Transcript Jak ułatwić sobie pracę przy wieszaniu firanek i zasłon?
Slide 1
Jak ułatwić sobie pracę przy
wieszaniu firanek i zasłon?
Wiadomo, jak ciężkim zadaniem jest wieszanie firanek, czy zasłon
na karniszach z żabkami. Każdy z nas, wieszających, dąży do tego,
by odstępy między żabkami były równe. Ale jak to zapewnić,
stojąc w niewygodnej pozycji z rękami wzniesionymi do góry?
Niektórzy wpadli już na pomysł, żeby powiesić firankę, czy zasłonę
(obiekt) za brzegi na skrajnych żabkach, następnie środek obiektu
powiesić na środkowej żabce. Po tym środki połówek obiektu
powiesić na środkowych żabkach z żabek należących do danej
połówki itd.
Slide 2
Dobór odpowiedniej liczby żabek
Wiadomo, jednak, że aby tak się dało zrobić, musi być
odpowiednia liczba żabek. Jak dobrać tą liczbę? Postaramy się
nad tym zastanowić.
Na początku należy powiesić obiekt na dwóch żabkach z prawej i
lewej strony:
Ż 2 T (n)
gdzie Ż to szukana ilość żabek, a T(n) to liczba żabek zależna od
ilości podziałów żabek na 2 grupy.
Slide 3
Wyprowadzamy wzór
Wiadomo, że przed każdym podziałem pragniemy mieć
nieparzystą liczbę żabek, dlatego że musimy zawsze wybrać
środkową i otrzymać 2 równe części:
T 2k 1
gdzie k jest liczbą naturalną.
Co więcej, każda liczba k musi również spełniać powyższe
równanie. Jeżeli, zatem, oznaczymy przez T(n) liczbę żabek przed
n podziałami, możemy sformułować równanie rekurencyjne:
T (n) 2T (n 1) 1
Slide 4
Obliczamy równanie
rekurencyjne
Przed 0 podziałami, liczba żabek wynosi:
T (0) 1
Następne ilości obliczamy ze wzoru z poprzedniej strony:
T (0) 1
T (1) 2T (0) 1 2 *1 1
T (2) 2T (1) 1 2 * 2 *1 2 *1 1
T (3) 2T (2) 1 2 * 2 * 2 *1 2 * 2 *1 2 *1 1
Da się zauważyć prawidłowość:
T (n) 2 2
n
n 1
2
0
Slide 5
Wzór na sumę ciągu
geometrycznego
Jest to oczywiście ciąg geometryczny. Sumę ciągu
geometrycznego o wyrazie pierwszym a1, ilorazie q i liczbie
wyrazów k wyraża wzór:
q 1
k
S k a1
q 1
W naszym przypadku wyraz pierwszy ma wartość 20 = 1, iloraz
wynosi 2n/2n-1 = 2, a liczba elementów wynosi n+1.
Slide 6
Obliczenie sumy
Po podstawieniu do wzoru, mamy:
S n 1 1
2
n 1
1
2 1
2
n 1
1
2
1
Zatem liczba żabek przed n podziałami wynosi:
T (n) S n 1 2
n 1
1
n 1
1
Slide 7
Ostateczny wynik
Pamiętamy, że liczba wszystkich żabek wyrażała się wzorem:
Ż 2 T (n)
zatem po podstawieniu do wzoru dopiero co rozwiązanego
równania rekurencyjnego na T(n):
Ż 22
n 1
1 2
n 1
1
Slide 8
Wniosek
Aby wieszanie obiektów było jak najłatwiejsze i najmniej
stresujące, przy zachowaniu dobrych wyników pod względem
równych odległości między żabkami, liczba wszystkich żabek,
przypadających na obiekt, powinna być postaci:
Ż 2 1
n
gdzie n jest liczbą naturalną.
Wojtek
Jak ułatwić sobie pracę przy
wieszaniu firanek i zasłon?
Wiadomo, jak ciężkim zadaniem jest wieszanie firanek, czy zasłon
na karniszach z żabkami. Każdy z nas, wieszających, dąży do tego,
by odstępy między żabkami były równe. Ale jak to zapewnić,
stojąc w niewygodnej pozycji z rękami wzniesionymi do góry?
Niektórzy wpadli już na pomysł, żeby powiesić firankę, czy zasłonę
(obiekt) za brzegi na skrajnych żabkach, następnie środek obiektu
powiesić na środkowej żabce. Po tym środki połówek obiektu
powiesić na środkowych żabkach z żabek należących do danej
połówki itd.
Slide 2
Dobór odpowiedniej liczby żabek
Wiadomo, jednak, że aby tak się dało zrobić, musi być
odpowiednia liczba żabek. Jak dobrać tą liczbę? Postaramy się
nad tym zastanowić.
Na początku należy powiesić obiekt na dwóch żabkach z prawej i
lewej strony:
Ż 2 T (n)
gdzie Ż to szukana ilość żabek, a T(n) to liczba żabek zależna od
ilości podziałów żabek na 2 grupy.
Slide 3
Wyprowadzamy wzór
Wiadomo, że przed każdym podziałem pragniemy mieć
nieparzystą liczbę żabek, dlatego że musimy zawsze wybrać
środkową i otrzymać 2 równe części:
T 2k 1
gdzie k jest liczbą naturalną.
Co więcej, każda liczba k musi również spełniać powyższe
równanie. Jeżeli, zatem, oznaczymy przez T(n) liczbę żabek przed
n podziałami, możemy sformułować równanie rekurencyjne:
T (n) 2T (n 1) 1
Slide 4
Obliczamy równanie
rekurencyjne
Przed 0 podziałami, liczba żabek wynosi:
T (0) 1
Następne ilości obliczamy ze wzoru z poprzedniej strony:
T (0) 1
T (1) 2T (0) 1 2 *1 1
T (2) 2T (1) 1 2 * 2 *1 2 *1 1
T (3) 2T (2) 1 2 * 2 * 2 *1 2 * 2 *1 2 *1 1
Da się zauważyć prawidłowość:
T (n) 2 2
n
n 1
2
0
Slide 5
Wzór na sumę ciągu
geometrycznego
Jest to oczywiście ciąg geometryczny. Sumę ciągu
geometrycznego o wyrazie pierwszym a1, ilorazie q i liczbie
wyrazów k wyraża wzór:
q 1
k
S k a1
q 1
W naszym przypadku wyraz pierwszy ma wartość 20 = 1, iloraz
wynosi 2n/2n-1 = 2, a liczba elementów wynosi n+1.
Slide 6
Obliczenie sumy
Po podstawieniu do wzoru, mamy:
S n 1 1
2
n 1
1
2 1
2
n 1
1
2
1
Zatem liczba żabek przed n podziałami wynosi:
T (n) S n 1 2
n 1
1
n 1
1
Slide 7
Ostateczny wynik
Pamiętamy, że liczba wszystkich żabek wyrażała się wzorem:
Ż 2 T (n)
zatem po podstawieniu do wzoru dopiero co rozwiązanego
równania rekurencyjnego na T(n):
Ż 22
n 1
1 2
n 1
1
Slide 8
Wniosek
Aby wieszanie obiektów było jak najłatwiejsze i najmniej
stresujące, przy zachowaniu dobrych wyników pod względem
równych odległości między żabkami, liczba wszystkich żabek,
przypadających na obiekt, powinna być postaci:
Ż 2 1
n
gdzie n jest liczbą naturalną.
Wojtek