Transcript Teoria sterowania Wykład 14 Regulacja dwupołożeniowa • Charakterystyka statyczna regulatora • Sygnał sterujący w układzie regulacji dwupołożeniowej. • Metody analizy układu regulacji dwupołożeniowej: - metoda klasyczna, -

Teoria sterowania
Wykład 14
Regulacja dwupołożeniowa
• Charakterystyka statyczna regulatora
• Sygnał sterujący w układzie regulacji dwupołożeniowej.
• Metody analizy układu regulacji dwupołożeniowej:
- metoda klasyczna,
- metoda płaszczyzny fazowej.
2
Charakterystyka regulatora dwupołożeniowego.
u
U
-h
0
h
e
Regulator dwupołożeniowy jest regulatorem nieliniowym.
3
Wyznaczanie sygnału sterującego
u
u
U
U
–h 0
e
h
0
A0
 1
2 2 
e
0

e(t) = A0 + Asin
1
2
2
=t
4
Analiza układu regulacji dwupołożeniowej
Obiekt
regulacji
Regulator
dwupołożeniowy
w(t)=w0
e(t)
– y(t)
Gob ( s ) 
k
Ts  1
u
u(t)
Gob(s)
0
e
k
Gob ( s ) 
e  sTo
Ts  1
5
1. Metoda klasyczna
Obiekt inercyjny I-go rzędu
t


y (t )  kU 1  e T

e(0)  w0  h
y(t )  (w0  h)e
y
w0+h
w0
w0–h
0

t t1
T




t t

 2
y (t )  kU 1  e T


odłączenie
regulatora

  ( w0  h)


Tosc
2h
załączenie
regulatora
t1 t2
t3
t4
t
u
U
0
t1 t2
t3 t4
t5
t
6
Obiekt inercyjny z opóźnieniem
odłączenie
regulatora
y
w0+h
w0
w0–h
Tosc
M
0 T0
załączenie
regulatora
t1 t1+T0 t2 t2+T0
t3 t3+T0
t
u
U
0
t To


y (t )  kU 1  e T

t1
t2

 1(t  To )


t3
t
t T
1 0

y (t )  kU 1  e T

  t TTo
e


7
2. Metoda płaszczyzny fazowej
Obiekt inercyjny I-go rzędu
Ty  y  ku
y  
- równanie obiektu
1
k
y u
T
T
Dla
u (t )  U
y  
Dla
u(t )  0
y  
y
1
kU
y
T
T
1
y
T
kU
T
0
w0–h
w0 w0+h
y
8
Obiekt inercyjny z opóźnieniem
Ty  y(t )  ku(t  To )
y  
- równanie obiektu
1
k
y  u (t  To )
T
T
y
kU
T
0
w0
w0–h
y
w0+h
9
Sterowalność i obserwowalność
stacjonarnych obiektów liniowych
10
dx(t )
 Ax(t )  Bu(t )
dt
- równanie stanu
y(t)  Cx(t)  Du(t)
- równanie wyjścia
x (t ) - wektor stanu o składowych
(1)
x1 (t ), x2 (t ), , xn (t );
u (t ) - wektor sterowania o składowych
u1 (t ), u2 (t ),, u p (t );
A – macierz obiektu o wymiarach n  n;
B – macierz sterowania o wymiarach n  p;
y (t ) - wektor odpowiedzi o składowych y1 (t ), y2 (t ),, yq (t )
C – macierz wyjścia o wymiarach q  n;
D – macierz transmisyjna o wymiarach q  p.
11
Definicja sterowalności
Definicja 1. Stan obiektu x0 w chwili t0 nazywa się sterowalnym,
jeżeli stosując ograniczone przedziałami ciągłe sterowanie u(t)
można go przeprowadzić w skończonym czasie tk do zadanego
stanu końcowego, przyjmowanego zwykle xk = 0. Inaczej mówiąc
stan obiektu x0 = x(t0) jest sterowalny, jeżeli istnieje rozwiązanie
układu równań (1) spełniające w chwili tk warunek
x(tk , u(t0 , tk ], x0 )  0.
Jeżeli każdy stan x0 jest sterowalny w chwili t0, to mówimy, że
obiekt jest sterowalny w chwili t0.
Jeżeli każdy stan x0 jest sterowalny w każdej chwili t0, to
mówimy, że obiekt jest całkowicie sterowalny.
Definicja 2. Obiekt nazywa się całkowicie sterowalnym, jeżeli
stosując ograniczone , przedziałami ciągłe sterowanie można go
przeprowadzić w skończonym czasie z dowolnego zadanego
stanu początkowego x0 do stanu końcowego xk = 0
12
Definicja obserwowalności
Definicja 1. Stan obiektu x0 w chwili t0 nazywa się obserwowalnym,
jeżeli przy zadanym dowolnym sterowaniu u(t) istnieje skończona
chwila tk taka, że na podstawie znajomości sterowania u(t0,tk] i
odpowiedzi y(t0,tk] w przedziale (t0,tk] można wyznaczyć stan x0 w
chwili początkowej t0.
Jeżeli każdy stan x0 w chwili t0 jest obserwowalny, to mówimy,
że obiekt jest obserwowalny w chwili t0.
Jeżeli każdy stan x0 jest obserwowalny w każdej chwili t0, to
mówimy, że obiekt jest całkowicie obserwowalny.
Definicja 2. Obiekt nazywa się całkowicie obserwowalnym, jeżeli
przy zadanym dowolnym sterowaniu istnieje skończona chwila tk
taka, że na podstawie znajomości sterowania u(t0,tk] i odpowiedzi
y(t0,tk] w przedziale (t0,tk] można wyznaczyć każdy stan x0 w
każdej chwili początkowej t = t0.
13
Warunek sterowalności obiektu
Stacjonarny obiekt liniowy opisany równaniami (1) jest
całkowicie sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy

H  B AB

A2 B  An1 B
jest równy n.
Warunek obserwowalności obiektu
Stacjonarny obiekt liniowy opisany równaniami (1) jest
całkowicie sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy

W  C CA CA
2
 CA

n 1 T
jest równy n.
14
Przykład. Na ciało o masie m, poruszajace się w srodowisku bez
tarcia, działa zmienna w czasie siła u(t). Zbadać całkowitą
sterowalność i obserwowalność tego obiektu, gdy wielkością
wyjściową jest:
1) przebyta przez ciało droga,
2) prędkość tego ciała.
Rozwiązanie
Ruch ciała opisany jest równaniami
dx1
 x2
dt
dx2
m
 u( t )
dt
Równania stanu w zapisie wektorowo-macierzowym mają postać
 dx1 
x1 – przebyta droga,
 dt  0 1  x1   0 
  1 u( t )
 dx   



x2 – prędkość.
 2  0 0  x2   m 
 dt 
15
W przypadku 1, gdy wielkością wyjściową y jest przebyta przez ciało
droga x1, równanie wyjścia ma postać
 x1 
y  1 0 
 x2 
a macierz wyjścia C jest równa C  1 0
W przypadku 2, gdy wielkością wyjściową y jest prędkość ciała x2,
równanie wyjścia ma postać
 x1 
y  0 1 
 x2 
a macierz wyjścia C jest równa C  0 1
16
Sterowalność.
H  B

0
AB   
1

m
1
m

0

1
det H =  2
m
Rząd macierzy H jest równy 2. Obiekt jest całkowicie sterowalny.
Obserwowalność.
Przypadek1.
Przypadek2.
 C  1 0
W  

CA
0
1
  

 C  0 1
W  

CA
0
0
  

det W = 1
det W = 0
Obiekt jest całkowicie
obserwowalny.
Obiekt nie jest całkowicie
obserwowalny.
17