieczy ma postać:
r2w2
z  z0 
,
2g
(1)
a po przekształceniu
r
2g
w
z  z0 .
(2)
Pochodna dr/dz wynosi
2g
dr
1

,
dz
2w z  z0
a w punkcie z=H odpowiednio

2g 
1
R
 dr 




tg
a

.
 dz 
2w  H  z0 
H
 z  H


(3)
(4)
Równanie (1) dla z=H i r=R przybiera postać:
H  z0  R2w2 / 2g 
1
2g
 2 2.
H  z0 R w
(5)
Stąd
1
H  z0

2g
.
Rw
(6)
Po podstawieniu równania (6) do (4) otrzymamy:
2g 2g
R
1

w 
gH
H
2w Rw
R
(7)
Przykład 4
Zbiornik w kształcie sześcianów o boku b wirują w płaszczyźnie poziomej w
odległości r od osi obrotu. Oblicz liczbę obrotów n, przy której ściany
zbiorników bliższe osi będą suche.
Zapiszemy równanie swobodnej powierzchni cieczy dla r i r+b
r2w 2
z  z0 
2g
z  z0   b  r  b
2
w2
2g
.
(1)
(2)
Po odjęciu stronami wyrażenia (2) i (1)
2
w

b  r  b  r
,

 2g
2
stąd

2

2gb  r 2  2rb  b2  r 2 w2  w 
(3)
2g
.
2r  b
(4)
Prędkość obrotowa wynosi
n
30

2g
, obr
.
min
2r  b
(5)
Przykład 5
Znaleźć kształt powierzchni jednakowego ciśnienia dla cieczy wypełniającej
naczynie cylindryczne wirujące dookoła pionowej osi i zsuwającej się po
gładkiej osi nachylonej do poziomu pod kątem.
Na cząstkę cieczy w dowolnym punkcje M działają siły masowe:
rw2, g, gsina . Składowe jednostkowej siły masowej wynoszą odpowiednio:
X  w 2x  g sin a cos a ,
Y  w 2y,
Z  g  g sin2 a.
Równanie powierzchni jednakowego ciśnienia przybiera więc postać:
w x  gsin a cos a  dx  w y  dy   g  gsin a  dz  0.
2
2
2
Po scałkowaniu :
1 2 2
w x  y2  gx cos a sin a  gz cos2 a  c.
2
Powierzchnie jednakowego ciśnienia mają więc kształt paraboloid obrotowych


Przykład 6
Zamknięte naczynie cylindryczne o średnicy D i wysokości H wypełnione
jest cieczą do wysokości h. Przy jakiej prędkości kątowej paraboloidy
tworzącej powierzchnię swobodną dotknie dna.
a) Dla h<H/2
Równanie powierzchni swobodnej ma postać (z0  0)
r2w 2
z
2g
a w punkcie A zachodzi równość
R2w2 D2w2
h1 

.
2g
8g
(1)
Wysokość paraboloidy obrotowej h1wyznaczamy z porównania objętości nad
powierzchnią swobodną w czasie spoczynku i w czasie ruchu.
 R 2 H  h  
Po wymnożeniu
1
 R 2h1   R 2 H  h1  .
2
 R 2H   R 2h 
1
 R 2h1   R 2H   R 2h  h1  2h.
2
(2)
(2a)
Po podstawieniu do (1) otrzymamy:
4
w
gh.
D
b) Dla h>H/2
(3)
Równanie powierzchni swobodnej ma postać ( z0  0)
r2w 2
z
2g
a w punkcie A zachodzi równość
r12w2
H
.
2g
(4)
Wartość promienia r1 wyznaczamy z porównania objętości nad powierzchnią
swobodną w czasie spoczynku i w czasie ruchu.
 D2
stąd
4
H  h  
r12 
 r1
2
D2 H  h
.
H,
2H
Po podstawieniu (6) do (4) otrzymamy:
w
2H
g
.
D Hh
(5)
(6)
(7)