Transcript SENAMEK Sebastian Michalski Szkoła Główna Handlowa Warszawa, 25.05.2004 [email protected] Estymatory parametru samoafiniczności procesów o długiej pamięci Microsoft PowerPoint 2003 Poprzednie wersje mogą nie wyświetlać animacji Wymiar przestrzeni euklidesowej Liczba przypisana.

SENAMEK
Sebastian Michalski
Szkoła Główna Handlowa
Warszawa, 25.05.2004
[email protected]
Estymatory parametru samoafiniczności
procesów o długiej pamięci
Microsoft PowerPoint 2003
Poprzednie wersje mogą nie wyświetlać animacji
Wymiar przestrzeni euklidesowej
Liczba przypisana (zbiorowi) przestrzeni w taki
sposób, aby
punkt miał wymiar = 0,
prosta wymiar = 1,
płaszczyzna wymiar = 2;
przestrzeń = 3.
Liczba współrzędnych niezbędnych do określenia
położenia punktu w zbiorze.
W algebrze liniowej:
n = dim(V) liczba będąca mocą jej bazy — n liniowo
niezależnych wektorów rozpinających przestrzeń, a
dowolny układ n+1 wektorów jest liniowo zależny.
Przestrzeń topologiczna
Uogólnienie pojęcia przestrzeni metrycznej:
Przypisanie przestrzeni (zamiast odległości) rodziny
zbiorów (topologii), którą stanowią sumy (również
nieskończone) kul otwartych (zbiorów punktów odległych
od środka o mniej niż promień)
Wymiar topologiczny – wymiar pokryciowy
Henri Lebesque
Pokrycie obiektu przez DE wymiarowe kule o
odpowiednio małym promieniu wymaga
niepustego przecięcia minimalnie DT+1 kul.
[Addison,1997]
Przestrzeń topologiczna
Zachowanie własności homeomorficznych przestrzeni
Homeomorfizm to funkcja z jednej przestrzeni
topologicznej w drugą mająca następujące
własności:
wzajemna jednoznaczność (bijekcja)
ciągłość (przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego w Y
jest zbiorem otwartym w X)
otwartość (obraz dowolnego zbioru otwartego jest
zbiorem otwartym)
Przekształcenie, które może dowolnie rozciągać i
wyginać obiekt, ale które nie może robić w nim "dziur" ani
go rozrywać. Liczba „dziur” i przecięcie są
niezmiennikami – nie mogą zostać zniszczone ani
utworzone.
Przestrzeń topologiczna
Przykład:
Przestrzeń topologiczna
Przykład:
Litery i cyfry pogrupowane w klasy równoważności
homeomorfizmu
AR
(A jest homeomorficzne z R)
B8
CIJLGVZSWNM2357
EFTY
DO0
P9
H
K
X
4
Wymiar fraktalny
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
1878 – bijektywne, ale nie ciągłe przekształcenie z
odcinka jednostkowego [0,1] w kwadrat
jednostkowy [0,1] x [0,1]
1890 - Giuseppe Peano
1891 - David Hilbert
ciągłe, surjektywne ale nie injektywne
przekształcenie z odcinka jednostkowego [0,1]
w kwadrat jednostkowy [0,1] x [0,1]
Wymiar fraktalny
Luitzen Egbertus Jan Brouwer
1911 – dowód: nie istnieje n wymiarowa jednostkowa
kostka In = [0,1]n , która jest homeomorficzna z
kostką m wymiarową Im = [0,1]m , n ≠ m.
Felix Hausdorff
1919 – wymiar Hausdorffa
Benoit Mandelbrot
1977 – fraktal: obiekt, dla którego wymiar Hausdorffa
przekracza jego wymiar topologiczny
Wymiar fraktalny
Wymiar samopodobieństwa
Mierzy ilość przestrzeni wypełnionej przez obiekt
Dzielimy hiperprzestrzenny V* obiekt na N jednakowych
części, które są samopodobne (miniatury całości) o
długości ε.
[Strecker, 2004]
Wymiar fraktalny
Wymiar samopodobieństwa
Przykład: Zbiór Cantora (1873)
Wymiar fraktalny
Wymiar pojemnościowy, pudełkowy (box-counting)
Wymiar fraktalny
Wymiar pojemnościowy, pudełkowy (box-counting)
Ruch Browna i ułamkowy ruch Browna
Ruch Browna to funkcja B(t), taka że, dla Δt
ΔB(t) są: niezależne, izotropiczne, losowe.
H=1/2 dla ruchu Browna
Stopień zintegrowania:
Wymiar fraktalny:
Ruch Browna
ścieżki
H=1/2
1827 – R. Brown
1900 – L.Bachelier
1905-06 A. Einstein i M. Smoluchowski
1923 – N. Wiener
Ułamkowy ruch Browna
H<1/2
H>1/2
Ułamkowy ruch Browna
Ułamkowy szum gaussowski
Samopodobieństwo a samoafiniczność
Estymatory H
Analiza przeskalowanego zakresu R/S
Analiza dyspersionalna (dla fGn)
Metoda wymiaru fraktalnego
Analiza przeskalowanej wariancji w oknie
Metody spektralne
Estymatory autokorelacyjne
Estymatory H
m obserwacji
Partycje i okna
k=1
k=2
D.C. Caccia, D. Percival, M.J. Cannon, G. Raymond, J.B. Bassingthwaighte, 1997
Przeskalowany zakres R/S
[W. Feller , 1951]
Modyfikacje
z trendem, bez trendu
10-point pox, Multipox
Lo, 1991
[H.E. Hurst , 1951]
[H.E. Hurst, R.P. Black, Y.M. Simaiki, 1965]
[B.B. Mandelbrot, J.R. Wallis,1968]
[A.A. Annis, E.H. Lloyd, 1976]
[J. Purczyński, 2003]
Przeskalowany zakres R/S
Przeskalowany zakres R/S
Analiza dyspersjonalna
Metoda absolutnych momentów (AM)
n=1: metoda absolutnej średniej
n=2: metoda zagregowanej wariancji
J.B. Bassingthwaighte, R.B. King, S.A. Roger, 1989
H.E. Schepers, J.H.G.M. van Beek, J.B. Bassingthwaighte, 1992
D.C. Caccia, D. Percival, M.J. Cannon, G. Raymond, J.B. Bassingthwaighte, 1997
Różnicowanie wariancji + AM (DW+AM)
Zmiany strukturalne – skoki „średniej” i powoli wygasające
trendy jako pozorna długa pamięć: wykładnicza AM o
ujemnym wyrazie wolnym
[Teverovsky, Taqqu, 1997]
Metoda Wymiaru Fraktalnego – Higuchi’ego (H)
[T. Higuchi, 1988, 1990]
Scaled Windowed Wariance - Standard (SWV-S)
[B.B. Mandelbrot, 1985]
Average Genralized Roughness (AGR)
[J.G. Moreira, J. Kamphorst Leal da Silva, S.O. Kamphorst, 1994]
Variable Bandwidth Method (VBM)
[J. Schmittbuhl, J.P. Vilotte, and S. Roux, 1995]
Scaled Windowed Wariance - Linear Detrended (SWV-L)
[B.B. Mandelbrot, 1985]
Detrended Fluctuation Analysis (DFA)
[C.K. Peng, S.V. Buldyrev, M. Simons, H.E. Stanley, A.L. Goldberger, 1994]
Roughness Around the Root Mean Square Line (RARMSL)
[J.G. Moreira, J. Kamphorst Leal da Silva, S.O. Kamphorst, 1994]
Residuals of Regression
[M.S. Taqqu, V. Teverovsky, W. Willinger, 1995]
Metody spektralne
Metoda periodogramu
f – częstotliwość, (najmniejszych 10%)
GPH [J. Geweke, S. Porter-Hudak,1983]
Zmodyfikowana metoda periodogramu (MP)
Częstotliwości są grupowane w równoodległe na skali log-log grupy i
uśredniane. Estymacja: ucięta MNK (least-trimmed) – użycie połowy
najmniejszych reszt (nie spełnia oczekiwań)
[Taqqu, Teverovsky, Willinger 1996,1997]
Metoda zwężonego periodogramu (tapered) (TGPH)
Zmiany strukturalne a długa pamięć: jeżeli TP nie potwierdza długiej
pamięci to wystąpiły zmiany strukturalne
[P.Sibbertsen, 2002]
Metody spektralne
Metoda periodogramu
Metody spektralne
Średni skumulowany periodogram (ACP)
- niskie częstotliwości z gładkiej części periodogramu
Dla małych k zachodzi:
MNK, ale nie graficznie – na skali log-log F nie jest liniowa
[Taqqu, Teverovsky 1997]
Metody spektralne
Estymator Whittle’a
- funkcja gęstości spektralnej o częstotliwości f
Minimalizacja
ze względu na
Zagregowany estymator Whittle’a
agregacja skraca szereg i
zwiększa wariancję estymatora
ale zachowuje właściwości fGn
[Taqqu, Teverovsky 1995]
Estymatory autokorelacyjne
Metoda Kettaniego i Gubnera
[H. Kettani, J. Gubner, 2002]
Metoda Kettaniego i Gubnera
[P.Ciżkowicz, w druku, NBP 2004]
Generatory
Rekurencyjna metoda Hoskinga
Generator Davisa i Harte’a (1987)
Generator Vern Paxsona (1995)
Metoda Syntezy Spektralnej
Metoda Losowych Składników
Właściwości estymatorów
Właściwości estymatorów
R/S – najbardziej obciążony z estymatorów o dużej wariancji:
przeszacowuje wartość H o 0,15 dla H<0,7 i niedoszacowuje dla
H>0,7. Dla N<128 jest niewiarygodny: H=0,5: P(0,2<H<0,8)=0,9
Metody dyspersjonalne – małe obciążenie (+-0,01) i efektywne.
Możliwość wykrycia zmian strukturalnych
Przeskalowana wariancja – małe obciążenie (+-0,01) i efektywne,
Wymaga szeregów o długości 2^9
Higuchi – bardzo pracochłonne (komputerowo)
Spektralne – brak obciążenia i efektywne (oprócz GPH). Możliwość
wykrycia zmian strukturalnych
Kettani Gubner– bardzo prosty, szybki, nieobciążony (dla H<0,8) i
efektywny nawet dla szeregów 2^6.
Rynek kapitałowy
WIG20 0,58
WIG-Banki 0,60
WIG-Informatyka 0,54
05.2002- 04.2004, 2^9 obs.
WIG 0,61
WIG-Budownictwo 0,64
WIG-Spożywczy 0,74