Mechanika Kwantowa II. Matematyczne podstawy MK WYKŁAD 7 Równanie Schrödingera Plan wykładu • • • • równanie Schrödingera zależne od czasu – ogólna metoda rozwiązania, równanie Schrödingera niezależne od czasu, cząstka.
Download
Report
Transcript Mechanika Kwantowa II. Matematyczne podstawy MK WYKŁAD 7 Równanie Schrödingera Plan wykładu • • • • równanie Schrödingera zależne od czasu – ogólna metoda rozwiązania, równanie Schrödingera niezależne od czasu, cząstka.
Mechanika Kwantowa
II. Matematyczne podstawy MK
WYKŁAD 7
Równanie Schrödingera
Plan wykładu
•
•
•
•
równanie Schrödingera zależne od czasu –
ogólna metoda rozwiązania,
równanie Schrödingera niezależne od czasu,
cząstka swobodna,
ewolucja paczki gaussowskiej.
Równanie Schrödingera zależne od czasu
Stany opisane przez funkcję zależną od czasu
zmieniają się zgodnie z równaniem
d
i t H t
dt
w którym H jest operatorem całkowitej energii
układu (hamiltonianem).
Równanie Schrödingera zależne od czasu
Równanie Schrödingera z dowolnym
hamiltonianem zachowuje normę funkcji falowej
2
*
r , t t t r , t r , t d 3r const
Dowolna funkcja falowa (stan układu fizycznego)
raz unormowana do jedności pozostaje
unormowana w dowolnej innej chwili czasu.
Równanie Schrödingera zależne od czasu
W przypadku gdy operator Hamiltona nie zależy
jawnie od czasu (układ fizyczny nazywamy wtedy
zachowawczym lub konserwatywnym)
poszukujemy rozwiązania równania Schrödingera
w postaci separowalnej:
r , t r f t
Po przekształceniach otrzymujemy:
iE
r , t r exp t t0
Jest to rozwiązanie szczególne.
Równanie Schrödingera niezależne od czasu
Funkcja r spełnia tzw. stacjonarne równanie
Schrödingera:
H r E r
gdzie H jest hamiltonianem, E jest energią układu.
Dla pojedynczej cząstki mamy:
2 2
H
V r
2m
Równanie Schrödingera zależne od czasu
Rozwiązanie ogólne równania Schrödingera:
iE
r , t a r exp
t t0
gdzie r jest jednym z rozwiązań zagadnienia
własnego stacjonarnego równania Schrödingera:
H r E r
Cząstka swobodna
Rozważając przypadek cząstki swobodnej mamy:
V r 0 F r V r
Równanie Schrödingera ma postać:
r , t
2 2
i
r , t
t
2m
Po separacji równania ogólnego otrzymamy:
iE
r , t r exp t t0
2
2
gdzie E jest energią cząstki.
r E r
2m
Cząstka swobodna
Rozwiązanie stacjonarnego równania Schrödingera
ikr
r Ae
gdzie
2mE
k 2
2
k k k k
2
d q q
2
dq
2
2
x
2
y
E 0
2
z
q , q x , y , z
2
k q q
r x x y y z z
Cząstka swobodna
Rozwiązanie ogólne równania Schrödingera
dla cząstki swobodnej
i k r t
r , t Ae
gdzie
2
E
p
2m
p
k
Cząstka swobodna
Wprowadzając oznaczenia:
2mE
k
R
E
2
otrzymamy (dla jednego wymiaru):
x, t Aei kx t B i kx t
Gęstość prawdopodobieństwa wynosi:
*
2 ikx
* 2 ikx
x, t A B A Be
AB e
2
2
Gęstość prądu prawdopodobieństwa:
k 2
2
J x, t
A B
m
Cząstka swobodna
• Wyrażenie na gęstość prawdopodobieństwa
zawiera człon interferencyjny (dla A = B mamy
falę stojącą):
2
2
x, t 4 A cos kx
Ewolucja paczki gaussowskiej
Rozważamy ruch cząstki o masie m wzdłuż osi x:
2 2
1 ikx
x
e
2
k
E
2m
gdzie k jest rzeczywistym parametrem ciągłym.
Pełna funkcja falowa ma postać paczki fal:
1
x, t
2
i
E k t
eikxe
dk
a
k
1
ikx
ak
x, t 0 e dx
2
Ewolucja paczki gaussowskiej
Dla warunku początkowego w postaci:
1
x,0 4 2 e
a
Korzystając z faktu, że:
e
Ax 2 iBx
dx
x2
2
2a
A
B2
e 4A
otrzymamy:
a k 4
a
2
a 2k 2
e 2
Ewolucja paczki gaussowskiej
Tak więc pełna funkcja falowa przyjmie postać:
x, t a
1
2 4
1
2
2
i
t
x
1
exp
2
2
ma
2 a it m
skąd:
1
2 2
a
1
x, t
2
1
2
t
x
exp 2
2 4
2 2
2 2
ma
a t m a
2 2
2
Ewolucja paczki gaussowskiej
Wykres funkcji x,t dla różnych wartości t
(t=0, 2.5, 5, 10). Stałe równe jedności.
2
x,t
2
x
Ewolucja paczki gaussowskiej
Czas podwojenia szerokości paczki:
• w przypadku ciała makroskopowego (m = 10-9 g,
a = 0.001 cm):
t 10 s 32 000 lat
12
• w przypadku elektronu zlokalizowanego na
obszarze a = 10-8 cm:
t 1016 s
3ma 2
t
Ewolucja paczki gaussowskiej
• Prędkość fazowa paczki falowej:
k vkl
vf
k 2m 2
• Prędkość grupowa paczki falowej:
d k k
vg
vkl
dk
m
kolor czerwony – prędkość fazowa, kolor zielony – prędkość grupowa