Transcript Wykład12

MECHANIKA 2
Wykład Nr 12
Zasady pracy i energii
WEKTOR POLA SIŁ
Wektor pola sił możemy zapisać w postaci:
(1)
Prawa strona jest gradientem funkcji

, czyli
(2)
POTENCJAŁ POLA SIŁ
Funkcję Ux, y, z   x, y, z nazywamy potencjałem
pola sił. Potencjał spełnia następujące zależności:
(3)
lub w postaci wektorowej
SIŁA W POTENCJALNYM POLU SIŁ
Cechy siły potencjalnego pola sił :
a) Moduł siły jest równy
b) kierunek prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnej,
c) Siła ma zwrot od powierzchni wyższego
potencjału do powierzchni niższego potencjału.
WŁASNOŚCI POTENCJALNEGO POLA SIŁ
Po zróżniczkowaniu pierwszego równania (z układu 3) względem y, drugiego
względem x, otrzymamy:
(4)
Z (4) wynika, że:
(5)
Podobnie, różniczkując względem „przemiennych" kierunków układ równań
(3), dochodzimy do następujących zależności:
(6)
WŁASNOŚCI POTENCJALNEGO POLA SIŁ
Składowe siły pola muszą spełniać związki (6), ażeby pole sił było
polem potencjalnym. W postaci wektorowej:
(7)
Aby pole sił było polem potencjalnym, rotacja
wektora siły pola musi być równa zeru.
PRACA W POTENCJALNYM POLU SIŁ
Praca elementarna
(8)
W polu potencjalnym praca elementarna jest różniczką zupełną
pewnej funkcji skalarnej - potencjału pola sił - ze znakiem ujemnym.
Praca całkowita
(9) stąd
(10)
W polu potencjalnym praca całkowita jest równa różnicy
potencjałów w położeniu początkowym i końcowym.
CECHY POTENCJALNEGO POLA SIŁ
a) potencjał jest skalarną funkcją położenia
b) potencjał istnieje w polu, dla którego
c) w polu potencjalnym praca elementarna jest równa różniczce zupełnej
potencjału ze znakiem ujemnym
d) praca całkowita w polu potencjalnym nie zależy od
kształtu toru i równa się różnicy potencjałów
e) praca w polu potencjalnym po dowolnej krzywej leżącej na powierzchni
ekwipotencjalnej jest równa zeru.
CECHY POTENCJALNEGO POLA SIŁ
h) powierzchnie ekwipotencjonalne i linie sił
tworzą układ ortogonalny,
i) siły pola są zwrócone od powierzchni wyższego
potencjału do powierzchni niższego potencjału.
j) praca całkowita w polu potencjalnym po dowolnej
linii zamkniętej jest równa zeru
PRACA W POLU SIŁ CIĘŻKOŚCI
Składowe sił pola grawitacyjnego Ziemi
Rys. 4
Praca elementarna
Potencjał pola sił ciężkości ma postać:
(11)
Praca całkowita od położenia 1 do położenia 2 (rys. 4) będzie równa
PRACA W POLU SIŁ CIĘŻKOŚCI
Przyjmiemy, że na poziomie Ziemi (na której znajduje się położenie 2)
potencjał jest równy zeru. Wtedy praca całkowita wynosi :
(12)
Pracę U  mgh nazywamy energią potencjalną.
Jest to praca, jaką wykona pole sił ciężkości przy
przemieszczeniu masy m z wysokości h na powierzchnię
Ziemi.
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ
Z zasady pracy i energii kinetycznej
oraz pracy i energii potencjalnej
A  dE
A  dU
wynika że:
czyli
(13)
Jest to forma różniczkowa zasady zachowania energii mechanicznej.
Całkując to równanie otrzymujemy
(14)
W polu potencjalnym suma energii kinetycznej i potencjalnej jest w
każdym położeniu wielkością stalą.
W odniesieniu do poruszającego się punktu zasadę tę możemy przedstawić za
pomocą wzoru
(15)
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ
Przykład 1
A

h
B
Z zasady zachowania energii mechanicznej
EA = EB, (E = Ep+ Ek)
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ
Przykład 2
Rys. 5
Po gładkim torze porusza się
punkt materialny o masie m.
Z zasady zachowania energii (15) wynika równość:
(16)
a stąd
(17)
ZACHOWANIE PUNKTU W POLU SIŁ CIĘŻKOŚCI
Największa wysokość zmax, którą osiągnie punkt materialny, otrzymamy
v
= 0, podstawiając do równania (17)
(18)
Wynika stąd, że:
a)
na jednym i tym samym poziomie punkt ma tę samą prędkość (przy
założeniu toru gładkiego),
b) maksymalny poziom, jaki osiągnie punkt materialny, wynosi zmax (18),
c) punkt materialny przejdzie przez wszystkie „garby„ toru, nie większe
od wysokości zmax.
RÓWNOWAGA
Równowagę punktu w polu ciężkości na gładkim torze
(19)
Punkt będzie w równowadze na krzywej gładkiej wtedy, gdy wypadkowa
sił czynnych będzie prostopadła do tej krzywej.
Rozróżniamy:
równowagę stałą, która zachodzi w położeniu, w którym wychylony z
położenie równowagi punkt materialny będzie się poruszał w pobliżu tego
położenia równowagi,
równowagę chwiejną, która zachodzi w ,położeniu, w którym nawet
dowolnie m prędkość udzielona punktowi materialnemu oddala go na stałe
od tego położenia równowagi,
równowagę obojętną, zachodzącą w położeniu, gdzie punkt materialny
wychylony ze swego położenia równowagi natrafia w pobliżu na nowe
położenie równowagi.
RÓWNOWAGA
W polu sił ciężkości równowaga punktu materialnego zachodzi
w położeniu, gdzie energia potencjalna osiąga ekstremum (rys.6).
Rys. 6
W szczególności równowaga stała zachodzi w położeniu, w
którym energia potencjalna osiąga minimum. Jest to tzw.
kryterium stateczności Mindinga i Dirichleta.
POSTACIE ENERGII
ENERGIA – zdolność układu do wykonania pracy
potencjalna położenia, sprężystości
potencjalna ciśnienia (płynu)
kinetyczna
elektryczna
chemiczna
cieplna
jądrowa
termojądrowa
elektrostatyczna, magnetyczna, elektromagnetyczna