Transcript Równania Eulera, ciągłości przepływu, Bernoulliego
Wykład 6 •równanie Eulera, •równanie ciągłości przepływu, •równanie Bernoulliego.
1. Równanie Eulera
W poruszającym się płynie oddziaływują następujące siły: siły masowe, siły powierzchniowe, siły bezwładności.
Siły masowe i powierzchniowe działające na element płynu
Siły powierzchniowe działające w kierunku osi x będą równe: analogicznie dla osi y, z
p
1 2
p
y
dy dxdz
p
1 2
p
y
dy dxdz
p
y dxdydz
p
1 2
p
z
dz dxdy
p
1 2
p
z
dz dxdy
p
z dxdydz
składowe sił masowych ponieważ płyn porusza się to składowe wektora sił bezwładności
ma
Suma sił czynnych masowych i bezwładności w każdym dowolnym kierunku ruchu jest równa 0, stąd
Ydxdydz
p
y dxdydz
dv y dt
dxdydz
0
Zdxdydz
p
z dxdydz
dv z dt
dxdydz
0
po uproszczeniu otrzymamy
Y
p
y
dv y dt
0
Z
p
z
dv z dt
0
lub po podzieleniu przez
Y
1
p
y
dv y dt
0
Z
1
p
z
dv z dt
0 ponieważ zmiana prędkości odbywa się w przestrzeni jak i w czasie uwzględniamy pochodną substancjalną równą
dv dt dv z dt y
v y
t
v x
v y
x
v y
v y
y
v z
v y
z
v z
t
v x
v z
x
v y
v z
y
v z
v z
z
otrzymamy
Y
1
Z
1
p
y
p
z
v y
t
v z
t
v x
v x
v y
x
v z
x
v y
v y
v y
y
v z
y
v z
v z
v y
z
v z
z
są to równania Eulera dla płynu doskonałego, które w zapisie wektorowym mają postać
2. Równanie ciągłości ruchu jednowymiarowego
Masa płynu wpływającego w czasie
dt
przez przekrój 1-1 wynosi a wypływającego przez przekrój 2-2: Różnica pomiędzy obu masami, jeśli jest różna od 0, musi równać się zmianie masy płynu zawartego pomiędzy przekrojami 1 i 2 oddalonymi od siebie o ds. Zmiana ta spowodowana jest zmianą gęstości płynu.
d dt A ds dt Adt s A s ds s
Po wymnożeniu oraz pominięciu wielkości małych wyższego rzędu otrzymamy
A d dt v A s Av s A v s 0 lub po uwzględnieniu zasady różniczkowania iloczyn równanie przybiera postać Dla ruchu ustalonego (niezależnego od czasu) równanie przybiera postać Czyli dla płynu ściśliwego równanie jest spełnione jeśli natomiast dla płynu nieściśliwego równanie jest spełnione jeśli
Pierwsza wielkość nazywa się strumieniem masy, a równanie równaniem ciągłości dla płynu ściśliwego Druga wielkość nazywa się strumieniem objętości, a równanie równaniem ciągłości dla płynu nieściśliwego Z równań wynika, że Jeśli w polu o przekroju A prędkość nie jest jednakowa, to wówczas w równaniach ciągłości przepływu występuje prędkość średnia v śr równa
3. Równanie ciągłości ruchu ogólnym (trójwymiarowym)
y C dz v x B dy v x v x x dx x z A dx 0
Przez ściankę OABC (wzdłuż osi x) w czasie dt przepływa masa równa natomiast przez przeciwległą ściankę wypływa w tym samym czasie masa Różnica pomiędzy masą wpływającą do prostopadłościanu a wypływającą wynosi Podobnie postępujemy dla pozostałych dwóch par ścianek, otrzymując różnice mas wpływu i wypływu równe v y y v z z dx dy dz dt dx dy dz dt
Suma tych różnic równa się zmianie masy zawartej w objętości prostopadłościanu wskutek zmiany gęstości czyli Porównując równanie (32) z sumą równań (29-31) otrzymamy
d
dxdydzdt dt
v x
x dx dy dz dt
v y
y dx dy dz dt
v z
z dx dy dz dt
po podzieleniu przez dx dy dz dt otrzymamy
d dt
v x
x d dt
v x
x
v y
y
v y
y
v z
z
v z
z
0 Jest to równanie ciągłości w formie Eulera dla ruchu płynu ściśliwego
Zapis równania (35) można uprościć stosując pojęcie dywergencji
div v
div v
v x
x
v y
y
v z
z
Czyli otrzymamy równanie (35) w postaci Dla płynu nieściśliwego
=const
równe
dt
lub
4. Równanie Bernoulliego
Założenia: płyn nielepki, nieściśliwy, ruch jednowymiarowy, ustalony, prędkość jest stała w przekroju poprzecznym strugi.
Wydzielimy odcinek strugi zawarty między przekrojami 1-1 i 2-2, określimy energię mechaniczną cieczy w czasie dt. a z przekrój 2-2 o do 2’-2’.
ds 1 1 dt
Całkowita energia mechaniczna płynu przepływającego przez przekrój 1-1 w czasie dt składa się z:
energii potencjalnej położenia
ds 1 1 dt p A
czyli
1
Całkowita energia przepływająca w czasie dt przez przekrój 1-1 wynosi
E c1
a przez przekrój 2-2
V 1 1 V 1 2 V 1 E c2 V 2 2 V 1 2 V 2
(43) (44) Ponieważ ruch odbywa się bez strat energetycznych, to: (45) zatem
V 1 1 V 1 2 V 1 V 2 2 V 1 2 V 2
(46)
Równanie Bernoulliego zapisujemy w postaci:
z p g v 2 2g
(47) (48)
Po pomnożeniu równań (47-48) obustronnie przez
g otrzymamy: (49) (50)
gz p v 2 2