Transcript mat_cw02 (ok. 428 kB)

Ćwiczenie II. Niektóre podstawowe funkcje
matematyczne i ich zastosowanie w biologii.
Allometria a geometria fraktalna
•
•
Strona internetowa ćwiczeń:
http://www.home.umk.pl/~henroz/matm1112
Definicja: funkcją nazywamy matematyczną zależność
pomiędzy 2 (lub więcej) zmiennymi, opisaną równaniem
(równaniami). Od 1 (lub od kilku – od serii) zmiennej
znanej (danej) zw. niezależną ozn. literą x (ew. xi , gdzie i,
to kolejne liczby naturalne) zależy 1 i tylko 1 zmienna zw.
zależną – ozn. lit. y, a zależność można opisać równaniem
ogólnym: y = f(x) (gdy war.: „1 i tylko 1” nie jest spełniony
– mamy relację, a nie funkcję). F. matemat.można przedstawić na wykresie. Zbiór wartości zm. niezal. x = zb.argumentów funkcji = dziedzina funkcji;
zb.wart. zm.zależ. y=przeciwdziedzina
funkcji.
Wart. zm. niezal. (x), dla których funkcja przyjmuje wart. y = 0, nazywamy
miejscami zerowymi lub pierwiastkami funkcji.
Jedna z najprostszych funkcji, to f. liniowa: y = ax + b (wykres
- prosta).
i
n
- funkcja algebraiczna
x2
x3
xn

=
ai x
y = a0 + a1x + a2 + a3 +.....+ an
(wielomian stopnia
i 0
n-tego). Funkcję stałą (y = a) możemy uznać za wielomian stopnia
zerowego, a f. liniową – wielomian st. pierwszego.
•Jedną z najbardziej znanych funkcji jest wielomian II stopnia –
in. funkcja kwadratowa (lub trójmian kwadratowy):
2
y = ax2 + bx + c
(a  0) .
Trójmian kwadratowy w postaci kanonicznej:
f(x) = a(x + b/2a)2 - /4a, gdzie:  = b2 - 4ac, jest wyróżnikiem
trójmianu kwadratowego.
Wykresem f. kwadratowej jest parabola, o współrzędnych
wierzchołka: xw = -b/2a i
yw = -/4a.
•Dla a > 0 f. kwadr. ma minimum dla x = xw, równe yw;
dla a < 0 " - " " maksimum " " " "
- " - „.
Dla  > 0 f. kwadr. ma 2 m-sca zerowe: x1 i x2.
Gdy  = 0 f. kwadr. ma 1 m-sce zerowe: x0 = xw.
Gdy  < 0 f. kwadr. nie ma miejsc zerowych wcale.
Dla   0, f. kwadr. można przedstawić w postaci iloczynowej:
f(x) = a(x-x1)(x-x2)
( > 0);
f(x) = a(x-x0)2
( = 0)
Dla  > 0, równanie kwadratowe ma 2 pierwiastki:
x1   b  Δ
2a
i
x2   b  Δ
2a
x1
Jeżeli  = 0, to równanie ma 1 pierwiastek
(podwójny) i liczymy go: x0 (x1,2) = -b/2a
[wartość pierwiastka (x0)
odpowiada tu odciętej
wierzchołka (xw)]
Gdy  < 0, to równanie nie ma pierwiastków.
Suma i iloczyn pierwiastków: x1 + x2 = -b/a;
x1*x2 = c/a
Zastosowanie f kwadratowej w biologii – do modelowania jakichkolwiek zjawisk krzywoliniowych, gdzie nie ma „mocnych” podstaw
teoretycznych do użycia innego modelu krzywoliniowego [np. wzrost
hodowli bakterii w czasie – z uwzględnieniem szybko następujących po
sobie faz równowagi i zamierania: parabola otwarta ku dołowi (a < 0)].
Funkcja wykładnicza
Postać ogólna: y = a.ebx (gdy wyrażenie w wykładniku jest złożone,
zamiast ebx piszemy exp[bx]). Przebieg:
Przykłady – w ćw. I (błądzenie
lub
przypadkowe!): wymieranie gatunków, rozpad radioaktywny, rozkład
materii organicznej, rozprzestrzenianie się zanieczyszczeń w środodowisku, dyfuzja (b < 0) oraz pojawianie się mutacji i procesy wzrostu –
w tej jego fazie, kiedy przebiega bez ograniczeń (b > 0). Są to procesy
multyplikatywne, czyli przebiegające w postępie geometrycznym.
Przykład (szczegółowo): rozpad radioaktywny: N = N0.e–kt, gdzie:
N0 – wyjściowa liczba atomów pierwiastka, k – stała rozpadu (współczynnik kierunkowy, odpowiednik „b”), t – czas, N – liczba atomów,
które nie uległy rozpadowi.
Czas, w którym N = N0/2, to czas połowicznego rozpadu (zaniku) (t½),
który wyliczamy: N/N0 = e–kt = ½; ekt = 2  t½ = ln(2)/k
Produkty rozpadu (Np) nagromadzają się zgodnie z przekształconym
równaniem funkcji wykładniczej: Np = N0(1 – e–kt) .
Funkcja potęgowa
Postać ogólna: y = axb . Przebieg – zależy od wartości wykładnika b:
f. potęgowa jest
określona dla:
x>0
Jedna z najważniejszych funkcji dla biologii / biologów; w naukach morfologicznych (morfometria) nazywana jest też allometryczną. Różne
parametry morfologiczne (wymiary ciała, pole powierzchni ciała,
objętość ciała i biomasa) nie są wzajemnie proporcjonalne względem
siebie. Nie są też proporcjonalne w stosunku do parametrów fizjologicznych (np. tempo metabolizmu, aktywność fotosyntezy, oddychania, etc.).
Zależność pomiędzy tego typu zmiennymi najlepiej opisują funkcje potęgowe (allometryczne). Nazywana jest ona allometrią (= nierównomierność, nieproporcjonalność) – w odróżnieniu od równomierności (izometrii = proporcjonalności). Gdy 0,5 < b < 1 – hipometria; gdy b > 1 –
hipermetria.
U owadów: W ~ L2,6, W – masa ciała, L – długość ciała.
Reguła Kleibera: M ~ W 0,75, M – tempo metabolizmu, W – j.w. (niekiedy
wyjątki: u niektórych stawonogów – wykładnik > 1).
Zależność pomiędzy liczbą gatunków (S), np. owadów, a zajmowaną
przez nie powierzchnią (A) można opisać funkcją allometryczną:
S = S0Ab, gdzie: S0 – wyjściowa (początkowa) liczba gatunków.
Funkcja logarytmiczna
(patrz – ćwiczenie I !)
Funkcja hiperboliczna
F. silnie malejąca: szczególny przypadek funkcji potęgowej o ujemnym współczynniku kierunkowym (b < 0).
Jednym z najważniejszych zastosowań
f. hiperbolicznej w biologii jest modelowanie
szybkości rozmnażania (liczby potomstwa)
w zależności od masy lub od wielkości ciała.
Najprostsza postać: y = ax–1; xy=a=const.
Dla wysokich wartości x, krzywizna wykresu
jest b. słaba i można ją aproksymować linią
prostą. Tę część wykresu, nazyw. „ciężkim
ogonem” („heavy tail”).
„heavy tail”
Typowy przykład:
Odwrócona hiperbola
y  ax
bx
Funkcja obrazowana wykresem odwróconej hiperboli, to:
.
W biochemii służy do modelowania kinetyki reakcji enzymatycznych,
jako tzw. równanie i krzywa Michaelisa-Mentena:
Vmax [S]
V0 
; gdzie: V0 – szybkość reakcji
K  [S] enzymatycznej;
[S] – stężenie
substratu; Vmax – hipotetyczna, maksymalna
szybkość reakcji; K – stała Michaelisa-Mentena
– stężenie substratu, odpowiadające ½ Vmax .
V0 asymptotycznie zbliża się do wartości Vmax,
ale nigdy jej nie osiąga, czyli: limV0S = Vmax .
R-nie Michaelisa-Mentena – ważny przykład
z całej klasy funkcji Monoda, opisanej równaniem: y  af ( x) . Równanie
b  f ( x ) współcz.
to daje się linearyzować: 1/y względem 1/f(x) ze
kierunkowym b/a i wyrazem stałym 1/a – transformacja Lineweavera–
Burka. Szczególny przypadek – równanie Hilla na wiązanie tlenu przez
mioglobinę, w zależności od ciśnienia cząstkowego tlenu [p(O2)].
Jeżeli tlen jest wiązany nie przez monomer, lecz przez di-, tri lub
tetramer mioglobiny – to [p(O2)] [odpowiednik f(x)] w r-niu jest podnoszone do potęgi II-giej, III-ciej lub IV-tej, a krzywa przyjmuje kształt
sigmoidalny.
Allometria a geometria fraktalna
Do czasu opracowania i powszechnego przyjęcia przez
matematyków zasad geometrii fraktalnej, nie było możliwości
matematycznego opisu i modelowania morfologii obiektów
spotykanych w przyrodzie o kształtach bardziej skomplikowanych
od prostych figur geometrycznych. Fraktal jest obiektem o
kształcie bardziej skomplikowanym od prostych figur
geometrycznych, zaś jego wymiar nie jest liczbą całkowitą –
zwykle kończy się ułamkiem dziesiętnym (od ang.: „fraction” –
ułamek). Proste obiekty – takie, jak: odcinek, prosta czy okrąg
mają wymiar topologiczny (=euklidesowy; D) = 1; w miarę jak ich
kształty się komplikują – ich wymiar wzrasta o pewną wartość
ułamkową, którą nazywamy wymiarem fraktalnym (d) [w praktyce
za wymiar fraktalny przyjmuje się jednak sumę wym.
topologicznego i „dodatkowego” (s. stricto) fraktalnego (D+d)].
Ważną cechą większości (choć nie wszystkich) fraktali jest
samopodobieństwo.
I Figura jest samopodobna, jeśli można ją
podzielić na części, które są podobne do
II całości (Białynicki-Birula & c., 2002).
W całości samopodobnego płatka śniegu
(I) można wyróżnić podobne doń „podpłatki” II-go i III-go rzędu. Samopodobieństwo
III jest to układ / wzór, który wygląda podobnie niezależnie od skali (W. Ulrich). Geometria fraktalna określa wzorce procesów
samopodobnych. Procesy samopodobne
wyglądają podobnie bez względu na powiększenie, pod jakim je
obserwujemy. Inspiracją do stworzenia podstaw geometrii
fraktalnej był fakt różnej długości postrzeganej linii o złożonym
przebiegu (np. granice państw / kontynentów), w zależności od
długości linijki użytej do ich zmierzenia lub od powiększenia pod
jakim są obserwowane (przykł. ze skr.: dł. linii brzegowej Europy).
Im krótsza linijka – tym
większa długość postrzegana. Zależność tą
można opisać funkcją allometryczną (x – długość linijki lub czynnik skalowania; y – długość postrzegana). Funkcja potęgowa, będąca najprostszym modelem procesu samopodobnego, to:
L(s) = L0sD+d –1, gdzie: L – długość postrzegana, L0 – wyraz stały
(długość hipotetyczna, przy nieskończenie wysokim s), s – czyn-nik
skalowania (zmniejszenie / powiększenie), D – wymiar eukli
desowy; d – wykładnik funkcji potęgowej, definiującej proces
samopodobny; D + d – kompletny wymiar fraktalny.
Wymiar fraktalny może być różnie definiowany i wyliczany przy użyciu
różnych metod; 1 z najbardziej znanych – „wymiar Minkowskiego”:
Wyliczanie wymiaru fraktalnego, gdy dane są
obwód i powierzchnia różnych elementów badanego
obiektu (zad. 5):
Obwód (P):
P = a*Ad/2
stała
Powierzchnia (A):
wymiar fraktalny
Zastosowanie geometrii fraktalnej
- modelowanie procesów rozgałęziania się naczyń w tkankach
roślinnych i zwierzęcych
- modelowanie zależności szybkości metabolizmu od masy ciała
(prawo Kleibera!)
- diagnostyka osteoporozy i jaskry w medycynie
Wskazówki do wykonania zadań praktycznych ćw. II.
Wskazówki do zadania 1:
Dla równania:
y = 5x2 - 15x + 4
 = (-15)2 - 4*5*4 = 145
x1 = (15 - 145)/(2*5) = 0,296
x2 = (15 + 145)/(2*5) = 2,704
Wskazówki do zadania 2:
Po otwarciu wskazanej strony internetowej, program on-line (do
charakterystyki trójmianu kwadratowego) – wygląda następująco:
Wprowadzamy w pole zaczynające się od „y=” prawą stronę naszego
równania kwadratowego (1), a następnie klikamy w przycisk „Rysuj”
(2):
Klik
Powinny ukazać się: „Własności funkcji kwadratowej”,
oraz jej wykres:
Wskazówki do zadania 3:
Program on-line, do kreślenia wykresów różnych funkcji, wygląda
następująco:
Wprowadź w pole zaczynające się od „y=” prawą stronę
odpowiedniego równania funkcji (1), a następnie kliknij w przycisk
„Rysuj” (2):
Tu wpisz
równanie
funkcji (1)
Klik (2)
W efekcie powyższych czynności, uzyskujemy wykres:
Wykresy kolejnych
funkcji, wykonujemy
w sposób analogiczny
(zgodnie z instrukcją
przy programie on-line)
Wskazówki do zadania 4:
Wykres punktowy (X, Y), wykonujemy w taki sam sposób, jak w
zadaniu 3 z Ćw. 1 (etapy a-k, w podpowiedziach). Powinien on
wyglądać następująco:
Na wykresie punktowym (rozrzutu; XY) naprowadzamy kursor
na dowolny punkt i wciskamy prawy przycisk myszy. Otwiera
się menu, z którego wybieramy komendę: „Dodaj linię
trendu” i zatwierdzamy: albo przez wciśnięcie <Enter> albo
przez kliknięcie (lewy przycisk!!).
Prawy
przycisk(1)
Naprowadzamy
kursor i albo
<Enter> albo
Klik (2)
Wybieramy: „Typ trendu/regresji” – „Wykładniczy” i klikamy w zakładkę
„Opcje”
Klik (2)
Klik (1)
W „Opcjach” włączamy (przez kliknięcie w mały, biały kwadracik
przed opcją): „Wyświetl równanie na wykresie” i „Wyświetl wartości
R-kwadrat na wykresie”, a następnie zatwierdzamy przez kliknięcie
w OK (R2 – współczynnik determinacji).
Klik (1)
Klik (2)
Klik (3)
Gotowy wykres powinien wyglądać jak poniżej [w razie potrzeby
formatujemy/powiększamy wyświetlane równanie i R2 (Prawy
przycisk myszy  „Formatuj etykiety danych”  czcionka  rozmiar);
i ew. zmieniamy ich położenie].
Odczytujemy: N0 = 10179;
k = 0,0072 i R2 = 0,9989.
Równanie na wyliczenie
czasu połowicznego zaniku
t1/2 = ln(2)/k (dlaczego?)
Po podstawieniu:
t1/2 = 0,69315 / 0,0072 =
= 96,3 lat
Wskazówki do zadania 5:
Pobieramy plik Excela „paproc.xls” ze strony ćwiczeniowej i zapisujemy na nośniku USB [dane: wyniki pomiarów obwodu i powierzchni
fragmentów fraktala: liść Barnsley’a (paproci), uzyskano za pomocą
programu analizy obrazu: „Scion Image”]. Wykonujemy wykres
punktowy (XY) i dopasowujemy do danych krzywą regresji potęgowej
(„Trend potęgowy”) – metodami poznanymi w zadaniu poprzednim.
Gotowy wykres:
Z równania na wykresie, odczytujemy: wykładnik = 0,7782.
Ponieważ: D = 2 * wykładnik,
D = 2 * 0,7782 = 1,5564.
Dziękuję
za uwagę ;-)