Transcript Wykład11

MECHANIKA 2
Wykład Nr 11
Praca, moc, energia
PRACA MECHANICZNA SIŁY STAŁEJ
Pracą siły stałej na prostoliniowym przemieszczeniu w kierunku
działania siły nazywamy iloczyn tej siły przez długość przesunięcia
(1)
Jednostka
kg  m
J  Nm  2 m
s
Rys. 1
Wektor siły jest nachylony do kierunku przesunięcia pod kątem a
PRACA MECHANICZNA SIŁY STAŁEJ
(2)
WNIOSEK: Pracę wykonuje tylko składowa siły stycznej do toru
Ft . Praca składowej normalnej do toru Fn jest równa zeru.
Z równania (2) wynika, że dla:
WNIOSEK: Praca jest skalarem, może przyjmować
wartości dodatnie, ujemne i równe zeru.
PRACA MECHANICZNA SIŁY ZMIENNEJ
Definicja pracy elementarnej:

Pracą elementarną siły zmiennej na przesunięciu ds nazywamy
iloczyn skalarny siły F przez to przesunięcie elementarne.
(3)
Ponieważ
(4)
to

 

Podstawiając do wzoru (3): F  i X  j Y  k Z
(5)


 
oraz ds  i dx  j dy  k dz
otrzymamy po wymnożeniu i podstawieniu do (5) :
(6)
PRACA MECHANICZNA SIŁY ZMIENNEJ
Pracę całkowitą od położenia 1 do położenia 2 na torze otrzymamy,
całkując wyrażenie przedstawiające pracę elementarną.
(7)
Praca siły na pewnym przesunięciu jest równa sumie
prac sił składowych na odpowiednich przemieszczeniach
składowych.
PRACA MECHANICZNA PO OKRĘGU
Gdy siła F działa na punkt poruszający się po torze kołowym (np. siła
naciągu pasa przekładni pasowej), otrzymamy
(8)
Wyrażenie Ftr określa moment siły
Rys. 2

F
względem środka O (np. środka tarczy).
Nazywamy go momentem obrotowym
(9)
PRACA MECHANICZNA PO OKRĘGU
Wzór na pracę elementarną przybiera postać:
(10)
Pracę całkowitą na drodze kątowej od 1 do  2 określa całka
(11)
PRACA MECHANICZNA siły sprężystości

Siła sprężystości F jest wielkością zmienną proporcjonalną do wydłużenia
sprężyny. Przyjmując oś sprężyny za oś x napiszemy
(12)
gdzie c – stała sprężyny.
Praca elementarna siły sprężystości jest równa
(13)
Składowe siły sprężystości
PRACA MECHANICZNA siły sprężystości
Po podstawieniu
(14a)
Praca całkowita siły sprężystości na drodze całkowitego wydłużenia
sprężyny będzie równa
(14b)
Uwzględniając, że
cL  F otrzymamy ostatecznie
(15)
PRACA MECHANICZNA siły ciężkości
z
z1
G=mg
z2
y
x
PRACA MECHANICZNA siły ciężkości
Praca elementarna
Składowe siły ciężkości
Zatem praca elementarna
Praca całkowita
Gdy z1>z2 to A > 0, gdy z1< z2 to A < 0.
MOC CHWILOWA
Pracę odniesioną do jednostki czasu nazywamy mocą.
Moc chwilowa
(17)
wyrażenie na moc chwilową przedstawimy w następującej postaci:
lub
(18)
MOC W RUCHU OBROTOWYM
W ruchu obrotowym
Ponieważ
W związku z tym
(20)
MOC I SPRAWNOŚĆ
Gdy prędkość w ruchu obrotowym zadana jest za pomocą prędkości
obrotowej n, obr/min – wówczas prędkość kątową w obliczamy z ze
wzoru:
Po podstawieniu do (20) wyrazimy moc w postaci:
(21)
Jednostką podstawową mocy mocy jest W = J/s = Nm/s
Jednostki techniczne to: kW i MW
SPRAWNOŚĆ
Sprawnością mechaniczną maszyny lub silnika nazywamy
stosunek pracy (lub mocy) użytecznej do pracy (lub mocy) włożonej.
(22)
ZASADA PRACY I ENERGII KINETYCZNEJ
Po wyrażeniu siły Ft w postaci:
Wzór na pracę elementarną przybiera postać
ds/dt = v
Prawa strona tego równania jest różniczką zupełną funkcji E  mv 2 / 2
zwanej energią kinetyczną poruszającego się punktu materialnego.
ZASADA PRACY I ENERGII KINETYCZNEJ
Zatem
(23)
Po całkowaniu otrzymujemy
(24)
Energia
kinetyczna
poruszającego
się
punktu
materialnego rośnie lub maleje o wielkość pracy
wykonanej przez siły działające na ten punkt materialny.
POLE SIŁ
Określić pole sił, to znaczy podać wektor-funkcję położenia
(25)
Albo jego składowe
Pola sił i ruchy
Powtórzenie
LINIE POLA SIŁ
Linię charakteryzującą się tym, że w każdym jej punkcie
wektor pola jest styczny do niej, nazywamy linią pola sił.
Równanie różniczkowe tych linii ma postać
(26)
Jeżeli linie pola sił są prostymi równoległymi,
pole nazywamy jednorodnym.
PRACA W POLU SIŁ
Pracę całkowitą wykonaną przez siły pola określa całka
(27)
Aby obliczyć pracę całkowitą, należy ustalić:
a) współrzędne punktu początkowego i końcowego (1 i 2),
 
b) wektor siły pola F  Fx, y , z ,
.
c) równanie toru, wzdłuż którego pole wykonuje pracę.
PRZYKŁAD 1



2
2
Obliczyć pracę siły F  y i  x j od położenia I (0, 1) do II (1, 0)
Rys. 3
gdy praca jest wykonywana:
a) po linii prostej y  1  x ,
b)
po okręgu x 2  y 2  1 ,
c) po osiach wsp. x  0 , y  0 .
Jednostki: [F] – N,
[x, y] – m
Dla przykładu a) X = y2, Y = -x2, równanie (27) przybiera postać:
Lub
Ponieważ
to
Po scałkowaniu w granicach x(0,1) otrzymamy:
y  1 x
dy  dx
Dla przykładu b) praca po okręgu x2 + y2 = 1, X = y2, Y= -x2
Po podstawieniu do (27)
Po scałkowaniu:
Dla przykładu c) praca po osiach współrzędnych:
Równanie osi x ma postać y = 0
Równanie osi y ma postać x = 0
Zatem
WNIOSEK: w tym zadaniu praca pola sił zależy od kształtu toru
Takie pola sił, w których praca zależy od kształtu toru,
nazywamy polami niepotencjalnymi lub wirowymi.
PRZYKŁAD 2
Niech w poprzednim przykładzie siła pola będzie określona równaniem
gdzie a i b – stałe,
Składowe siły
Praca całkowita od położenia 1 do położenia 2 będzie określona wzorem

- nazywamy funkcją pola sił.
FUNKCJA POLA SIŁ
Funkcją pola sił nazywamy funkcję położenia  x, y, z  ,
której różniczka zupełna jest równa pracy elementarnej sił pola.
W omawianym przykładzie funkcja ta miała postać :
gdyż
W polu potencjalnym praca nie zależy od kształtu toru, a jedynie
od położenia początkowego i końcowego siły pola - równa jest
wartości funkcji pola w położeniu końcowym i początkowym.
Różniczka zupełna funkcji pola jest równa
FUNKCJA POLA SIŁ
Aby ta różniczka zupełna była równa pracy elementarnej
muszą być spełnione zależności
Wektor pola sił możemy zapisać w postaci:
Prawa strona jest gradientem funkcji
 , czyli
POTENCJAŁ POLA SIŁ
Potencjałem pola sił
nazywamy skalarną
funkcję położenia U x, y, z  , której pochodne cząstkowe
względem odpowiednich kierunków są równe składowym
siły pola w tych kierunkach ze znakiem ujemnym.
Gradient tej funkcji jest równy sile pola ze znakiem (-).
Miejsce geometryczne punktów, dla których U x, y, z   const
nazywamy powierzchnią
ekwipotencjalną.
PRACA W POTENCJALNYM POLU SIŁ
Praca elementarna
W polu potencjalnym praca elementarna jest różniczką zupełną
pewnej funkcji skalarnej - potencjału pola sił - ze znakiem
ujemnym.
Praca całkowita
stąd
W polu potencjalnym praca całkowita jest równa różnicy
potencjałów w położeniu początkowym i końcowym.
PRACA W POLU SIŁ CIĘŻKOŚCI
Potencjał ma postać
Praca całkowita od położenia 1 do położenia 2 będzie równa
Przyjmiemy, że na poziomie Ziemi (na której znajduje się położenie 2)
potencjał jest równy zeru. Wtedy praca całkowita wynosi
gdzie h – wysokość położenia 1 nad poziomem Ziemi.
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ
Pracę U  m gh nazywamy energią potencjalną.
Jest to praca, jaką wykona pole sił ciężkości przy
przemieszczeniu masy m z wysokości h na powierzchnię Ziemi.
Z zasady pracy i energii kinetycznej
energii potencjalnej
A  dU
A  dE
oraz pracy i
wynika że:
dE   dU
czyli
Jest to forma różniczkowa zasady zachowania energii mechanicznej.
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ
Całkując to równanie otrzymujemy
W polu potencjalnym suma energii kinetycznej i
potencjalnej jest w każdym położeniu wielkością stalą.
W odniesieniu do poruszającego się punktu zasadę tę możemy
przedstawić za pomocą wzoru